山东省实验中学2023-2024学年高三上学期第一次诊断考试数学(1)_2023年10月_0210月合集_2024届山东省实验中学高三上学期第一次诊断考试

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山东省实验中学 2024 届高三第一次诊断考试
数学试题 2023.10
注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．
2．本试卷满分 150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第 1
页至第 2页，第Ⅱ卷为第 3页至第 4页．
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题的作答：用 0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题 5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
   
A x 2x 4 B  x x11
1. 已知集合 ， ，则
AB 
（ ）
A.  0,2  B.  1,2  C. 1,2 D.  0,1 
2. 已知复数z满足iz 2i，其中i为虚数单位，则 z 为（ ）
A. 12i B. 12i C. 12i D. 12i
3.“b
0,4

”是“xR，bx2 bx10成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
 1
4. 设随机变量X ，Y 满足：Y 3X 1，X  B2, ，则D  Y （ ）
 3
A.4 B.5 C.6 D.7
5. 设数列  a  为等比数列，若a a a 2，a a a  4，则数列  a  的前6项和为（ ）
n 2 3 4 3 4 5 n
A 18 B. 16 C. 9 D. 7
.
ax,x0 f  x  f  x 
6. 已知函数 f  x  满足对任意x  x ，都有 1 2 0成立，则a的取值
  a2  x3a,x0 1 2 x x
1 2
范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司 1 3 
A.  0,1  B. 2, C. 0,  D.  ,2
 3 4 
7. 已知函数 f  x  为R上的奇函数， f  1x  为偶函数，则（ ）
A. f 2x  f  x 0 B. f x  f  1 x 
C. f  x2  f  x2  D. f  2023 0
     1       
8. 已知OA，OB，OC 均为单位向量，满足OAOB  ，OAOC 0，OBOC 0，OC  xOA yOB，
2
则3x y的最小值为（ ）
3 21 3 7
A.  B.  C.  D.-1
14 3 14
二、多项选择题：本题共4小题，每小题 5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在研究成对数据的相关关系时，线性相关关系越强，相关系数 r 越接近于1
B. 样本数据：27，30，37，39，40，50的第30百分位数与第50百分位数之和为68
C. 已知随机变量X ~ N  ,2  ，若P  X 1 P  X 5 1，则2
D. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为x ,x 和s2，s2，若
1 2 1 2
x  x ，则总体方差s2  1 s2 s2
1 2 2 1 2
1 1
10. 若  0，则（ ）
a b
A. a2 b2 B. abb2 C. ln a ln b  D. a  b  ab
1
11. 已知函数 f  x sinx ，则（ ）
sinx
A. y f  x  的图象关于原点对称 B. f  x  的最小正周期为π
C. y f  x  的图象关于直线x π 对称 D. f  x  的值域为R
2
12. 在平面直角坐标系xOy中，将函数 y f  x  的图象绕坐标原点逆时针旋转 090 后，所得
曲线仍然是某个函数的图象，则称 f  x  为“ 旋转函数”，则（ ）
A. 存在“90°旋转函数”
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学科网（北京）股份有限公司B.“70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”
1
C. 若g  x ax 为“45°旋转函数”，则a 1
x
bx
D. 若h  x  为“45°旋转函数”，则e2≤b≤0
ex
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
π  1
13. 若cos    ，则sin2______．
4  3
14. 已知平面向量a  ，b  为单位向量，且a  b  0，若 c  2a   5b  ，则cos a  ,c  ______．
15. 二项式 5x 2023展开式的各项系数之和被7除所得余数为______．
16. 若函数 f

x
2sin cosx 1在区间0,2π恰有2个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A120，b1，c2．
（1）求sinB；
（2）若D为BC上一点，且BAD90，求△ADC的面积．
18. 已知数列

a
的前n项和为S
，且S n2 n．
n n n
 
（1）求 a 的通项公式；
n
a ,n为奇数
 n
（2）若数列  b
n
 满足b
n

a n
，求数列  b
n
 的前2n项和T
2n
．
 22 ,n为偶数
19. 如图，某公园拟在长为8（百米）的道路OP的一侧修建一条运动跑道，跑道的前一部分为曲线段OSM，
该曲线段为函数 y Asinx  A0,0  ，x 0,4  的图象，且图象的最高点为S  3,2 3  ，跑道的后
一部分为折线段MNP．为保证跑步人员的安全，限定MNP120．
（1）求A，；
（2）求折线段跑道MNP长度的最大值．
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学科网（北京）股份有限公司20. 已知 f  x  、g  x  分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且 f  x g  x ex .
 
（1）求 f x 的单调区间；
（2）对任意实数x均有3g2
x
af 
x
0成立，求实数a的取值范围.
21. 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球
2
的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 ；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽
7
1
1
中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 ．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为P ．
2 3 n
（1）求P 的值，并探究数列  P  的通项公式；
2 n
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
a
22. 已知函数 f  x  lnx的最小值为1．
x
（1）求a；
（2）若数列  x  满足x  0,1  ，且x  f  x  ，证明：x x  2x ．
n 1 n1 n n1 n3 n2
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