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第十八章 四边形中档证明题精选 30 道
【人教版】
1．如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点
F．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）若AB＝4，∠B＝60°，求AE的长．
1
【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE∥AB，DE= AB，再证明四边形ABDF是平行四边形，然
2
后由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接AD，证明△ABD是等边三角形，得AD＝BD＝AB，再证明△ABC是直角三角形，∠BAC＝
90°，然后由勾股定理求出AC的长，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，BC＝2BD，
1
∴DE∥AB，DE= AB，
2
又∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵BC＝2AB，BC＝2BD，
∴AB＝BD．
∴平行四边形ABDF是菱形；
（2）解：如图，连接AD，由（1）可知，AB＝BD，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
1
∴AD＝BD＝AB＝CD= BC，
2
∴BC＝2AB＝8，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC=❑√BC2−AB2=❑√82−42=4❑√3，
∵E是AC的中点，
1
∴AE= AC＝2❑√3，
2
即AE的长为2❑√3．
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作
CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=❑√5，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出
结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
1
∴OB= BD=1，
2
在Rt△AOB中，AB=❑√5，OB＝1，
∴OA=❑√AB2−OB2=❑√5−1=2，
∴OE＝OA＝2．
3．已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AF，CE．
（1）▱如图1，求证：AF＝CE；
（2）如图2，连接AE，CF，若BE＝AE＝AO，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2中的所
有与△COF面积相等的钝角等腰三角形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，得四边形AECF是平行四边
形，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质证明△AEB和△AOF，△CFD和△COE是钝角等腰三角形，再根据等底等
高的三角形面积相等，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1，连接AE，CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE；
（2）解：∵BE＝AE＝AO，BE＝OE，
∴AE＝AO＝EO，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AEO＝∠AOE＝60°，
∴∠AEB＝∠AOF＝120°，
∴△AEB和△AOF是钝角等腰三角形，
由（1）知：四边形AECF是平行四边形，
∴CF＝AE，OE＝OF，
∴CF＝OF＝OC，
∴△COF是等边三角形，
∴∠CFO＝∠COF＝60°，
∴∠CFD＝∠COE＝120°，
∴△CFD和△COE是钝角等腰三角形，
∵BE＝OE＝OF＝FD，
∴与△COF面积相等的钝角等腰三角形有：△AEB和△AOF，△CFD和△COE．
4．如图，在 ABCD 中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，连接AF，CE．
（1）求证▱：∠AFD＝∠CEB．
（2）若G，H分别是AF，CE上的点，且 AG＝CH，∠AEG+∠AFD＝90°，试判断四边形EHFG是什
么特殊四边形，并说明理由．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠D＝∠B，AD＝BC，根据全等三角形的判定推出
△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，求出∠AFD＝∠CEB＝∠DCE，求出HF
＝EG，HF∥EG，求出∠HEG＝90°，根据平行四边形的判定和矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D＝∠B，AD＝BC，
在△ADF和△CBE中
{
AD=CB
)
∠D=∠B ，
DF=BE
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB；
（2）四边形HEGF是矩形，
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵∠AFD＝∠CEB，
∴∠AFD＝∠DCE，
∴AF∥CE，
∵△ADF≌△CBE，
∴AF＝CE，
∵AH＝CG，
∴AF﹣AH＝CE﹣CG，
即HF＝GE，
∴四边形HEGF是平行四边形，
∵∠AEG+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CEB，∴∠AEG+∠CEB＝90°，
∴∠HEG＝180°﹣（∠AEG+∠CEB）＝90°，
∴四边形HEGF是矩形．
5．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O、E是BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，连接
AE，CF▱．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若EF平分∠AEC，求证AB⊥AC．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，易证△AOF≌△CEO（ASA），根据全
等三角形的性质可得AF＝CE，进一步即可得证；
（2）先根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形 AECF是菱形，根据菱形的性质可得
AC⊥EF，再证明四边形ABEF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB∥EF，进一步即可得证．
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AO＝CO，AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△CEO中，
{∠FAO=∠ECO
)
AO=CO ，
∠AOF=∠COE
∴△AOF≌△CEO（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFE＝∠CEF，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝AF，
∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AB∥EF，
∴AB⊥AC．
6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作
EF∥BD，交BC于点F．
（1）求证：四边形OEFB是矩形；
（2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积．
【分析】（1）证OE是△BCD的中位线，得OE∥BC，则四边形OEFB是平行四边形，再证∠CBD＝
90°，即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出DB，进而利用矩形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AD∥BC．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线．
∴OE∥BC．
又∵EF∥BD，
∴四边形OEFB是平行四边形．
∵AD⊥BD，AD∥BC，
∴BC⊥BD，∴∠CBD＝90°．
∴四边形OEFB是矩形；
（2）解：∵AD＝8，
1 1
∴OE= BC= AD=4，
2 2
∵AD⊥BD，AB＝DC＝12，
∴DB=❑√AB2−AD2=❑√122−82=4❑√5，
1
∴OB= BD=2❑√5，
2
∴矩形OEFB的面积=OB⋅OE=4×2❑√5=8❑√5．
7．如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝
CD． ▱
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝▱2，∠ABC＝60°，求AE的长．
【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得
AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2，再由勾股定理得OD=❑√3，然后由矩形的在得CE＝OD
=❑√3，∠OCE＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE＝CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形；
（▱2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴OA＝OC＝1，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=❑√CD2−OC2=❑√3，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD=❑√3，∠OCE＝90°，
∴AE=❑√AC2+CE2=❑√22+(❑√3) 2=❑√7，
即AE的长为❑√7．
8．已知：如图， ABCD 中，E 为 AD 边上一点，F 为 BC 边延长线上一点，AE＝CF，过点 F 作
FG∥BE，交DC▱延长线于点G，连接BG．
（1）求证：△ABE≌△CGF；
（2）当EC＝DC时，判断四边形BGFE是什么特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形性质得∠A＝∠BCD＝∠GCF，AB＝DC，AD∥BC，则∠AEB＝∠EBC，
再根据FG∥BE得∠EBC＝∠F，进而得∠AEB＝∠F，由此可依据“ASA”判定△ABE和△CGF全等；
（2）连接EG交BF于点O，根据△ABE和△CGF全等得BE＝FG，AB＝CG，则四边形BGFE是平行
四边形，进而得OE＝OG，再根据AB＝DC，AB＝CG，EC＝DC得EC＝CG，则EG⊥BF，据此可得出
平行四边形BGFE是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠BCD＝∠GCF，
∴∠A＝∠GCF，
∵AD∥BC，FG∥BE，∴∠AEB＝∠EBC，∠EBC＝∠F，
∴∠AEB＝∠F，
在△ABE和△CGF中，
∠A＝∠GCF，AE＝CF，∠AEB＝∠F，
∴△ABE≌△CGF（ASA）；
（2）当EC＝DC时，四边形BGFE是菱形，理由如下：
连接EG交BF于点O，如图所示：
∵△ABE≌△CGF，
∴BE＝FG，AB＝CG，
又∵FG∥BE，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴OE＝OG，
∵AB＝DC，AB＝CG，EC＝DC，
∴EC＝CG，
∴EG⊥BF，
∴平行四边形BGFE是菱形．
9．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长
交BC于点E．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形．【分析】（1）由 AD∥BC，得到∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA，结合 BO＝DO，证明
△AOD≌△EOB（AAS），推出AO＝EO，易证四边形ABED是平行四边形，再根据∠ABD＝∠CBD，
推出∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，即可证明；
（2）由（1）知四边形ABED是菱形，可得∠BOF＝∠DOF＝90°，由CF⊥AE，推出∠CFE＝90°，结
合BE＝CE，证明△ECF≌△EOB（AAS），推出OB＝CF，进而得到CF＝DO，由∠BOF＝∠CFE＝
90°证明BD∥CF，易证四边形ODCF是平行四边形，结合∠CFE＝90°，即可证明结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA，
∵BO＝DO，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴AO＝EO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）由（1）知四边形ABED是菱形，
∴BD⊥AE，
∴∠BOF＝∠DOF＝90°，
∵CF⊥AE，
∴∠CFE＝90°，即∠CFE＝∠BOF，
∵BE＝CE，∠CEF＝∠BEO，
∴△ECF≌△EOB（AAS），
∴OB＝CF，
∴CF＝DO，
∵∠BOF＝∠CFE＝90°，
∴BD∥CF，
∴四边形ODCF是平行四边形，
∵∠CFE＝90°，
∴四边形ODCF是矩形．10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂
足分别为点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由；
（3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°，由平行四边形
的性质得CB∥AD，且CB＝AD，则∠BCE＝∠DAF，即可根据“AAS”证明△BCE≌△DAF，得BE＝
DF，则四边形BEDF是平行四边形；
（2）由BE⊥AC于点E，得BE＜BF，即BE≠BF，可知四边形BEDF不能是菱形；
（3）由全等三角形的性质得CE＝AF＝7，BE＝DF，因为DF＝EF，所以BE＝EF，则AE＝7+EF＝
7+BE，由∠AEB＝90°，AB＝13，根据勾股定理得（7+BE）2+BE2＝132，求得BE＝5，则BE＝DF＝EF
95
＝5，求得AC＝19，则S△ABC ＝S△CDA =
2
，所以S平行四边形ABCD ＝2S△ABC ＝95．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB∥AD，且CB＝AD，
∴∠BCE＝∠DAF，
在△BCE和△DAF中，
{∠BCE=∠DAF
)
∠CEB=∠AFD ，
CB=AD
∴△BCE≌△DAF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）解：四边形BEDF不能是菱形，
理由：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴点E与点F不能重合，∵BE⊥AC于点E，
∴BE＜BF，
∴BE≠BF，
∴四边形BEDF不能是菱形．
（3）解：由（1）得△BCE≌△DAF，
∴CE＝AF＝7，BE＝DF，
∵DF＝EF，AB＝13，
∴BE＝EF，
∴AE＝7+EF＝7+BE，
∵∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴（7+BE）2+BE2＝132，
解得BE＝5或BE＝﹣12（不符合题意，舍去），
∴BE＝DF＝EF＝5，
∴AC＝CE+AF+EF＝7+7+5＝19，
1 95
∴S△ABC ＝S△CDA =
2
×19×5 =
2
，
95
∴S平行四边形ABCD ＝2S△ABC ＝2×
2
= 95，
∴平行四边形ABCD的面积为95．
11．如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，AF是BC边上的中线，连接 BD，以BD为边作等边
△BDE，连接AE．
（1）求证：四边形AEBF为矩形；
（2）若AC＝4，求四边形AEBF的面积．
【分析】（1）先证明四边形AEBF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；（2）分别求出AF，BF，再根据矩形面积计算公式列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵点D是AC的中点，AF是BC边的中线，
∴AF＝BD，∠CBD＝30°，AF⊥BC，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，
∵△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，
∴AF＝BD＝BE，∠EBF＝60°+30°＝90°，
∴∠EBF＝∠AFC＝90°，
∴AF∥BE，
∴四边形AEBF是平行四边形，
又∵∠AFB＝90°，
∴平行四边形AEBF是矩形；
（2）解：∵AC＝4，△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝AB＝4，
∵AF是BC边的中线，
1
∴∠AFB=90°，BF= BC=2，
2
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=❑√AB2−BF2=❑√42−22=2❑√3，
又∵四边形AEBF是矩形，
∴S =AF⋅BF=2❑√3×2=4❑√3．
矩 形AEBF
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交
AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长．【分析】（1）证△FCE≌△ACD（ASA），得EF＝AD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DF＝AE＝6，再由等腰三角形的性质得CD＝BD＝2，则DE＝2CD＝4，进
而由勾股定理得EF＝2❑√5，然后由面积法求出EG的长即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝6，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴EF=❑√DF2−DE2=❑√62−42=2❑√5，∵EG⊥DF，
1 1
∴S△DEF =
2
DF•EG =
2
DE•EF，
DE⋅EF 4×2❑√5 4❑√5
∴EG= = = ，
DF 6 3
4❑√5
即EG的长为 ．
3
13．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段
AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长．
【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即
可；
（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到
AF的长度；最后结合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥AC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥DG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，∴四边形DEFG为矩形；
（2）∵AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，AB＝10，
1
∴DE＝AE= AB＝5．
2
由（1）知，四边形DEFG为矩形，则GF＝DE＝5．
在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF=❑√AE2−EF2=❑√52−42=3．
∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．
14．如图，在 ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，
∠BDC＝90°▱．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB＝4，BD=2❑√5，求OC的长．
【分析】（1）证△AOB≌△DOE（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，然后证
∠BDE＝90°，即可得出结论；
（2）过点O作OF⊥DE于点F，由矩形的性质得DE＝AB＝4，OD＝OE，再由等腰三角形的性质得DF
1 1
＝EF= DE＝2，则OF为△BDE的中位线，得OF= BD=❑√5，然后由平行四边形的性质得CD＝AB＝
2 2
2，进而由勾股定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
1 1
∴DE＝AB＝4，OD= AD，OB＝OE= BE，AD＝BE，
2 2
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
1
∴DF＝EF= DE＝2，
2
∴OF为△BDE的中位线，
1
∴OF= BD=❑√5，
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC=❑√CF2+OF2=❑√62+(❑√5) 2=❑√41，即OC的长为❑√41．
15．如图，在△ABF中，E是AB的中点，延长BF至D，使得DF＝BF，连接AD，延长EF至点C，使得
CF＝AD，连接CD．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）连接AC交DB于点O，若CE⊥DB，EF＝1，AE=❑√10，求AF，AC的长．
【分析】（1）由DF＝BF，E是AB的中点，得EF∥AD，而点C在EF的延长线上，则CF∥AD，因为
CF＝AD，所以四边形AFCD为平行四边形；
（2）由AE＝BE=❑√10，EF＝1，AB＝2AE＝2❑√10，AD＝2EF＝2，由EF∥AD，CE⊥DB于点F，得
∠ADB＝∠EFB＝90°，则BD=❑√AB2−AD2=6，所以DF＝BF＝3，求得AF=❑√AD2+DF2=❑√13，
1 3 5
由平行四边形的性质得OD＝OF= DF= ，则OA=❑√AD2+OD2= ，求得AC＝2OA＝5．
2 2 2
【解答】（1）证明：∵DF＝BF，
∴F是DB的中点，
∴E是AB的中点，
∴EF∥AD，
∵点C在EF的延长线上，
∴CF∥AD，
∵CF＝AD，
∴四边形AFCD为平行四边形．
（2）解：∵DF＝BF，AE＝BE=❑√10，EF＝1，
1
∴EF∥AD，且EF= AD，AB＝2AE＝2❑√10，
2
∴AD＝2EF＝2，
∵CE⊥DB于点F，
∴∠ADB＝∠EFB＝90°，∴BD=❑√AB2−AD2=❑√(2❑√10) 2−22=6，
1
∴DF＝BF= BD＝3，
2
∴AF=❑√AD2+DF2=❑√22+32=❑√13，
∵四边形AFCD为平行四边形，
1 3
∴OD＝OF= DF= ，OA＝OC，
2 2
√ 3 5
∴OA=❑√AD2+OD2=❑22+( ) 2= ，
2 2
∴AC＝2OA＝5，
∴AF的长是❑√13，AC的长是5．
16．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE
至G，使EG＝AE，连接CF，CG．
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形．
（2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值．
【分析】（1）由矩形ABCD可知OA＝OB＝OC＝OD，根据条件可得OE是△ACG的中位线，根据中
位线性质可推出EF＝CG，FE∥CG，则可知四边形EFCG是平行四边形；
（2）过A作AH⊥BD于H，设OE＝m，可知BE＝OE＝OF＝DF＝m，又四边形EFCG是菱形，可得
15
OA＝AE＝2m，由勾股定理求出 AH2＝AE2﹣EH2= m2；即可得 AB=❑√AH2+BH2=❑√6m，AD
4
❑√15
=❑√AH2+DH2=❑√10m，从而可得AB：AD的值为 ．
5
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵EG＝AE，AO＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
1
∴OE∥CG，OE= CG，
2
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
1 1
∴OE= OB= OD＝OF，
2 2
1
∴OE= EF，
2
∴EF＝CG，FE∥CG，
∴四边形EFCG是平行四边形；
（2）解：过A作AH⊥BD于H，如图：
设OE＝m，由（1）可知BE＝OE＝OF＝DF＝m，
∴OB＝OD＝OA＝OC＝2m，
∵四边形EFCG是菱形，
∴EF＝EG＝AE＝2m，
∴OA＝AE＝2m，
∵AH⊥BD，
1 m
∴HE＝HO= OE= ，
2 2
1 15 m 3
∴AH2＝AE2﹣EH2＝（2m）2﹣（ m）2= m2；BH＝BE+HE＝m+ = m，DH＝OD+HO＝2m
2 4 2 2
m 5
+ = m，
2 2
√15 3 √15 5
∴AB=❑√AH2+BH2=❑ m2+( m) 2=❑√6m，AD=❑√AH2+DH2=❑ m2+( m) 2=❑√10m，
4 2 4 2❑√15
∴AB：AD＝（❑√6m）：（❑√10m）= ；
5
❑√15
∴AB：AD的值为 ．
5
1
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使CD= BC，连结
2
EF，CE，DF．
（1）求证：四边形CDFE是平行四边形．
（2）连结DE，交AC于点O，若AB＝BD＝6，求DE的长．
【分析】（1）利用三角形中位线的性质得，进而可得，即可求证；
1 1 2
（2）由CD= BC可得CD= BD=2，BC= BD=4，利用勾股定理得AC=2❑√5，再根据平行四边
2 3 3
1 1 ❑√5
形的性质得OC= CF= AC= ，DE＝2OD，利用勾股定理求出OD即可求解．
2 4 2
【解答】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
1
∴EF∥BC，EF= BC，
2
∴CD∥EF，
1
∵CD= BC，
2
∴CD＝EF，
∴四边形DCEF是平行四边形；
1
（2）解：∵CD= BC，BD＝AB＝6，
2
1 2
∴CD= BD=2，BC= BD=4，
3 3
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCD＝90°，在Rt△ABC中，AC=❑√AB2−BC2=2❑√5，
1 1 ❑√5
在平行四边形DCEF中，OC= CF= AC= ，DE＝2OD，
2 4 2
❑√21
在Rt△OCD中，OD=❑√CD2+OC2= ，
2
∴DE=2OD=❑√21．
18．矩形ABCD中，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，且AE＝CF．
1
（1）如图，当AE＜ AC时，求证：四边形EGFH是平行四边形；
2
（2）若AB＝6，BC＝8，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出AE的长．
1 1
【分析】（1）由矩形的性质得AB＝DC，AB∥DC，则AG= AB= DC＝CH，∠GAE＝∠HCF，而AE
2 2
＝CF，即可根据“SAS”证明△GAE≌△HCF，得 EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，推导出∠FEG＝
∠EFH，则EG∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接GH，由AB＝DC＝6，BC＝8，∠B＝90°，求得BG＝CH＝3，AC=❑√AB2+BC2=10，可证
明四边形BCHG是平行四边形，则GH＝BC＝8，因为以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，所以EF
1 1
＝GH＝8，当AE＜ AC时，则2AE+8＝10，求得AE＝1；当AE＞ AC时，2AE﹣8＝10，求得AE＝
2 2
9，所以AE的长为1或9．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，G，H分别是AB，DC的中点，
∴AB＝DC，AB∥DC，
1 1
∴AG= AB= DC＝CH，∠GAE＝∠HCF，
2 2
在△GAE和△HCF中，{
AG=CH
)
∠GAE=∠HCF ，
AE=CF
∴△GAE≌△HCF（SAS），
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴180°﹣∠AEG＝180°﹣∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：AE的长为1或9，
理由：连接GH，
∵AB＝DC＝6，BC＝8，∠B＝90°，
1 1
∴AG＝BG= AB＝3，DH＝CH= DC＝3，AC=❑√AB2+BC2=❑√62+82=10，
2 2
∴BG∥CH，且BG＝CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH＝BC＝8，
∵以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，
∴EF＝GH＝8，
1
如图1，当AE＜ AC时，四边形EGFH是矩形，
2
∵AE＝CF，且AE+EF+CF＝AC，
∴2AE+8＝10，
∴AE＝1；
1
如图2，当AE＞ AC时，四边形FGEH是矩形，
2
∵AE＝CF，且AE﹣EF+CF＝AC，
∴2AE﹣8＝10，
∴AE＝9，
综上所述，AE的长为1或9．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，CD∥AB，O是AC的中点，连结DO并
延长，交AB于点E，连结CE．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形．
（2）若CE平分∠ACB，求AD的长．
【分析】（1）证明△AOE≌△COD，根据全等三角形的性质得到 AE＝CD，再根据平行四边形的判定
定理证明；
（2）过点E作EF⊥AC于F，根据勾股定理求出AC，根据角平分线的性质得到EF＝EB，根据三角形
面积公式求出BE，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠CAE，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE与△COD中，
{∠DCO=∠EAO
)
OC=OA ，
∠COD=∠AOE∴△AOE≌△COD（ASA），
∴AE＝CD，又AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：如图，过点E作EF⊥AC于F，
在Rt△ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，
由勾股定理得：AC=❑√AB2+BC2=❑√82+62=10（cm），
∵CE平分∠ACB，∠B＝90°，EF⊥AC，
∴EF＝EB，
1 1
AE⋅BC AC⋅EF
S 2 2
则 △ACE= = ，
S 1 1
△BCE BE⋅BC BC⋅BE
2 2
AE AC 10 5
∴ = = = ，
BE BC 6 3
∵AB＝8cm，
∴BE＝3cm，
∴CE=❑√BC2+BE2=❑√62+32=3❑√5（cm），
由（1）可知：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE＝3❑√5cm．
20．如图，已知在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长
线上，且AG＝C▱H，连接GE，EH，HF，FG．
求证：
（1）△GBE≌△HDF；
（2）GF＝EH．【分析】（1）由平行四边形性质得到AB＝CD，AB∥CD，得到∠ABE＝∠CDF，证明BG＝DH，即可
证明△GBE≌△HDF；
（2）由全等的性质可得到GE＝HF，∠BEG＝∠DFH，可证得GE∥HF，则可证四边形GEHF是平行
四边形，由平行四边形性质即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AG＝CH，
∴AG+AB＝CD+CH，
即BG＝DH，
在△GBE与△HDF中，
{
BG=DH
)
∠GBD=∠HDF ，
BE=DF
∴△GBE≌△HDF（SAS），
（2）解：∵△GBE≌△HDF，
∴GE＝HF，∠BEG＝∠DFH，
∴180°﹣∠BEG＝180°﹣∠DFH，
∴∠GEF＝∠EFH，
∴GE∥HF，
∴四边形GEHF是平行四边形，
∴GF＝EH．
21．如图①，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线
交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形．
（2）如图②．连接CE，若∠FCB＝90°，CE＝5，求AB的长．【分析】（1）证相似得出比例式，求出AF＝BD，根据直角三角形性质求出AD＝BD＝CD＝AF，即可
得出结论；
（2）证明四边形ADCF是正方形，设AE＝DE＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵E为AD中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠DBE＝∠AFE
∵∠DEB＝∠AEF
∴△DEB≌△AEF，
∴AF＝DB，
∵AD是直角三角形CAB斜边CB上的中线，
∴AD＝BD＝DC，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：∵∠FCB＝90° 且四边形ADCF是菱形，
∴四边形ADCF是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵DC＝DB，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∴AD＝CD＝DB，设 AE＝DE＝x，则 CD＝BD＝AD＝2x，
∵EC2＝CD2+DE2，
∴5x2＝25，
∴x=❑√5 （负根已经舍弃），∴AD=BD=CD=2❑√5，
∴AB=❑√AD2+BD2=2❑√10．
22．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点
F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若BE平分∠ABD，BF长为2，求四边形BFDE的面积．
【分析】（1）根据矩形性质求出OB＝OD，AD∥BC，推出∠EDO＝∠FBO，可得△DEO≌△BFO
（ASA），推出OE＝OF，结合EF⊥BD，即可推出BFDE是菱形；
（2）根据角平分线性质与菱形性质得∠ABE＝∠DBE＝∠BDE，结合矩形性质得∠ABE＝30°，得AE＝
1，得AB=❑√3，根据S菱形BFDE ＝BF•AB即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵∠DOE＝∠BOF，
在△DEO和△BFO中，
{∠DOE=∠BOF
)
OD=OB ，
∠DOE=∠BOF
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE＝OF，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形；
（2）解：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵四边形BFDE是菱形，
∴BE＝DE＝BF＝2，∴∠BDE＝∠DBE，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝3∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝30°，
1
∴AE= BE=1，
2
∵AB=❑√BE2−AE2=❑√3，
∴S =BF⋅AB=2❑√3．
菱 形BFDE
23．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连
接BP、EQ．
（1）求证：△BOQ≌△EOP；
（2）求证：四边形BPEQ是菱形；
（3）若AB＝12，F为AB的中点，OF+OB＝18，求PQ的长．
【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明△BOQ≌△EOP即可；
（2）由（1）可知：OP＝OQ，根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形即可得证；
（3）易得OF为△ABE的中位线，设OF＝x，OB＝18﹣x，勾股定理求出x的值，进而求出AE，BE的
长，菱形的性质，结合勾股定理求出BP的长，再利用勾股定理求出OP的长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴PE∥BQ，
∴∠PEO＝∠QBO，∵PQ垂直平分BE，
∴OB＝OE，∠POE＝∠BOQ＝90°，
在△EOP和△BOQ中，
{∠PEO=∠QBO
)
∠POE=∠BOQ ，
OE=OB
∴△EOP≌△BOQ（AAS）；
（2）证明：由（1）知：△BOQ≌△EOP，
∴OP＝OQ，
∵PQ垂直平分BE，
∴BE，PQ互相垂直平分，
∴四边形BPEQ是菱形；
（3）解：∵AB＝12，F为AB的中点，
∴BF＝AF＝6，
∵OB＝OE，
∴OF为△ABE的中位线，
1
∴OF∥AE，OE= AE，
2
∴∠OFB＝∠A＝90°，
∵OF+OB＝18，
∴设OF＝x，OB＝18﹣x，
由勾股定理，得：x2+62＝（18﹣x）2，
解得：x＝8，
∴OF＝8，OB＝10，
∴BE＝2OB＝20，AE＝16，
∵菱形BPEQ，
∴BP＝PE，PO⊥BO，PQ＝2OP，
设BP＝PE＝y，则AP＝AE﹣PE＝16﹣y，
在Rt△APB中，由勾股定理，得：y2＝122+（16﹣y）2，
25
解得：y= ，
2
25
∴BP=PE= ，
215
在Rt△BOP中，由勾股定理，得：OP=❑√BP2−OB2=
，
2
∴PQ＝2OP＝15．
24．如图，在 ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF．
（1）求证：▱四边形ACFD是菱形；
13
（2）若AB＝5，DF= ，求四边形ACFD的面积．
2
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，而CF＝BC，则AD∥CF，AD＝CF，所以四
边形ACFD是平行四边形，因为∠CEF＝∠ABF＝90°，所以FA⊥CD，则四边形ACFD是菱形；
5
（2）由CD＝AB＝5，得DE＝CE=
2
，求得FE=❑√DF2−DE2=6，则FA＝2FE＝12，则S四边形ACFD
1
= FA•CD＝30．
2
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E，
∴∠CEF＝∠ABF＝90°，
∴FA⊥CD，
∴四边形ACFD是菱形．
（2）解：∵四边形ACFD是菱形，CD＝AB＝5，
1 5
∴DE＝CE= CD= ，AE＝FE，
2 2
13
∵∠DEF＝90°，DF= ，
2
√ 13 5
∴FE=❑√DF2−DE2=❑(
)
2−(
)
2=6，
2 2∴FA＝2FE＝12，
1 1
∴S四边形ACFD =
2
FA•CD =
2
×12×5＝30，
∴四边形ACFD的面积为30．
25．如图，在矩形ABCD中（AB＞BC），对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，使得CE＝BC，
连接DE，点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：四边形DOCF是菱形；
（2）若矩形ABCD的周长为20，AC＝8，求四边形DOCF的面积．
1
【分析】（1）由矩形的性质求得OC＝OD，再证明CF是△EBD的中位线，推出CF= BD=OD，
2
CF∥BD，得到四边形DOCF是平行四边形，据此即可证明四边形DOCF是菱形；
（2）先求得BC＝10﹣AB，在Rt△ABC中，利用勾股定理列式计算求得AB=5+❑√7，BC=5−❑√7，
再利用菱形的面积公式即可求解．
1 1
【解答】（1）证明：由题意可得：AC＝BD，OC= AC，OD= BD，∠BCD＝90°，
2 2
∴OC＝OD，
∵CE＝BC，
∴点C是线段BE的中点，
∴CF是△EBD的中位线，
1
∴CF= BD=OD，CF∥BD，
2
∴四边形DOCF是平行四边形，
∵OC＝OD，
∴四边形DOCF是菱形；
（2）解：由题意可得：AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝90°，
∵矩形ABCD的周长为20，
∴2（AB+BC）＝20，∴AB+BC＝10，
∴BC＝10﹣AB，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即AB2+（10﹣AB）2＝82，
解得AB=5+❑√7或AB=5−❑√7，
∵AB＞BC，
∴AB=5+❑√7，BC=5−❑√7，
1 1
∴S =S = S = ×BC×CD，
△OCD △OBC 2 △BCD 4
1 1
∴菱形DOCF的面积＝2S△OCD =
2
×（5+❑√7）×（5−❑√7）=
2
×（25﹣7）＝9．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，四边形 ABDE是平行四边形，连接 CE，
DE，DE交AC于点F．
（1）判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）判断DF与AB的数量关系和位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE∥CD，再根据等腰三角形三线合一得到BD＝CD，求出
AE＝CD，证明四边形ADCE为平行四边形，再根据AC＝DE即可证明结论；
（2）四边形ADCE为矩形，得到AF＝CF，再根据AD是BC边的中线，证明DF是△ABC的中位线，
即可得到结论．
【解答】解：（1）矩形，理由如下：
由平行四边形性质可知AB＝DE，AE＝BD，AE∥BD，
∴AE∥CD，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是BC边的中线，AC＝DE，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，∵AC＝DE，
∴四边形ADCE为矩形；
1
（2）DF∥AB，DF= AB，理由如下：
2
由条件可知AF＝CF，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
所以AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
∴DF是△ABC的中位线，
1
∴根据中位线定理，DF∥AB，DF= AB．
2
27．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF⊥AD于点E，交
BC于点F，OE＝OF，连接OC，∠FOC＝∠ODA．
（1）求证：四边形ABCD为菱形．
（2）若AB＝1，BD＝3EF，求OC的长．
【分析】（1）证明△AOB≌△COD（ASA），得AB＝CD，再证明四边形ABCD是平行四边形，然后证
明AC⊥BD，即可得出结论；
1 2
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝1，OA＝OC= AC，再由菱形的面积求出AC= ，即可得出结论．
2 3
【解答】（1）证明：∵OE＝OF，∠EOD＝∠BOF，BO＝OD，
∴△EOD≌△FOB（SAS），
∴∠DEO＝∠BFO，
∵AD⊥EF，
∴∠DEO＝90°，
∴∠BFO＝90°，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠COF＝∠ADO，
∴∠COF+∠BOF＝∠DOE+∠EOD＝90°，
∵BO＝OD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD为菱形，
1
∴AD＝AB＝1，OA＝OC= AC，
2
∵EF⊥AD，
1
∴S菱形ABCD =
2
AC•BD＝AD•EF，
∵BD＝3EF，
1
∴ AC•3EF＝AD•EF，
2
1
即 AC×3＝1，
2
2
∴AC= ，
3
1 1
∴OC= AC= ，
2 3
1
即OC的长为 ．
3
28．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC
于点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？【分析】（1）由∠ABD＝∠CDB得出AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS）得出AB＝CD，即可得
证；
（2）证明△ABO是等边三角形，得出AO＝BO，结合平行四边形的性质得出AC＝BD，即可得证．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CDF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
{∠BAE=∠CDF
)
∠AEB=∠CFD ，
BE=DF
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵AB＝BO，BE⊥AO，
∴∠ABO＝2∠ABE＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO＝BO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
29．如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB
延长线于点F，连接EF．（1）计算∠AEF的度数；
（2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并
证明．
【分析】（1）先证明△ADE≌△ABF，再利用等腰直角三角形的性质得出结论；
（2）连接CG，先证明△ADG≌△CDG，得出∠ADG＝∠CDG＝45°，取CE的中点，连接GM，先证
明DM＝GM，从而得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°，
∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰直角三角形
∴∠AEF＝45°；
（2）CF=❑√2DG．理由如下：
如图2，取CE的中点M，连接GM，GC，
∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF，
∴G是EF的中点，
1
∴AG= EF，
2
1
同理，在Rt△EFC中，CG= EF，
2
∴AG＝CG，∵AD＝CD，DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG（SSS），
∴∠ADG＝∠CDG，
∵∠ADG+∠CDG＝90°，
∴∠ADG＝∠GDC＝45°；
∴GM为△GEC的中位线，
1
∴GM∥CF，GM= CF，
2
∴∠DMG＝∠DCB＝90°，
在Rt△DGM中，∠GDM＝∠ADG＝45°，
∴△DMG为等腰三角形，
∴DM＝GM，
∴DM2+GM2＝DG2＝2GM2，
∴DG=❑√2GM，
1
∵GM= CF，
2
❑√2
∴DG= CF，
2
∴2DG=❑√2CF，即CF=❑√2DG．
30．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是AD和BC的中点，且AF＝BF．在BC的延长线上取一点G，
1
连接OG，使得∠G= ∠ACE．
2
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）若AC＝8，EF＝6，求OG的长．
1 1
【分析】（1）由平行四边形ABCD的性质得AD∥BC，AD＝BC，因为AE＝DE= AD，CF＝BF=
2 2
BC，所以AE＝CF＝BF，则四边形AFCE是平行四边形，因为AF＝BF，所以AE＝AF，则四边形AFCE是菱形；
1 1
（2）由菱形的性质得CE＝CF，CA⊥EF，则∠ACE＝∠ACF，所以∠G= ∠ACE= ∠ACF，则∠ACF
2 2
1
＝2∠G＝∠G+∠COG，推导出∠G＝∠COG，由AC＝8，EF＝6，得GC＝OC＝OA= AC＝4，OF＝
2
1 1 1
OE=
2
EF＝3，则CF=❑√OC2+OF2=5，作OH⊥BC于点H，由S△COF =
2
×5OH=
2
×3×4，求得OH
12 16 36 12❑√10
= ，则CH=❑√OC2−OH2= ，所以GH= ，则OG=❑√OH2+GH2= ．
5 5 5 5
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E，F是AD和BC的中点，
1 1
∴AE＝DE= AD，CF＝BF= BC，
2 2
∴AE＝CF＝BF，
∵AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AF＝BF，
∴AE＝AF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴CE＝CF，CA⊥EF，
∴∠ACE＝∠ACF，
1 1
∴∠G= ∠ACE= ∠ACF，
2 2
∴∠ACF＝2∠G＝∠G+∠COG，
∴∠G＝∠COG，
∵∠COF＝90°，AC＝8，EF＝6，
1 1
∴GC＝OC＝OA= AC＝4，OF＝OE= EF＝3，
2 2
∴CF=❑√OC2+OF2=❑√42+32=5，作OH⊥BC于点H，则∠OHG＝90°，
1 1
∵S△COF =
2
×5OH =
2
×3×4，
12
∴OH= ，
5
√ 12 16
∴CH=❑√OC2−OH2=❑42−( ) 2= ，
5 5
16 36
∴GH＝GC+CH＝4+ = ，
5 5
√ 12 36 12❑√10
∴OG=❑√OH2+GH2=❑( ) 2+( ) 2= ，
5 5 5
12❑√10
∴OG的长是 ．
5
