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2024-2025 学年河南省部分名校高二下学期 3 月大联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
m
1.已知函数f(x)=− ，f ′(x)为f(x)的导函数，且f ′(1)=2，则实数m=( )
x
1
A. 0 B. C. 1 D. 2
2
x2 y2
2.双曲线C: − =1的渐近线方程为( )
12 3
1 1
A. y=± x B. y=± x C. y=±2x D. y=±4x
4 2
3.已知{a }是等比数列，若a a =2a ，a =16，则{a }的公比q=( )
n 3 8 5 9 n
1 1
A. 4 B. 2 C. D.
2 4
4.已知矩形ABCD的边AB所在直线的方程为2x−y+4=0，顶点D(0,−1)，则顶点A的坐标为( )
A. (−2,0) B. (−1,0) C. (1,0) D. (2,0)
5.若存在 ，使得直线 与圆 相切，则实数 的取值范围为( )
a∈R ax+2y−b=0 C:x2+(y+1) 2=1 b
A. (−∞,−4] B. [0,+∞)
C. [−4,0] D. (−∞,−4]∪[0,+∞)
6.在正四棱柱ABCD−A B C D 中，A A =2AB=4，E，F分别为AB ，BC 的中点，点G为上底面
1 1 1 1 1 1 1
A B C D 的中心，则直线EG与DF夹角的余弦值为( )
1 1 1 1
√5 √5 √3 √3
A. B. C. D.
5 3 5 3
7.已知某圆柱的表面积为4π，则该圆柱的体积的最大值为( )
2√6 5√6 4√6 √6
A. π B. π C. π D. π
3 9 9 3
8.已知 ，函数 ， ，当 时，函数 的图象始终在函数 的图象下
a>1 f(x)=1+log x g(x)=a2x2 x>0 f(x) g(x)
a
方(所有点均不重合)，则实数a的取值范围为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
(1,e2e) (1,ee) (e2e,+∞) (ee,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记S 为等差数列{a }的前n项和，已知a =4，S =0，则下列结论正确的有( )
n n 7 9
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1 1A. a =−10 B. a =2n−10
1 n
C. S =220 D. 数列{S }中有且仅有一个最小项
20 n
10.已知函数 ，则下列结论正确的有( )
f(x)=m(x−1) n (x−m)(m≠0,n∈N∗)
A. 当n=1，m<0时，f(x)只有最大值，无最小值
B. 当n=1，m>0时，f(x)有两个极值点
C. 当n=2，m>1时，x=1是f(x)的极大值点
D. 当n=2，01，f(x)>f(√x)
11.已知点P(x ,y )在曲线C:x4−2x2+ y2=0上，点F(1,0)，则下列结论正确的有( )
0 0
A. 曲线C关于原点对称
B.
−√2≤x ≤√2
0
C. |PF|的最小值为1
1
D. 曲线C与x轴的非负半轴、直线x=1所围成区域的面积大于
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 m∈R ，向量⃗ a=(1,m,−2) ，⃗ b=(m,2,3) ，若⃗ a⋅ ⃗ b=6 ，则 |⃗a|= ．
13.已知圆 与圆 的相交弦所在直线为 ，若 与抛物线 交于 ，
C :x2+ y2=4 C :x2+ y2+2x−y−6=0 l l y2=4x A
1 2
B两点，则|AB|= ．
14.数列 的通项公式为 ，则 的前 项和 为 用含 的式子表示 ．
{a } a =(2n−1)⋅4n {a } n S ( n )
n n n n
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
ex
已知函数f(x)= (a>0)，曲线y=f(x)在(0,f(0))处切线的斜率为−2．
x−a
(1)求实数a的值;
(2)研究f(x)的单调性;
(3)求f(x)的极值．
16.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面为菱形，∠BAD=60∘，且侧面PAB是边长为2的等边三角形.取AB的中点
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2 1E，连接PE，DE．
(1)证明：AB⊥平面PDE;
(2)证明：△PCD为直角三角形;
(3)若PD=√3，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
2
已知正项数列{a }中，a = ，3n+1 (a −a )=2．
n 1 3 n+1 n
证明：数列 是等比数列
(1) {1+3na } ;
n
(2)求数列{a }的通项公式;
n
4 4 4
(3)设b =[log (1−a )] 2，证明： + +⋯+ <7．
n 3 n b b b
1 2 n
18.(本小题12分)
已知椭圆 y2 x2 的下焦点为 ，其离心率为√2．
C: + =1(a>b>0) F(0,−2)
a2 b2 2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆C交于P，Q两点(直线PQ与坐标轴不垂直)，过P，Q作y轴的垂线，垂足分别为M，
N，若直线PN与QM交于点H，证明：点H的纵坐标为定值．
19.(本小题12分)
定义函数T (x)满足T (cosx)=cosnx，且T (x)的定义域均为[−1,1]，n∈N∗.已知函数
n n n
1
f(x)= T (x)⋅[T (x)+1]lnx.
2 1 2
(1)求f(x)的解析式和定义域;
(2)求f(x)的最小值;
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3 1若 ， 是 的两个实根，证明： 2 1 ．
(3) x x (00)，所以f ′(x)=
x−a−1
ex ，由题意可知，f ′(0)=
−a−1
=−2，
x−a (x−a) 2 a2
1
解得a=1或a=− (舍去)，故实数a的值为1；
2
(2)(2)f(x)的定义域为{x|x≠1}，
x−2
由(1)可知，f ′(x)= ex ，
(x−1) 2
令f ′(x)=0，解得x=2，当x∈(−∞,1)∪(1,2)时，f ′(x)<0，当x∈(2,+∞)时，f ′(x)>0，
故f(x)在(−∞,1)，(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
(3)由(2)知，f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
e2
故f(x)在x=2处取得极小值，极小值为f(2)= =e2，无极大值．
2−1
16.(1)证明：因为侧面PAB是等边三角形，E为AB的中点，所以PE⊥AB．
因为四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60∘，所以DE⊥AB．
又PE∩DE=E，PE，DE⊂平面PDE，AB⊂平面PDE，所以AB⊥平面PDE．
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5 1(2)证明：因为AB//CD，所以CD⊥平面PDE．
又PD⊂平面PDE，所以CD⊥PD，故△PCD为直角三角形．
(3)解：因为AB⊂平面ABCD，故由(1)可知，平面PDE⊥平面ABCD，易求PE=DE=√3，
又PD=√3，所以△PDE为等边三角形，
取DE的中点O，连接OP，则OP⊥DE，
因为DE为平面ABCD与平面PED的交线，OP⊂平面PED，
所以OP⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，直线OD，OP分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐
标系O−xyz，
√3 √3 √3 3 ⃗ √3 3
则B(1,− ,0)，C(2, ,0)，D(0, ,0)，P(0,0, )，PB=(1,− ,− )，⃗CD=(−2,0,0)，
2 2 2 2 2 2
⃗ √3 3
PD=(0, ,− )，
2 2
⃗ ⃗
{
CD⋅m=−2x=0,
⃗
设平面PCD的法向量为m=(x,y,z) ，由 ⃗ ⃗ √3 3
PD⋅m= y− z=0,
2 2
⃗
取z=1，得m=(0,√3,1) ．
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6 1⃗ ⃗
设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则 sinθ=|cos|=
|m⋅PB|
=
3
=
3
，
⃗ ⃗ 2×2 4
|m||PB|
3
故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 ．
4
17. 证明：由 得， ，
(1) 3n+1 (a −a )=2 3n+1a =2+3n+1a
n+1 n n+1 n
则 ，
1+3n+1a =3+3n+1a =3×(1+3na
)
n+1 n n
1+3n+1a
因为 a >0 ，所以 n+1=3 ，
n 1+3na
n
2
又1+3a =1+3× =3，故数列{1+3na }是首项为3，公比为3的等比数列．
1 3 n
解：由 可知， ，故 3n−1 1 ．
(2) (1) 1+3na =3×3n−1=3n a = =1−( ) n
n n 3n 3
1
(3)证明：由(2)得，b =[log (1−a )] 2=[log ( ) n ] 2=n2，
n 3 n 3 3
4
当n=1时， =4<7，不等式成立;
b
1
4 4 4
当n=2时， + =4+ =5<7，不等式成立;
b b 22
1 2
1 1 1 1
当n≥3时， < = − ，
n2 n(n−1) n−1 n
4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 4 4
所以 + +⋯+ <4[1+ +( − )+( − )+⋯+( − )]<5+(2− )=7− <7，
b b b 22 2 3 3 4 n−1 n n n
1 2 n
4 4 4
综上可知， + +⋯+ <7．
b b b
1 2 n
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7 1{a2−b2=4,
18.解： 由题意可知， 解得 ， ，
(1) 2 √2 a2=8 b2=4
= ,
a 2
y2 x2
故椭圆C的标准方程为 + =1；
8 4
(2)证明：设直线PQ的方程为y=kx−2(k≠0)，P(x ,y )，Q(x ,y )，则M(0,y )，N(0,y )，
1 1 2 2 1 2
{y2 x2
由 + =1,得 ，显然， ，
8 4 (k2+2)x2−4kx−4=0 Δ>0
y=kx−2,
4k 4
则x +x = ，x x =− ，
1 2 k2+2 1 2 k2+2
易知直线 与 的斜率均存在，则直线 的方程为 y −y ，
PN QM PN y=− 2 1 x+ y ①
x 2
1
直线 的方程为 y −y ，
QM y= 2 1 x+ y ②
x 1
2
联立 消去 得， x y +x y
①)② x y= 1 2 2 1
x +x
1 2
8k
−
x (kx −2)+x (kx −2) 2kx x k2+2
= 1 2 2 1 =−2+ 1 2=−2+ =−4，
x +x x +x 4k
1 2 1 2
k2+2
故点H的纵坐标为定值−4．
19.解：(1)由题意得，T (cosx)=cosx，故T (x)=x，
1 1
又 ，所以 ，
T (cosx)=cos2x=2cos2x−1 T (x)=2x2−1
2 2
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8 1故 ， 的定义域为 ．
f(x)=x3lnx f(x) (0,1]
，
(2)f ′(x)=3x2lnx+x2=x2 (3lnx+1)
令f ′(x)=0，解得
x=e
−
3
1，
1 1
当
x∈(0,e
−
3)
时，f ′(x)<0，f(x) 单调递减;当
x∈(e
−
3,1]
时，f ′(x)>0，f(x) 单调递增，
故 − 1 − 1 − 1 1 ；
f(x) =f(e 3)=(e 3) 3lne 3=−
min 3e
(3)证明：因为x ，x (00 ，
x 2 1
1 +
x3 x3
1 2
x
1−( 2 ) 3
x x
即证 ln 2+ 1 >0 ，
x x
1 2( 2 ) 3+1
x
1
令 x ，则只需证 1−m3 ，
m= 2 (m>1) lnm+ >0
x 2m3+1
1
设
1−m3
，
g(m)=lnm+ (m>1)
2m3+1
则 1 9m2 4m6−5m3+1
g′(m)= − =
m (2m3+1) 2 m(2m3+1) 2
(4m3−1)(m3−1)
，
= >0
m(2m3+1) 2
所以g(m)在(1,+∞)上单调递增，
则 ，所以
1−m3
成立，
g(m)>g(1)=0 lnm+ >0
2m3+1
故 2 1 ．
a( + )<−1
x3 x3
1 2
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10 1
