2006年广东高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·word_广东

2006 年广东高考理科数学真题及答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 王新奎新疆屯敞 1、函数 3x2 的定义域是 f(x) lg(3x1) 1x 1 1 1 1 1 A.( ,) B. ( ,1) C. ( , ) D. (, ) 3 3 3 3 3 2、若复数z满足方程z2 20，则z3  A. B. C. D. 2 2 2 2 2 2i 2 2i 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 1 A.yx3 ,xR B. ysinx ,xR C. yx ,xR D. y( )x ,xR 2 A 4、如图1所示， 是 的边 上的中点，则向量(cid:2) D ABC AB CD D (cid:2) 1(cid:2) (cid:2) 1(cid:2) A.BC BA B. BC BA 2 2 B C 图 (cid:2) 1(cid:2) (cid:2) 1(cid:2) 1 C. BC BA D. BC BA 2 2 5、给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线 和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 y ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 1 4 y  f (x) 其中真命题的个数是 2 A.4 B. 3 C. 2 D. 1 6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其 x 1O 3 公差为 图2 A.5 B.4 C. 3 D. 2 第1页 | 共14页7、函数 的反函数 的图像与 轴交于点 （如图2所示），则方程 y f(x) y f1(x) y P(0,2) f(x)0在[1,4]上的根是x A.4 B.3 C. 2 D.1 8、已知双曲线 ，则双曲线右支上的点 到右焦点的距离与点 到右准线的距 3x2  y2 9 P P 离之比等于 2 2 A. 2 B. C. 2 D. 4 y 3 y 2x  4 x0  x y  s 9、在约束条件 y0 下，当 时，目标函数  3x5 yxs   y2x4 O x z3x2y的最大值的变化范围是 图3 A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 10、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)(c,d)， 当且仅当ac,bd ；运算“”为： (a,b)(c,d)(acbd,bcad)；运算“”为：(a,b)(c,d)(ac,bd)，设 p,qR， 若(1,2)(p,q)(5,0)，则(1,2)(p,q) A.(4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,4) 第二部分 非选择题（共100分） 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 4 1 11、lim(  )________. x2 4x2 2x 12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 2 13、在(x )11的展开式中，x5的系数为________. x 14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥”形的展品，其中第 1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一 层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上， 第n堆第n层就放一个乒乓球，以 f(n)表 … 第2页 | 共14页 图4示第n堆的乒乓球总数，则 f(3)_____； f(n)_____（答案用n表示）. 三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.  15、(本题14分)已知函数 f(x)sinxsin(x ),xR. 2 (I)求 f(x)的最小正周期； (II)求 f(x)的的最大值和最小值； 3 (III)若 f() ，求sin2的值. 4 16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X 的分布如下： X 06 7 8 9 10 P 0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为. (I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求的分布列 (III) 求的数学期望E. 17、(本题14分)如图5所示， AF 、DE分别世 O D 1 E 、 的直径， 与两圆所在的平面均垂 直 O O AD 1 AD8.BC是 O的 直 径 ， AB AC 6, C OE//AD. A F O (I)求二面角BADF 的大小； B 图5 (II)求直线BD与EF 所成的角. 18、(本题14分)设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面 f(x)x3 3x2 x、x xoy 1 2 上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足(cid:2) (cid:2) ,点 A、B （x,f(x )）（x ,f(x )） P PA•PB4 Q 1 1 2 2 第3页 | 共14页是点P关于直线y2(x4)的对称点.求 (I)求点A、B的坐标； (II)求动点Q的轨迹方程. 19、(本题14分)已知公比为 的无穷等比数列 各项的和为9，无穷等比数列 q(0q1) a  n  a2 各项的和为 81 . n 5 (I)求数列 的首项 和公比 ； a  a q n 1 (II)对给定的 ，设 是首项为 ，公差为 的等差数列，求 k(k 1,2,3,,n) T(k) a 2a 1 T(2) k k 的前10项之和； (III)设 为数列 的第 项， ，求 ，并求正整数 ，使得 b T(k) i S b b b S m(m1) i n 1 2 n n S lim n 存在且不等于零. nnm （注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限） 20、(本题12分)A是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：①对任意的 ，都有 ；②存在常数 ，使得对任意的 ，都有 x[1,2] (2x)(1,2) L(0L1) x ,x [1,2] 1 2 . |(2x)(2x )|L|x x | 1 2 1 2 (I)设 ，证明： (2x) 31x,x[2,4] (x)A (II)设 ，如果存在 ，使得 ，那么这样的 是唯一的； (x)A x (1,2) x (2x ) x 0 0 0 0 (III) 设 ，任取 ，令 ， ，证明：给定正整数 ， (x)A x (1,2) x (2x ) n1,2, k 1 n1 n Lk1 对任意的正整数 p，成立不等式|x x | |x x | kp k 1L 2 1 2006年广东高考理科数学真题参考答案 第4页 | 共14页第一部分 选择题（50分） 3x2 1、函数 的定义域是 f(x)  lg(3x1) 1x 1 1 1 1 1 A.( ,) B. ( ,1) C. ( , ) D. (, ) 3 3 3 3 3 1x 0 1 1、解：由 ，故选B.     x 1 3x10 3 2、若复数 满足方程 ，则 z z2 2 0 z3  A. B. C. D. 2 2 2 2 2 2 i 2 2 i 2、由 ，故选D. z2 2  0 z   2i  z3  2 2i 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. B. C. D. y  x3,xR y sinx,xR y  x,xR 1 x y ( ) ,xR 2 3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其 定义域内不是奇函数,是减函数;故选A. 4、如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量 CD  1 1 A. BC  BA B. BC  BA 2 2 1 1 C. BC  BA D. BC  BA 2 2 1 4、CD CBBD  BC  BA，故选A. 2 5、给出以下四个命题 ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; 第5页 | 共14页④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 5、①②④正确，故选B. 6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 A.5 B.4 C. 3 D.2 5a 20d 15 6、  1  d 3，故选C. 5a 25d 30  1 7、函数 的反函数 的图象与y轴交于点 (如图2所示)， y  f(x) y  f 1(x) P(0,2) 则方程 的根是 f(x) 0 x  A. 4 B. 3 C. 2 D.1 7、 的根是 2，故选C f(x) 0 x  8、已知双曲线 ,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距 3x2  y2 9 离之比等于 A. B.2 3 C. 2 D.4 2 3 c 2 3 8、依题意可知 ， ，故选C. a  3,c  a2 b2  39  2 3 e    2 a 3 x 0  y 0 9、在约束条件  下，当3 s 5时， x y  s   y2x  4 目标函数 的最大值的变化范围是 z 3x2y A. B. C. D. [6,15] [7,15] [6,8] [7,8] x y  s x  4s 9、由    交点为 A(0,2),B(4s,2s4),C(0,s),C(0,4) ， y2x  4 y  2s4 第6页 | 共14页（1） 当3 s  4时可行域是四边形OABC，此时，7 z 8 （2） 当 时可行域是△OA 此时， 4 s 5 C z 8 max 故选D. 10、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当a＝c,b＝d;运 算 “ ” 为 ： ， 运 算 “ ” 为 ：  (a,b)(c,d) (acbd,bcad)  ，设 ，若 (a,b)(c,d)  (ac,bd) p,qR 则 (1,2)(p,q) (5,0) (1,2)(p,q)  A. B. C. D. (4,0) (2,0) (0,2) (0,4) p2q 5 p 1 10、由 得 , (1,2)(p,q) (5,0)    2pq 0 q  2 所以 ,故选B. (1,2)(p,q) (1,2)(1,2) (2,0) 第二部分 非选择题（100分） 二、填空题 11、 4 1 lim(  )  x2 4 x2 2 x 11、 4 1 1 1 lim(  )  lim  x2 4 x2 2 x x22 x 4 12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 12、 3 3 d 3 3  R   S  4R2  27 2 11 13、在 2 的展开式中， 的系数为 x  x5  x 2 13、T C11rxr( )11r (2)11rC11rx2r11  2r 115 r 8 r1 11 11 x 第7页 | 共14页所以 的系数为 x5 (2)11rC11r  (2)3C3  1320 11 11 14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准 “正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第 2、3、4、…堆最底层 （第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的 小球自然垒放在下一层之上，第 n堆第n层就放一个乒乓球，以 表示第 n 堆的乒乓球总数，则 ； f(n) f(3)  f(n)  （答案用n表示） . n(n1)(n2) 14、 f(3) 10， f(n)  6 三、解答题 15、（本小题满分14分）  已知函数 f(x) sinxsin(x ),xR 2 （Ⅰ）求 的最小正周期； f(x) （Ⅱ）求 的最大值和最小值； f(x) 3 （Ⅲ）若 f()  ，求sin2的值. 4   15解： f(x) sinxsin(x ) sinxcosx  2sin(x ) 2 4 2 （Ⅰ） f(x)的最小正周期为T   2; 1 （Ⅱ） 的最大值为 和最小值 ； f(x) 2  2 3 3 7 （ Ⅲ ） 因 为 f()  ， 即 sincos ① 2sincos  , 即 4 4 16 7 sin2  16 16、（本小题满分12分） 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下： 第8页 | 共14页X 0-6 7 8 9 10 Y 0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 .  (Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率； (Ⅱ)求 分布列；  (Ⅲ) 求 的数学希望.  16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为 ； P(7) 0.20.2 0.04 (Ⅱ) 的可能取值为7、8、9、10  P(7) 0.04 P(8)  20.20.30.32  0.21 P(9)  20.20.320.30.30.32  0.39 P(10)  20.20.220.30.220.30.20.22  0.36 分布列为   7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 (Ⅲ) 的数学希望为 .  E 70.0480.2190.39100.36 9.07 17、（本小题满分14分） 如图5所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O 的直径.AD与两圆所在的平面 1 均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小； (Ⅱ)求直线BD与EF所成的角. 17、解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角， 依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450. 第9页 | 共14页即二面角B—AD—F的大小为450； (Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则 O（0，0，0），A（0， ，0），B（ ，0，0）,D（0， ，8），E（0，0， 3 2 3 2 3 2 8），F（0， ，0） 3 2 所以， BD  (3 2,3 2,8),FE  (0,3 2,8) BDFE 01864 82 cos BD,EF    | BD|| FE| 100 82 10 设 异 面 直 线 BD 与 EF 所 成 角 为 ， 则 82 cos|cos BD,EF | 10 直线BD与EF所成的角为 82 arccos 10 18、（本小题满分14分） 设函数 f(x)  x3 3x2 分别在x 1 、 x 2 处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B 的坐标分别为 、 ,该平面上动点P满足 ,点Q是点P关 (x 1 , f(x 1 )) (x 2 , f(x 2 )) PA PB  4 于直线 的对称点.求(Ⅰ)点A、B的坐标 ； y  2(x4) (Ⅱ)动点Q的轨迹方程 18解: (Ⅰ)令 解得 f (x)  (x3 3x2) 3x2 3 0 x 1或x  1 当 时, , 当 时, ,当 时, x  1 f (x)0 1 x 1 f (x) 0 x 1 f (x)0 第10页 | 共14页所 以 , 函 数 在 处 取 得 极 小 值 , 在 取 得 极 大 值 , 故 , x  1 x 1 x  1,x 1 1 2 f(1)  0, f(1)  4 所以, 点A、B的坐标为 . A(1,0),B(1,4) (Ⅱ ) 设 ， ， p(m,n) Q(x,y) PA PB   1m,n    1m,4n   m2 1n2 4n  4 1 yn 1 k   ， 所 以   ， 又 PQ 的 中 点 在 y  2(x4)上 ， 所 以 PQ 2 xm 2 ym xn   2 4 2  2  消去m,n得 x8 2   y2 2 9 19、（本小题满分14分） 已知公比为 的无穷等比数列 各项的和为9，无穷等比数列 各项的 q(0 q 1) {a } {a2 } n n 81 和为 . 5 (Ⅰ)求数列 的首项 和公比 ； {a } a q n 1 (Ⅱ)对给定的 ,设 是首项为 ，公差为 的等差数列.求数列 k(k 1,2,3,,n) T(k) a 2a 1 k k 的前10项之和； T(k) (Ⅲ)设 为数列 的第 项， ，求 ，并求正整数 ， b T(i) i S b b b S m(m 1) i n 1 2 n n 使得 S 存在且不等于零. lim n n m 第11页 | 共14页(注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷数列前n项和的极限)  a 1 9  a 3 1q 1   19解: (Ⅰ)依题意可知,   2 a2 81 q   1    3  1q2 5 n1 (Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 知 , 2 , 所 以 数 列 的 的 首 项 为 , 公 差 a 3  T(2) t  a  2 n 1 2 3 , d  2a 13 2 1 S 102 1093155,即数列T(2)的前10项之和为155. 10 2 i1 (Ⅲ) b = a   i1  2a 1 = 2i1  a   i1 = 32i1  2    i1， i i i i 3 S 45 18n27  2   n  nn1 ， lim S n =lim 45  18n27  2   n  n  n1  n 3 2 nnm n nm nm 3 2nm 当m=2时， S =－1 ，当m>2时， S =0，所以m=2 lim n lim n nnm 2 nnm 20、（本小题满分12分） A是由定义在 上且满足如下条件的函数 组成的集合：①对任意 ，都 [2,4] (x) x[1,2] 有 ； ②存在常数 ，使得对任意的 ，都有 (2x)(1,2) L(0 L 1) x ,x [1,2] 1 2 |(2x )(2x )| L| x  x | 1 2 1 2 （Ⅰ）设 ，证明： (x)  31 x,x[2,4] (x)A (Ⅱ)设 ,如果存在 ,使得 ,那么这样的 是唯一的; (x)A x (1,2) x (2x ) x 0 0 0 0 第12页 | 共14页(Ⅲ)设 ,任取 ,令 证明:给定正整数k,对任意 (x)A x (1,2) x (2x ),n 1,2,, l n1 n 的正整数p,成立不等式 Lk1 | x x | | x x | kl k 2 1 1L 解：对任意 , , , , x[1,2] (2x)  3 12x,x[1,2] 3 3 (2x)  3 5 1 3 3  3 5  2 所以 (2x)(1,2) 对 任 意 的 ， x ,x [1,2] 1 2 2 |(2x )(2x )|| x x | ， 1 2 1 2 3  12x 2 3  12x  1 x  3  1 x 2 1 1 2 2 3 3  12x 2 3  12x  1x  3  1x ， 所 以 0< 1 1 2 2 2 3  12x 2 3  12x  1x  3  1x 2 1 1 2 2 2 2  , 令 = L ， 0 L 1 ， 3 3  12x 2 3  12x  1x  3  1x 2 1 1 2 2 |(2x )(2x )| L| x  x | 1 2 1 2 所以 (x)A 反证法:设存在两个 使得 , 则 x ,x (1,2),x  x x (2x ) x (2x) 0 0 0 0 0 0 0 0 由 |(2x ) (2x /) | L | x  x / | ，得 | x  x / | L| x  x / | ，所以 L 1 0 0 0 0 0 0 0 0 矛盾，故结论成立。 x  x  (2x )(2x )  Lx  x ，所以 x  x  Ln1 x  x 3 2 2 1 2 1 n1 n 2 1 第13页 | 共14页      Lk1 |x x | x x  x x  x x  |x x | kp k kp kp1 kp1 kp2 k1 k 1L 2 1  x x  x x x x  Lkp2 x  x Lkp3 x  x +… kp kp1 kp1 kp2 k1 k 2 1 2 1 LK1 Lk1 x  x  x x 2 1 1L 2 1 第14页 | 共14页