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常州市联盟学校2023—2024学年度第一学期学情调研
高三年级数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．A 2．B 3．C 4．B 5.C 6. D 7. A 8．A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BC 10. AC 11．AD 12.BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
7 √3
13. 60 14． 15． 16．(1) 3 (2)
25 2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1） ，
即 .当 时，A=(0,5], ……………………2分
由 ，得 ，解得 ，即 ………………………4分
2
∁ B=(−∞, ]∪(1,+∞)∴ .……………………6分
U 3
（2）由 是 的充分不必要条件，可知集合 是集合 的真子集.
所以 （且两等号不能同时成立），………………………………………………8分
解得 ，
经检验符合集合 是集合 的真子集，所以a的取值范围是 . ………10分
18.∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(-1)=f(1)
解得k=1 ……………………3分
当k=1时， , ，
f (x)=log (2x+2−x ) f (−x)=log (2−x+2x)=f(x)
2 2
f(x)为偶函数符合条件 ∴ k=1 ……………………………………………….…6分
（2）f (x)在（−∞，0]上单调减，在[0,+∞)上单调增……………………...…8分
∴
f (2x−1)>f (x+1)⇒f (|2x−1|)>f(|x+1|) |2x−1|>|x+1|
解得x<0或x>2
∴不等式解集为(−∞,0)∪(2,+∞) ……………………………………………..…12分
1
学科网（北京）股份有限公司19. (1) ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，解得 ，……………………3分
经检验， 符合题意，故 ． …………………4分
(2) ，
当 时，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增； ……………………………6分
当 时，令 ，解得 或 ，
当 时，
因为当 时 ，当 或 时
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．………8分
当 时，
因为当 时 ，当 或 时
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．………10分
当 时， 时，
所以 在 上单调递减 ………………11分
综上，当 时 在 上单调递减，在 上单调递增；
2
学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
……12分
20. （1）连结AC交BD于O，连结MO.
∵PA//平面MBD
PA⊂平面PAC
平面PAC∩平面PBD=MO ∴PA//MO…………………………..3分
PO PM 2 AB 2
∴ = = 由△ABO∼△COD可得 = ,∴CD=1……………….4分
OC MC 1 CD 1
（2）由题意可求得BD=√2,AD=√2,AB=2，BD2+AD2=AB2，
z
∴BD⊥AD……………………….5分
又∵ 平面PAD⊥平面ABCD
P
M
平面PAD∩平面ABCD=AD
D C y
BD⊂平面ABCD
∴B3D⊥平面PAD………………………………………7分
A B
PA⊂平面PAD
∴BD⊥PA,又∵PA⊥PD,PD⊂平面PBD, BD⊂平面PBD,PD∩BD=D x
∴PA⊥平面PBD……………………………………………8分
（3）取AB中点E，以DE为x轴，DC为轴，过D作z轴⊥底面ABCD
∴A(1,-1,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)
取AD中点F，∵△PAD为正三角形
∴PE⊥AD，又∵ 平面PAD⊥平面ABCD
平面PAD∩平面ABCD=AD
1 1 √2
PE⊂平面APD ∴PE⊥平面ABCD ∴P( ，− ， ),
2 2 2
设 为平面PBC的一个法向量， {⃗m∙⃗BC=0
⃗m=(x,y,z)
⃗m∙⃗PB=0
解得⃗m=(0,√2,3)为平面PBC的一个法向量………………………………………10分
1 1 √2 2√22
⃗PA=( ,− , ),sinα=|cos<⃗m,⃗PA|=
2 2 2 11
3
学科网（北京）股份有限公司2√22
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为 ……………………………………….12分
11
21.（1） 的可能取值为 ，
则 ；
；
，…………………………………………………3分
的分布列为：
0 1
．……………………………………………4分
（2）由（1）知 ，……………………………………………………………5分
经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况：
一是甲两轮得分都为 ；二是两轮中甲有一轮得0分，另一轮得 分，
则 ．………………………………………………7分
经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况：
三轮中甲得分都为 ；三轮中甲有两轮得 分，另一轮得0分；
三轮中甲有一轮得 分，另两轮得0分；三轮中甲有两轮得 分，另一轮得1分，
则 ，………………9分
由题意，点 均在函数 的图象上，
则 ，解得： ， ， ．……………………12分
4
学科网（北京）股份有限公司22. （1）由 可得 ，…………1分
此时切线斜率为 ，而 ；…………3分
所以切线方程为 ，即 ；
即曲线 在点 处的切线方程为 ； …………4分
（2）根据题意，若 在 上单调递增，
即可得 在 上恒成立，即 恒成立；…………5分
令 ，则 ；
显然 在 上满足 ，而 恒成立，
所以 在 上恒成立；
即 在 单调递减， …………6分
所以 ；所以 即可；
所以实数 的取值范围为 . …………8分
（3）令 ，即可得 ；
构造函数 ， ，易知 在 上恒成立，
即 在 上单调递增，如下图中实曲线所示：
又函数 恒过 ，且 ，
易知 ，所以函数 在 处的切线
方程为 ；
又 ，所以 （图中虚线）在 范围
内恒在 （图中实直线）的上方；
5
学科网（北京）股份有限公司所以由图易知 与 在 范围内仅有一个交点，
即函数 在 内仅有一个零点. …………12分
6
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