文档内容
哈尔滨市第九中学 2024—2025 学年度高三上学期
期中考试数学学科试卷
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 的实部与虚部之和为（ ）
A. B. C. 1 D.
3. 已知等差数列 的前6项和为60，且 ，则 （ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
4. 在平面直角坐标系中，若 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，四边形 表示水平放置的四边形 根据斜二测画法得到的直观图， ，
， ， ，则 （ ）
A. B. C. 6 D.6. 若曲线 的一条切线方程是 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. e
7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，面积为 的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
.
A B. C. D.
8. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项
相消法”求解．例如 ，故数列 的前 项和
．记数列 的前 项和为 ，利用上述方法求 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，若 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A. B. 与 可以作为平面内向量的一组基底
C. D. 在 上的投影向量为
10. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ， 为线段
上一点，则下列判断正确的是（ ）
A. 为钝角三角形B. 的最大内角是最小内角的2倍
C. 若 为 中点，则
.
D 若 ，则
11. 设数列{a }的前 项和为 ，若 ，则称数列{b }是数列{a }的“均值数列”．已知数列{b }是数
n n n n
列{a }的“均值数列”，且 ，则下列结论正确的是（ ）
n
A.
B. 设数列{a }的前 项积为 ，则 有最大值，无最小值
n
C. 数列 中没有最大项
D. 若对任意 ， 成立，则 或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若 ，且 为第二象限角，则 ___________.
13. 已知函数 在 处取得极大值，则 _________．
14. 已知数列{a }满足 ， ，则 ______；设数列{a }的前 项和为 ，
n n
则 ______．（第二个空结果用指数幂表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；（2）将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求不等式 的解集．
16. 数列 满足 ．
（1）求数列 通项公式．
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
17. 在 中，角 的对边分别是 ，已知 ．
（1）求角 ；
（2）若点 在边 上，且 ，求 面积的最大值．
18. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量
的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角
垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6
个球……第 层球数是第n层球数与 的和，设各层球数构成一个数列{a }．
n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）证明：当 时，
（3）若数列{b }满足 ，对于 ，证明： ．
n19. 定义：如果函数 在定义域内，存在极大值 和极小值 ，且存在一个常数 ，使
成立，则称函数 为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系
数．已知函数 ．
（1）当 时，判断 是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；
（2）是否存在 使 的极值差比系数为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若 ，求 极值差比系数的取值范围．
的哈尔滨市第九中学 2024—2025 学年度高三上学期
期中考试数学学科试卷
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】【答案】 ##
【13题答案】
【答案】0
【14题答案】
【答案】 ①. 60 ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【19题答案】
【答案】（1） 是极值可差比函数， ；
（2）不存在，理由见解析；（3）
