文档内容
2022 级高三第一学期月考（二）考试试题
数学
本试卷共4页，19小题，考试时长120分钟，满分150分．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 若集合 ， ，则满足 的实数a的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 设 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
3. 若 的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（ ）
A. 54 B. C. 108 D.
4. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 都是锐角， ，则 （ ）
A. B. C. D.6. 连掷两次骰子得到 的点数分别为 和 ，记向量 与向量 的夹角为 ，则
的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列 是正项数列，且 ，则 （
）
A. 216 B. 260 C. 290 D. 316
8. 已知函数 的图像与直线 有3个不同的交点，则实数k的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：
“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，
开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 ．现有 满足
，且 ，则（ ）
A. 外接圆的半径为B. 若 平分线与 交于 ，则 的长为
的
C. 若 为 的中点，则 的长为
D. 若 为 的外心，则
10. 在直三棱柱 中， ， ，E、F分别是 、 的中点，
D在线段 上，则下面说法中正确的有（ ）
A. 平面
B. 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为
C. 若D是 的中点，若M是 的中点，则F到平面BDM的距离是
D. 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为
11. 已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，抛物线的焦点为F，过点
的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（ ）
A. 直线 与抛物线C相切 B.
C. 若P是线段 的中点，则 D. 存在直线l，使得
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知 中， ， ， ，则 ___________.
13. 甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽
取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____
14. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某同学参加射击比赛， 每人配发 颗子弹. 射击靶由内环和外环组成， 若击中内环得 分，击中外环
得 分，脱靶得 分. 该同学每次射击，脱靶的概率为 ，击中内环的概率为 ，击中外环的概率为 ，
每次射击结果相互独立. 只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.
的
（1）若已知该同学得分为 分 情况下， 求该同学只射击了 发子弹的概率；
（2）设该同学最终得分为 ，求 的分布列和数学期望 .
16. 如图，在三棱柱 中， ， ， ， 在底面 的射影
为 的中点， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的正切值．
17. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；（2）证明不等式 恒成立.
18. 如图，曲线 下有一系列正三角形，设第n个正三角形 （ 为坐标原点）的边长为
．
（1）求 的值；
（2）求出{a )的通项公式；
n
（3）设曲线在点 处的切线斜率为 ，求证： ．
19. 已知双曲线 的离心率为 ，右顶点为 . 为双曲线 右支
上两点，且点 在第一象限，以 为直径的圆经过点 .
（1）求 的方程；
（2）证明：直线 恒过定点；
（3）若直线 与 轴分别交于点 ，且 为 中点，求 值.
的2022 级高三第一学期月考（二）考试试题
数学
本试卷共4页，19小题，考试时长120分钟，满分150分．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】AC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ,或
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【18题答案】
【答案】（1） ， ；（2） ；
（3）证明见解析.
【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
