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陕西省西安中学高 2025 届高三第一次质量检测
数学参考答案
一. 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B D C D A
二. 选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
题号 9 10 11
答案 ACD BCD ABD
三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 6 5 13. 14. 40
三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)
15.（本小题满分13分）
解： 时， ，
所以 或 时， ； 时，
则 在 上递减，在 上递增，
所以 的极小值为 ，极大值为 ...............................5分
，则 ，当 时， ，所以 在
上 递 增 ， 当 时 ， 或 时 ， ； 时 ， , 所 以
在 上递增，在 上递减，当 时， 或 时， ；
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学科网（北京）股份有限公司时，
所以 在 上递增；在 上递减. ...............................8分
16.（本小题满分15分）
解：（1）解：由 得 ，
由题意得 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
即y关于x的经验回归方程为 ， ...............................10分
（2）令 ，所以 ，解得 ，由于 ，所以 ，
所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下. ...............................5分
17.（本小题满分15分）
解： 时， ，又 ， ，
， 解集为： ；
...............................6 分
解法一： ，由 得： 且 ，
，设 且 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ， 当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
且 且 或 ，
t的取值范围为： 或
解法二： ，若 ，则 在 上没有零点．
下面就 时分三种情况讨论：
①方程 在 上有重根 ，则 ，解得： ，又
；
② 在 上只有一个零点，且不是方程的重根，则有 ，解得： 或 ，
又经检验： 或 时， 在 上都有零点； 或
③方程 在 上有两个相异实根，则有 或 ，解得： ，
综上可知：t的取值范围为 或 ...............................15分
18.（本小题满分17分）
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学科网（北京）股份有限公司由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
即
，所以X∽ ，因为质量指标值X近似服从正态分布 ，
所以 ，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为
...............................5 分
，所以所取样本的个数为 20件，质量指标值在 的芯片件数为
10件，故 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
， ，
， ，
随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
P
所以 的数学期望 ...............................11分
设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有 件，设每箱产品的利润为Z元，
由题意知： ，
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学科网（北京）股份有限公司由 知：每箱零件中A等品的概率为 ，所以Y∽ ，所以 ，
所以
,令
得， ，又 ， ， 递增 ， ， 递
减，所以当 时， 取得最大值.所以当 时，每箱产品利润最大.
...............................17分
19.（本小题满分17分）
解：当 时， ，且知 ，在 上， ， 在 上单
调递增；在 上， ， 在 上单调递减；所以函数 的单调增区间为 ，
单调减区间为
..............................4分
证明：因为 ，所以 ，且知 ，
要证函数 单调递增，即证 在 上恒成立，
设 ， ，则 ，
注意 ， 在 上均为增函数，故 在 上单调递增，且 ，
于是 在 上单调递减，在 上单调递增， ，即 ，因此函数 在
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学科网（北京）股份有限公司上单调递增;
...............................10分
由 ，有 ，令 ，有 ，
①当 时， 在 上恒成立，因此 在 上单调递减，
注意到 ，故函数 的增区间为 ，减区间为 ，此时 是函数 的极大值点;
②当 时， 与 在 上均为单调增函数，故 在 上单调递增，
注意到 ，若 ，即 时，此时存在 ，使 ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，又知 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，此时 为函数 的极大值点，
若 ，即 时，此时存在 ，使 ，
因此 在 上单调递减.在 上单调递增，又知 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，此时 为函数 的极小值点.
当 时，由 可知 单调递增，因此 非极大值点，
综上所述，实数 a的取值范围为 ..........................17分
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