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2025～2026 学年度上学期高三数学阶段性作业
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。 图1 图2
1.设全集 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D．
A. B. C. D. 7.已知直线 与直线 交于点 ，点 是圆
上的动点，则 的最小值为（ ）
2.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
A. 2 B. C. 10 D.
8.在正方体 中， 为正方形 的中心，
3.已知平面向量⃗a=(2,1)，
，且 ，则 （ ）
为 的中点，过点 、 、 的平面将正方体分成上、
A． B． C． D．
下两部分，则上、下这两部分的体积比等于（ ）
4.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 与 的等差中项为 ，则
A． B． C． D．
（ ）
A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
5.若函数 ，则 的值域为（ ）
9.某校元旦晚会节目预选赛上， 名评委老师给张三的节目打的分数分别为： 、 、 、
A． B． C． D． 、 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．得分的中位数为
6.如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线 B．得分的第 百分位数为
C．若去掉一个最高分和一个最低分，则得分的平均值会变大
经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆 与圆 相切于点
D．若去掉一个最高分和一个最低分，则得分的方差会变大
、 ，则 的方程为（ ） 10.已知 ，设 若 则下列正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为
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11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线 就是其中之一，下列选项中关于曲线 的
说法正确的有（ ）
16.(15分)某学校组织“学党史、强信念、跟党走”为主题的知识竞赛，每位参加比赛的同学均
A．当 时，曲线 与 轴有 个交点
可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有 两组题，每组都随机抽取两道题
B．曲线 的图象关于 对称
作答，先进行 组答题，只有 组的两道题均答对，方可进行 组答题，否则本轮答题结束.已知
甲同学 组每道题答对的概率均为 ， 组每道题答对的概率均为 ， 两组题至少答对3道
C．当 时，曲线 上的一点 到原点距离的最大值为
题才可获得一张奖券.
X X E(X)
（1）设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为 ，求 的分布列与数学期望 ；
D．当 时，曲线 上的一点 到原点距离的最小值小于
（2）若甲同学进行了10轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若 ，则 ．
17.(15分)如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， .
13.已知函数 ，其中 ，若关于 的方程 在区间 上
（1）求证：平面 平面 ；
有且仅有2个不相等的实数根，则 的取值范围是． PD
（2）若 为线段 上一点，当直线 与平面 所成的角的正切值为 时，
14.2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点
出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动 3次.求该机器人在有
求二面角 的余弦值.
且仅有一次经过（含到达）点 位置的条件下，水平方向移动3次的概率为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15.(13 分)在 中，内角 所对的边分别为 .现有如下两个条件：条件①
；条件② .请从上述两个条件中选
择一个作为已知，完成本题解答.
你选择的条件是__________.
（1）求角 ；
（2）若 为 的中点，且 ，求 的面积的最大值.
18.(17分)已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 ，点 为椭圆 上的不同两点且 ，直线 与椭圆 的另一个交
点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 .
（ⅰ）求直线 的方程，并判断直线 与椭圆 的位置关系；
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（ⅱ）试判断直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点,请说明理由.
19.(17分)已知函数 .
（1）若 ,求函数 在点 处的切线方程;
（2）若 ,证明：当 时， ，当 时， ;
（3）若 是 的极小值点，求 的值.
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