文档内容
雅礼中学 2026 届高三月考试卷(五)
数 学
命题人：刘晖 审题人：张鎏 周芳芳 张博
得分：
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页.时量120分钟,满分1
50分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1，3}，则集合A 的真子集有
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.若复数z满足 (1-i)=1-3i,则复数z在复平面内所对应的点在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则该圆台的体积为
4.已知平面向量 ， 满足 =( ,1), · =11，则向量 在 的投影向量为
5.已知 则x=
A. C.
6.甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比
赛甲获胜的概率为 则甲第一局获胜并最终以3：1获胜的概率为
学科网（北京）股份有限公司7.已知a>b>0,椭圆C₁的方程为 双曲线C₂ 的方程为 椭圆 C₁ 与双曲线C₂ 的
离心率之积为 则双曲线C₂两条渐近线的夹角大小为
B. C.
8.已知△ABC是锐角三角形,BC>AC>AB=1,且 BC· sin B=2,则△ABC的最大内接正方形的面积
为
A. B. 1 D.4
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.下列有关说法正确的是
A.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,2),若P(ξ<1)=P(ξ>9),则
B.记两个变量的样本相关系数为r，若|r|越接近0，线性相关程度越强
C.已知随机变量 则E(3ξ-2)=1
D.数据1,3,9,4,5,16,7,11的下四分位数为3.5
10.在棱长为2 的正方体 中,M,N,O分别为AB, 的中点，点P 是侧面
上一动点(含边界)，则下列说法正确的是
A.异面直线 MN 与 所成角的余弦值为
B.当点 P 为棱AA₁的中点时，直线 PO与直线MN 平行
C.若|MP|=2,则点 P 在侧面 内运动路径的长度为
D.过直线 MN 的平面截该正方体的内切球 O'所得截面圆的面积的最小值为
学科网（北京）股份有限公司11.已知 ,其中 m,n,M,N 为常数,
且 g(x)≥0 对任意 x∈R 恒成立,则
D. g(x)≤6
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.已知函数 则 f[f(1)]= .
13.记等差数列{a }的前 n 项和为 S ,若 则
n n
14.已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交
于 两点，O 为坐标原点，若
则 sin∠MOF·sin∠NOF= .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分13分)
已知数列 的首项 且满足
(1)求证: 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和
学科网（北京）股份有限公司16.(本题满分15分)
海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影
响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发
现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x
之间的经验回归方程为
海水浓度 （‰) 3 4 5 6 7
亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31
残差
(1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；
(2)(i)完成上述残差表；
(ii)在统计学中，常用决定系数 R² 来刻画回归效果，R²越大，模型拟合效果越好，
并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定
系数R²，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)
(附：决定系数
)
学科网（北京）股份有限公司17.(本题满分15分)
如 图 ， 在 四 棱 锥 .P-ABCD中 ， 为 等 边 三 角 形 ， AB⊥平 面 PCD,且
(1)证明:
(2)若四棱锥P-ABCD的各个顶点均在球O的表面上，求球O的表面积；
(3)点 B 关于平面PAD 的对称点为M,求点 M到平面PCD 的距离.
18.(本题满分17分)
已知函数
(1)求函数 的单调区间；。
(2)当 a>0时，对任意 均有 恒成立，求实数 a
的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司19.(本题满分17分)
已知椭圆 的长轴长为6，短轴长为4，O为坐标原点.
(1)求椭圆M的方程；
(2)求内接于椭圆M的菱形ABCD 的周长的最大值；
(3)在(2)中取得最大值的条件下，设 且
点 P 是椭圆 M上第一象限的点，直线 AB 与直线 PD 交于点
E，直线PC与直线x=-a交于点F,求证:
学科网（北京）股份有限公司
