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常州市联盟学校2023—2024学年度第一学期学情调研
高三年级数学试卷
出卷老师 审卷老师 考试时间120分钟
本试卷共22大题 满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. “ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 设m，n，l是三条不同的直线， 是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，
，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
4. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为 ，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间 内的
一个数来表示，该数越接近10表示幸福感指数越高．已知甲、乙、丙、丁4人的幸福感指数分别为：
； ； ；
则这4人的幸福感指数最高的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6. 如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是
（ ）
A. B. C. D. 第6题
7. 已知直线 与曲线 相切，则实数 为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知函数 ，设 ，若关于x的不等式 在R上恒成立，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量 的方差为 ，则
B．对于随机事件 与 ，若 ， ，则事件 与 独立
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ，根据 的独立性检验
，有 的把握认为 与 有关
10. 下列命题中正确的是（ ）
A．若幂函数 的图像过点 ，则
B．若函数 在R上单调递增，则a的取值范围是
C．已知 ， ，且 ，则 的最小值为
D．已知函数 满足 ， 且 与 的图象的交点坐标依次为
，则
11. 已知函数 ，其中 ，则（ ）
A. 不等式 对 恒成立
B. 若关于x的方程f(x)=k有且只有两个实根，则k的取值范围
C. 方程 恰有3个实根
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学科网（北京）股份有限公司D. 若关于x的不等式 恰有1个正整数解，则a的取值范围为
12. 已知函数 满足：对于任意实数 ，都有 ，且
，则（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 是曲线 的一个对称中心 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型： ，其中 为时间（单位：
为环境温度， 为物体初始温度， 为冷却后温度.假设在室内温度为 的情况下，一杯饮料由
降低到 需要 ，则此饮料从 降低到 需要 min .
14. 已知函数 ，则函数 的值域为 .
15. 甲箱中有两个白球三个红球，乙箱中有一个白球三个红球，先从甲箱中取一球放入乙箱，再从乙箱中
任取一球，则从乙箱中取得的为白球的概率为 .
16. 在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 .若四棱锥 的体积为
9，且其顶点均在球O上，则当球O的体积取得最小值时， ______________，此时球心O到平面
PBD的距离是______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知 ，全集 ，集合 ，函数 的定义域为B.
(1) 当 时，求 ；
(2) 若 是 成立的充分不必要条件，求a的取值范围.
18. 设函数 ，为偶函数。
(1) 求k的值；
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学科网（北京）股份有限公司(2) 写出函数 的单调性（不需证明），并解不等式
.
19. 已知函数 ，其中 .
(1) 若 是函数 的极值点，求 的值；
(2) 若 讨论函数 的单调性.
20. 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2，BC=1，
平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，PA=PD，M为PC上一点，
PM=2MC，PA//平面MBD.
(1) 求CD的长度；
(2) 求证：PA⊥平面PBD； P
(3) 求PA与平面PBC所成角的正弦值. M
D
C
A B
第20题
21. 甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两
人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记 分，设
每轮比赛中甲投中的概率为 ，乙投中的概率为 ，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．
(1) 经过1轮比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；
(2) 经过3轮比赛，用 表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现
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学科网（北京）股份有限公司点 均在函数 的图象上，求实数m，s，t的值．
22. 已知函数 .
(1) 求曲线 在点 处的切线方程；
(2) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(3) 当 时，判断 在 零点的个数，并说明理由．
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