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荆州中学 2025-2026 学年高三上学期 12 月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.已知函数 为偶函数，则
A. B. C. D.
2.已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，点M
为线段AB的中点，若点M的横坐标为p， ，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3. 的展开式中，x的系数为
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径为 ，高为2，正方体 棱长为a，若点A，B， C，D
在该圆锥的侧面上，点 在该圆锥的底面上，则 ( )
A. 2 B. C. 1 D.
5.已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司6.对数 的第一位小数的值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.若 ，则( )
A. B. C. D.
8.已知 ， ， ，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9.若复数 ，则( )
A.
B.
C. z在复平面内对应的点位于第四象限
D. 复数 满足 ，则 的最大值为
10.已知函数 为R上的奇函数， 为偶函数，下列说法正确的有
A. 图象关于直线 对称 B.
C. 的最小正周期为4 D. 对任意 都有
11.已知数列 的通项公式 ，前n项和为 ，则
学科网（北京）股份有限公司A. 数列 为等差数列 B. ，使得
C. 当 时， 取得最小值 D. 数列 的最大项的值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知 ，则 .
13.甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相
邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种 用数字作答
14.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.若一个声音的数学模型是函数
，则 的最小正周期是 ， 的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 本小题13分
某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都
有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，
否则检测出相异的指向信息.
现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接
收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为 和 每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；
(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列.
学科网（北京）股份有限公司16.（本小题15分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求 .
17.（本小题15分）
已知函数
(1)若在 处的切线斜率为 ，求 ；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，四棱锥 中， ， ，
， .
平面 ；
(1)证明：平面
(2)若 ，动点 在 内 含边界 且
①求动点 的轨迹的长度；
②设直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司19. 本小题17分
如图，椭圆 ， ，已知 右顶点为 ，且它们的交
点分别为 ， ， ，
求 与 的标准方程；
过点 作直线MN，交 于点M，交 于点N，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率
为 ，求 ；（上述各点均不重合）
点 是 上的动点，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，直线 交 于点
，直线 与直线 交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值 上
述各点均不重合
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