文档内容
西安市铁一中学 2022-2023 学年上学期期末
高三文科数学
注意事项：
1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位
置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、
胶带纸、修正带。
4.考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：（本题共 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．若集合 ，则
A． B． C． D．
2．设命题 ， ；命题 ， ，则下列命题为真
的是
A． B． C． D．
3．设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．如果 ，那么下列不等式成立的是
A． B． C． D．
5．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：
kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定
程度的是
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
6．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦
点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为A． B． C． D．
7．圆心在坐标原点 的圆上有两点 、 ，点 的坐标为 且 ，若点
在角 的终边上且角 是三角形的一个内角，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
8．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积
为
A． B．
C． D．
9．如图所示，正方体 的面AC ，BC，CD 的中心分别为O，O，
1 1 1 1 1 2
O，则直线 与直线OO 所成的角为（ ）
3 2 3A．90° B．60° C．45° D．30°
10． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ．则
（ ）
A．1 B． C． D．
11．在直四棱柱 中，底面 是边长为6的正方形，点E在线段
上，且满足 ，过点E作直四棱柱 外接球的截面，所得
的截面面积的最大值与最小值之差为 ，则直四棱柱 外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 ，则
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．曲线 在 处的切线方程为_________.
14．如表中给出五组数据 ，从中选出四组使其线性相关最大，且保留第一组
，那么应去掉第___________组.
1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 4
-3 -2 4 -1 6
15．设等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 ____________．
16．设定义在区间 上的函数 的图象与 的图象交于点 ，过
点 作 轴的垂线，垂足为 ，直线 与函数 的图象交于点 ，则线段
的长为_____.
三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，
频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x的值；
（2）①求在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数；
②如果按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，那么用
电量在[150，200）内的居民数应抽取多少？
18．已知等差数列{an}（n N+）中，an ＞an，aa＝232，a+a＝37
+1 2 9 4 7
（1）求数列{an}的通项公∈式；
（2）若将数列{an}的项重新组合，得到新数列{bn}，具体方法如下：b＝a，b＝
1 1 2
a+a，b＝a+a+a+a，b＝a+a+a +…a ，…，依此类推，第n项bn由相应的{an}
2 3 3 4 5 6 7 4 8 9 10 15
中 项的和组成，求数列{bn }的前n项和Tn.
19．如图，长方体 中， ， 与底面ABCD所成的角为
.
(1)求四棱锥 的体积；
(2)求异面直线 与 所成角的大小.
20．已知椭圆 经过点 ，离心率 ，其中 分别表
示标准正态分布的期望值与标准差．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为 ．①试建立 的面积关于m的函数关系；②莆田十中高三（1）班数学兴趣小组通过
试验操作初步推断：“当m变化，直线 与x轴相交时，交点是一个定点”．你认
为此推断是否正确?若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理
由．
21．设函数 ,其中常数
(Ⅰ)讨论 的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时， >0恒成立，求 的取值范围.
22．已知圆C的极坐标方程为 ，直线l的方程为 .以极
点为坐标原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系 .
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）直线l与圆C的交点为A，B，求三角形ABC的面积.
23．已知函数 ，
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若函数 为偶函数，此时 的最小值为t，若实数a，b，c满足
，证明：参考答案
1．C
解出集合M，然后和集合N取交集即可.
由题意得 ,
则 .
故选C.
本题考查集合的交集运算，属于简单题.
2．C
对 赋值为4时，可判断命题 为真命题，
当 赋值为4时，可判断命题 为假命题．由此可以判断C答案正确．
当 时， ，故命题 为真命题，
当 时， ，故命题 为假命题．
由复合命题的真假判断可知，故选C．
本题主要考查了逻辑联结词联结的两个命题的真假判断．
（1） 中， 有一个是假命题，则 是假命题，
（2） 中， 有一个是真命题，则 是真命题，
（3）若 为真命题，则 为假命题，反之若 为假命题，则 为真命题．
3．B
根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得 ，进而求模长即可.
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
4．D
若 ，则 ，即 ，故 错误； ，故 错误； 在
时，不成立，故 错误； ，故 正确，故选D.
5．B
评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.
点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；
中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；
平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离
平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．
6．D
试题分析：双曲线的一条渐近线是 ，则 ①，抛物线 的准线是
，因此 ，即 ②，由①②联立解得 ，所以双曲线方程
为 ．故选D．
考点：双曲线的标准方程．
7．A
由已知得 ，再运用正弦、余弦二倍角、以及辅助角公式化简原式为
，代入可求得其值得选项.
因为 ， 为等边三角形， ，即 ，而 为三角形的内
角 ，
，
故选：A．
8．A
由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为 ，底面对角
线长为 ，球的半径为 ，所以几何体的表面积为：
，故选A．
9．A
如图，连接 ，设 交 于 ，连接 ，则可得 ∥ ， ∥ ，从
而结合已知条件可求出两异面直线所成的角
解：如图，连接 ，设 交 于 ，连接 ，
因为在正方体 的面AC ，BC，CD 的中心分别为O，O，O，
1 1 1 1 1 2 3所以 ∥ ， ∥ ，
所以直线 与直线OO 所成的角等于直线 与 所夹的角，
2 3
因为 ， 为 的中点，
所以 ，
所以直线 与直线OO 所成的角为 ，
2 3
故选：A
10．B
首先由诱导公式求出 ，再根据正弦定理计算可得；
解：依题意
由正弦定理 ，即 ，解得 ；
故选：B
11．B
根据题意得，设 ，故当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为 ；
当 截面时，截面圆面积最小，此时截面圆半径为 ，截面面积为
，进而得 ，故外接球的半径为 .
因为四棱柱 是直棱柱，且底面是正方形，
所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作 ，
过点 向底面 作垂线，垂足为 ，则 ，
连接 ，因为底面 是边长为6的正方形，所以点 为 的中点，
取 中点为 ，连接 ， ， ，如图，设 ，则 ，所以外接球的半径为 ，
因为点 在线段 上，且满足 ，则 ，
又 ，所以 ，
因为直四棱柱中， 侧面 ， ，所以 侧面 ，
所以 ，又 底面 ，而 底面 ，所以 ，
又 ，故 平面 ，因 平面 ，所以 ，
则 ；
根据球的特征，过点 作直四棱柱 外接球的截面，
当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为 ；
当 截面时，截面圆面积最小，此时截面圆半径为 ，此时截面圆面积为
；
又截面面积的最大值与最小值之差为 ，
所以 ，
因此 ，即 ，所以 .
所以
故选：B
关键点点睛：本题解题的关键是找准过点 作几何体外接球的截面圆中面积最大为截面圆
为过球心的截面圆，面积最小的截面圆为与 垂直的的截面圆的面积，再根据几何计算
即可得答案.
12．B由题推导函数 关于点（2,1）对称即可求解
因为
故函数 关于点（2,1）对称，则
故选B
本题考查函数的对称性，考查对数的运算，考查推理计算能力，是中档题
13．
求导 ，计算 ，得到切线方程.
，故 ，
故所求切线方程为 .
故答案为： .
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.
14．3
画出散点图，根据线性相关及点偏离程度判断应去掉的点.
根据表格数据，散点图如下图示：
显然 偏离程度最高，故去掉第三组.
故答案为：3
15．3
由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可.
设等比数列 的公比为q，由 得 ，所以 ，所以 ， ，则 ．
故答案为：3.
16．
设 ，则 ， ，所以线段 的长为 ，根据
结合同角三角函数基本关系可计算 的值，即可求解.
设 ，则 ，由题意知 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
直线 与函数 的图象交于点 ，可得 ，
所以 ，
故答案为： .
17．（1）x＝0.0044；（2）①70户；②3（户）．
（1）由频率分布直方图，列出方程，能求出直方图中 的值．
（2）①先求出用电量在 ， 内的频率为0.7，由此能求出在这些用户中，用电量在
区间 ， 内的居民数．
②用电量在 ， 内的户数为30户，由此利用分层抽样的性质能求出用电量在 ，
内的居民数应该抽取的户数．
（1）由频率分布直方图得：
（0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060）×50＝1，
解得直方图中x＝0.0044．
（2）①用电量在[100，250）内的频率为：
（0.0036+0.0060+0.0044）×50＝0.7，
∴在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数为100×0.7＝70户．
②用电量在[150，200）内的户数为0.0060×50×100＝30（户），
按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，
用电量在[150，200）内的居民数应该抽取： （户）．18．（1） ；（2） .
（1）由an ＞an，结合aa＝232，a+a＝a+a＝37，利用等差数列的性质可求a，a，
+1 2 9 4 7 2 9 2 9
进而可求公差d，即可求解通项；
（2）由题意得 ，结合等差数列与等比数列的求和公式可求
bn，即可求解.
解：（1）由an ＞an，可得公差d＞0，
+1
∵aa＝232，a+a＝a+a＝37，∴a＞a，
2 9 4 7 2 9 9 2
∴ .
设公差为d，则d 3
∴an＝a+3（n﹣2）＝8+3n﹣6＝3n+2.
2
（2）由题意得： ，
＝（3•2n﹣1+2）+（3•2n﹣1+5）+（3•2n﹣1+8）+…+[3•2n﹣1+（3•2n﹣1﹣1）]
＝2n﹣1×3•2n﹣1+[2+5+8+…+（3•2n﹣1﹣4）+（3•2n﹣1﹣1）]
而2+5+8+…+（3•2n﹣1﹣4）+（3•2n﹣1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的 项的
和，
所以2+5+8+…++（3•2n﹣1﹣4）+（3•2n﹣1﹣1）
＝3 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
19．(1)
(2)
（1）先求得长方体 的高 的值，进而求得四棱锥 的体积；
（2）先作出异面直线 与 所成角，再利用余弦定理求其大小即可解决.（1）连接AC，因为 平面ABCD，
所以 是 与底面ABCD所成的角.
所以 ，所以 ，
所以 .
（2）联结BD，则 ，
所以 就是异面直线 与 所成的角（或其补角）
中， ， ，
所以 ，
又 ，则
所以异面直线 与 所成角的大小为 .
20．（1） ；（2）① ；②推断正确，定点 ．
（1）利用椭圆过点 ，离心率 ，列式计算即得椭圆方程.
（2）①把 与椭圆C的方程联立，借助韦达定理、三角形面积公式即可求解作答；
②利用①中信息求出直线 的方程即可判断作答.．
（1）因 分别表示标准正态分布的期望值与标准差，则 ，即椭圆过点 ，，
又离心率 ，则 ，解得 ，
所以椭圆C的方程是 .
（2）①由（1）及已知得： ，消去x并整理得： ，
设 ，则 ，
于是得 ，直线 过定
点 ，
所以 面积 ；
②由①知， ，因直线 与x轴相交，则点 与 不重合，即 ，
由 得 ，
直线 的斜率 ， ，
直线 的方程为： ，即 ，
整理得： ，因此，直线 恒过点 ，
所以推断正确，定点坐标是 .
结论点睛：过定点 的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点 ， ，则
面积 ；
过定点 直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点 ， ，则 面积
.
21．（I）当 时， 在区间 和 是增函数，在区间 是减函数.
（II）取值范围是（1，6）
：因为第(Ⅰ)题中要求函数的单调区间,利用导数的正负即可求出,所以首先要求出函数的导数,
然后解不等式 和 即可. 第(Ⅱ)小题是一个恒成立问题,转化为求函数的最
值解决,所以要求出函数 在x≥0时的最小值.（I）
由 知，当 时， ，故 在区间 是增函数；
当 时， ，故 在区间 是减函数；
当 时， ，故 在区间 是增函数.
综上，当 时， 在区间 和 是增函数，在区间 是减函数.
（II）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值.
由假设知
即 解得
故 的取值范围是（1，6）
22．（1） ，2；（2）2.
（1）将圆C的极坐标方程化为圆的标准方程，即可得出圆C的圆心坐标及半径；
（2）利用极经的应用和三角形的面积公式即可得出答案.
（1）圆 的极坐标方程为 ，
所以 ，
根据 得直角坐标方程为 .
所以圆的圆心坐标为 ，半径为2.
（2）直线 的极坐标方程为 .
所以，整理得 ，
所以 ， .所以 .
由于 为等腰三角形.
所以弦 上的高 ，
所以 .
23．（1） （2）证明见解析
1 化为分段函数即可求出不等式的解集 2 根据偶函数的性质求出函数m的值，再根据
三角绝对值不等式求出t的值，再根据基本不等式即可证明．
（1） ，则
由 可得 由 无解 可得 ；
综上 的解集为 ，
证明：（2）因为函数 为偶函数，所以 ，此时
，
所以 ，
因为 ， ，
所以 当且仅当 时，取“ “ ，
所以 ，
即 ．
本考主要查了利用绝对值三角不等求最小值和基本不等式，考查了转化思想和计算能力，
属中档题．
