文档内容
高三数学考试参考答案!理科"
!!#!#解析$本题考查集合的运算%考查数学运算的核心素养!
$ $
因为"$!#"% ###&"#%$"$!#"%!###!"#所以% $%!#解得$$&!
& &
&!’!#解析$本题考查复数的四则运算%考查数学运算的核心素养!
设&$$(’)#$#’%!#因为%$&(&&%(&$&%&&%$%*%*)#所以%&$(*’)$%*%*)#解得$$&#’$%!#则&$
&%)!
+!,!#解析$本题考查函数的图象和性质%考查逻辑推理与直观想象的核心素养!
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因为($%#%$-./#&01 $%($#%#所以($#%是奇函数#排除’#2#当#%$3# %时#-./#’3#01
!(# & !%#
’3#所以($#%’3#排除##故选,!
*!#!#解析$本题考查等比数列的通项公式及求和公式%考查数学运算的核心素养!
设公比为)#由题设知 $ !
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)*% $43#即 $ ! $!%)
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得)$
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或)$%+$舍去%#所以$
!
$*5#从而$
6
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6!,!#解析$本题考查统计的知识%考查数据分析与数学运算的核心素养!
设女生身高频率分布直方图中的组距为"##由$$(!76$(&$(&76$(+$%"#$!#得$"#$37!#所以女生身
高频率分布直方图中%层次频率为&38#"层次频率为+38#*层次频率为&68#+层次频率为!68#,层
次频率为!38!因为男’女生样本数未知#所以%层次中男’女生人数不能比较#即选项’错误(同理#+层次
女生在女生样本数中频率与,层次男生在男生样本数中频率相等#都是!68#但因男’女生人数未知#所以
在整个样本中频率不一定相等#即#错误(设女生人数为-#男生人数为!333%-#但因男’女生人数可能不相
等#则"层次的学生数为37+-(37&69$!333%-%$3736-(&63#*层次的学生数为37&6-(37+9$!333%
-%$+33%3736-#因为-不确定#所以3736-(&63与+33%3736-可能不相等#即2错误(女生%#"两个层
次的频率之和为638#所以女生的样本身高中位数为"#*层次的分界点#男生%#"两个层次的频率之和为
+68#显然中位数落在*层次内#所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大#,正确!
"!’!#解析$本题考查函数的性质%考查逻辑推理的核心素养!
*# *
因为($%#%$($#%#所以($#%是偶函数#当#’3时#($#%$ $*% 是增函数!又因为($!%$&#所
!(# !(#
以($&#%+%(&可化为"&#%+"(!#解得!(#(&!
:!2!#解析$本题考查三视图%考查直观想象与数学运算的核心素养! #
! #
如图#这是所求多面体的直观图#它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成#所以体积
.$$ ! 9&9+%9&( ! 9$&9&%9+$!3! % " ! "
& +
5!#!#解析$本题考查三角函数的性质%考查数学运算与直观想象的核心素养! $ !
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由题意#/$#%$/)1) $#% %( *$/)1$ #( % %#因为0$/$#%为奇函数#所以 % $1!$1%
& " " & " !& " !&
"%#解得!$&%!&1$1%"%#又!’3#所以当1$3时#!取得最小值&!
4!,!#解析$本题考查三棱锥中线面角的正弦值的计算%考查直观想象与数学建模的核心素养!
设%"$"*$&#*+的中点为,#连接%,#",$图略%#易知)"%,是直线%"与平面%*+所成的角#因为
槡+ 槡&!
%"*",#所以/)1)"%,$ $ !
槡&&(+ :
!3!2!#解析$本题考查排列组合的知识%考查数学抽象与数学建模的核心素养!
先选出&名志愿者安排到%社区#再把剩下的*名志愿者分成两组#分配到其他两个社区#则不同的安排方
#&#&
法共有#&$* &(#!%’&$&!3种!
" & * &
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$理科% !""#$
书书书!!!#!#解析$本题考查双曲线的性质%考查推理论证能力与数学运算的核心素养! &
如图#设"%2 !"$3#则"%2 &"$3%&$!又"%""$&"%2 !"#所以""2 &"$3(&$#所以 $
""2 !"$3(*$!又%2 !*%"#所以""2 !"$槡63#由3(*$$槡63#得3$$槡6(!%$ %
$"%2 !"#则"%2 &"$3%&$$$&槡6%!%$#而"2
!
2 &"$&4#则*4&$$槡6(!%&$&($槡6 " "
#
" ! !
4
%!%&$&#化简得4&$+$&#所以5$ $槡+!
$
!&!’!#解析$本题考查应用导数解决函数问题%考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
! 01$&#% ! 01$&#%
因为$’3#不等式 ;$#% +3恒成立#即 ;$#+ 成立#即$;$#+&01$&#%#进而转化为$#;$#+
& $ & $
$&#%$;01$&#%&01$&#%恒成立!
令/$#%$#;##则/6$#%$$#(!%;##当#’3时#/6$#%’3#所以/$#%在$3#(<%上单调递增#则不等式
! 01$&#%
;$#% +3恒成立等价于/$$#%+/$01$&#%%恒成立!
& $
! ! $
因为$’3##%$ #(<%#所以$#’3#01$&#%’3#所以$#+01&#对任意的#%$ #(<%恒成立#所以
& & &
01$&#%
+ 恒成立!
&#
018 !%018
设7$8%$ $8’!%#可得76$8%$ !当!(8(;时#76$8%’3#7$8%单调递增(当8’;时#76$8%(3#7$8%
8 8&
! $ !
单调递减!所以当8$;时#函数7$8%取得最大值#最大值为7$;%$ #此时&#$;#所以 + #解得$+
; & ;
& &
#即实数$的取值范围是) #(<%!
; ;
!+!5!!#解析$本题考查等差数列的通项公式%考查数学运算的核心素养!
因为$($$&$$!*#所以$$:#又$$+#所以公差9$&#从而$ $+(&9+4$5!!
& * + + ! *3
!*!!!#解析$本题考查平面向量的垂直以及求模%考查数学运算的核心素养!
因为!*$!(&"%#所以!&(&!&"$3#"!(""&$!&(&!&"("&$!#则"!(""$!!
!6!0&$5#!#解析$本题考查抛物线的概念与性质%考查逻辑推理的核心素养! "
过点"作抛物线*准线的垂线#垂足为,#由抛物线的定义知#""2"$"","#又"%""$ (
! ! ; &
槡6""2"#所以"%,"$&"","#所以=>1),%"$
&
#所以=>1):+2$
&
!又":2"$
&
#所
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以":+"$;#所以<
,+:2
$*$ !
&
9 ;
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9;$ ;
*
& #则;$*#所以抛物线*的方程为0&$5#! $ # !
!"!槡&&4!#解析$本题考查直线与圆%考查直观想象与数学抽象的核心素养!
#
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# " & #
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% $ $
" ! % " & !$ ! ! ! "
"
"
因为"** !"$"** &"#"*% !"$"*" &"#所以康威圆的圆心在)%*"的平分线上#同理可知康威圆的圆心在
)%"*的平分线上#即康威圆的圆心为,%"*的内心!因为$&(’&$4&#所以)%*"$43?#所以,%"*的
内切圆的半径=$ 6(!&%!+ $&#则康威圆的半径>$槡 =&($ 6(!&(!+ %&$槡&&4!
& &
! 槡+$(槡+4
!:!解+$!%因为’/)1$*( %$ #
+ &
! 槡+ 槡+ 槡+
所以/)1"$ /)1*( -./*%$ /)1%( /)1*# ……………………………………………………&分
& & & &
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$理科% !""#$! 槡+ 槡+ 槡+ 槡+
展开得 /)1"/)1*( /)1"-./*$ /)1"-./*( -./"/)1*( /)1*#
& & & & &
! 槡+ 槡+ ! 槡+
整理得 /)1"% -./"$ #即/)1$"% %$ # ……………………………………………………*分
& & & + &
! ! &!
又3("(!#则"% $ #所以"$ !…………………………………………………………………"分
+ + +
! 槡+
$&%由$!%知<
,%"*
$
&
$4/)1"$
*
$4$槡+#解得$4$*#…………………………………………………5分
&槡+ 槡+$$(4%
因为/)1%(/)1*$ /)1"#所以’$ #由余弦定理得$&(4&%’&$&$4-./"$%$4#……!3分
+ &
+$$(4%&
即$$(4%&% $$4$*#解得$(4$*#’$&槡+# …………………………………………………!!分
*
所以,%"*的周长为$(’(4$&槡+(*!…………………………………………………………………!&分
评分细则+
! 槡+ 槡+ 槡+ ! 槡+
,!-第一问#写出/)1"$ /)1*( -./*%$ /)1%( /)1*#得&分#写出/)1$"% %$ #累计得*
& & & & + &
分#第一问全部正确解出#累计得"分!
,&-第二问#用面积公式求出$4$*#累计得5分#最后求出正确答案#累计得!&分!
,+-其他情况根据评分标准按步骤给分!
+ ! + ! & :
!5!解+$!%学生甲恰好答对两题的概率?$$ %&9 (&9 9 9 $ !……………………………*分
* + * * + !"
$&%随机变量@的可能取值为3#!#&#+#……………………………………………………………………6分
! ! !
所以?$@$3%$$ %&9 $ #…………………………………………………………………………"分
* + *5
+ ! ! ! & !
?$@$!%$#!9 9 9 ($ %&9 $ #…………………………………………………………:分
& * * + * + "
:
由$!%知?$@$&%$ #………………………………………………………………………………………5分
!"
+ & +
?$@$+%$$ %&9 $ #…………………………………………………………………………………4分
* + 5
所以@的分布列为
@ 3 ! & +
! ! : +
?
*5 " !" 5
………………………………………………………………………………………………………………!3分
! : + !+
,$@%$!9 (&9 (+9 $ ! ……………………………………………………………………!&分
" !" 5 "
评分细则+
:
,!-第一问#算出?$ #得本步骤的*分!
!"
,&-第二问#写出随机变量@的可能取值得!分#每算出一个概率得!分#正确写出期望累计得!&分!
!4!$!%证明+取%"的中点2#连接2+#2?#"+!
因为?%$?"#%"$%+#)+%"$"3?#所以%"$%+$"+# ’
所以%"*?2#%"*2+!……………………………………………………&分
%
又?2$2+$2#所以%"*平面?2+#从而%"*?+!……………………+分 & "
因为",*?+#%"$",$"#所以?+*平面?%"!………………………6分
$
# !
$&%解+因为?+*平面?%"#所以?+*?"#?+*?%#又%"$%+$"+$&#
所以?%$?"$?+$槡&!
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$理科% !""#$因为?%&(?"&$%"&#所以?"*?%!……………………………………………………………………"分
..- ..- ..-
以?为坐标原点#?%#?"#?+的方向分别为##0#&轴的正方向#建立如图所示的空间直角坐标系?%#0&!
……………………………………………………………………………………………………………:分
则%$槡#3%#"$3#槡%#+$3#3#槡&%# %
..- ..- ..-
因为*+/%"#所以+*$&%"$$%&槡&#&槡%#?+$$3#3#槡&%!………5分 "
!
设平面?+*的一个法向量为#$$##0#&%# (
..- $
!+*&#$3# 1%&槡&#(&槡&0$3# #
由 ..- 得0 ’ &
?+&#$3#2槡&&$3#
令#$!#则0$!#&$3#所以#$$!#!#3%! ………………………………………………………………!3分
因为?"*?%#?+*?"#所以?"*平面?%+#所以平面?%+的一个法向量为$$$3#!#3%#………!!分
#&$ 槡& 槡& 槡&
所以-./.##$/$ $ #/)1.##$/$ #即二面角%%?+%*的正弦值为 ! ………………!&分
"#""$" & & &
评分细则+
,!-第一问#证出%"*?2#%"*2+#得&分#证出%"*?+#累计得+分#第一问全部证完累计得6分!
,&-第二问#建立空间直角坐标系累计得:分#写出相关点和相关向量的坐标#累计得5分#计算出平面?+*
的法向量累计得!3分#写出平面?%+的一个法向量累计得!!分#直至正确求出二面角的正弦值累计得
!&分!
,+-若用传统做法#作出二面角的平面角得!分#简单证明得&分#整个题完全正确得满分!
! 4
&3!解+$!%由右顶点是A$%得$$&#又离心率5$ $ #所以4$!# …………………………………&分
& $
#& 0&
所以’&$$&%4&$+#所以椭圆*的标准方程为 ( $!!………………………………………………*分
* +
$&%设%$# ! #0! %#"$# �& %#显然直线B的斜率存在! ’
!0$1$#%*%#
设直线B的方程为0$1$#%*%#联立方程组 &
+#&(*0&$!&#
$
消去0得$*1&(+%#&%+&1&#("*1&%!&$3#由"’3#得% ! (1( ! # % " !
& & #
+&1& "*1&%!&
所以#(#$ ###$ !…………………………………"分
! & *1&(+ ! & *1&(+
因为点+$#
&
#%0& %#所以直线%+的方程为0$
#
0! (
%
0
#
&$#%#
!
%(1$#
!
%*%!…………………………:分
! &
又0! (0& $1$#
!
(#
&
%5%#…………………………………………………………………………………5分
所以直线%+的方程可化为0$ &*1 #( 1# ! $# ! (# & %5% ( 1$# ! %*%$# & %# ! % #………!3分
$# & %# ! %$*1&(+% # & %# ! # & %# !
&*1 &*1 &*1
即0$ #% $ $#%!%#…………………………!!分
$#%#%$*1&(+% $#%#%$*1&(+% $#%#%$*1&(+%
& ! & ! & !
所以直线%+恒过点$!#3%! ………………………………………………………………………………!&分
评分细则+
$方法二%$!%同上$!%! ………………………………………………………………………………………*分
$&%设%$#
!
#0! %#"$#
&
#0& %#直线B的方程为#$30(*#
!#$30(*#
联立方程组 消去#得$+3&(*%0&(&*30(+"$3#
+#&(*0&$!&#
&*3 +"
由"’3#得3’&或3(%&#所以0! (0& $%
+3&(*
#0!0& $
+3&(*
!…………………………………"分
因为点+$#
&
#%0& %#则直线%+的方程为0$
#
0! (
%
0
#
&$#%#
!
%(0! !……………………………………:分
! &
又#
!
%#
&
$30! (*%30& %*$3$0! %0& %#………………………………………………………………5分
!高三数学"参考答案!第!!!!*页#共"页$理科% !""#$所以 直 线 %+ 的 方 程 可 化 为0$
3
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$
$
0
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% $#%30! %*%(0! $ %
3
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0
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$0! (0& %$30! (*%(0! 3$0& %0! %
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0! (0&
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&30!0& (*$0! (0& %
$
&*
$#%!%#
3$0& %0! % 3$0& %0! % 3$0& %0! % $+3&(*%$0& %0! %
此时直线%+恒过点$!#3%# ………………………………………………………………………………!3分
当直线B的斜率为3时#直线B的方程为0$3#也过点$!#3%! …………………………………………!!分
综上#直线%+恒过点$!#3%!………………………………………………………………………………!&分
说明+第$&%问还可以先猜想出定点在#轴上#写出直线%+的方程#令0$3#求出定点坐标为$!#3%后再加
以证明#也可以得满分!
&!!$!%解+由题意知#($#%的定义域为$3#(<%#………………………………………………………………!分
01#(&
01#%3#(&$3有两个根#等价于方程 $3有两个根!
#
01#(& 01#(&
设/$#%$ #即/$#%$ 的图象与直线0$3有两个交点! ………………………………&分
# #
%01#%! ! !
因为/6$#%$ #所以/$#%在$3# %上单调递增#在$ #(<%上单调递减#…………………+分
#& ; ;
!
/$#%
@>A
$/$
;
%$;#当#-3(时#/$#%-%<#当#-(<时#/$#%-3#由图可知#3的取值范围是$3#;%!
……………………………………………………………………………………………………………6分
$&%证明+由$!%知方程 01#(& $3的两个根分别为####则 01# ! (& $ 01# & (& !
# ! & # #
! &
! !
令8$ #8$ #则&8%8018$&8%8018# …………………………………………………………"分
! # & # ! ! ! & & &
! &
设8 !(8
&
#7$8%$&8%8018#则76$8%$!%018#易知7$8%在$3#;%上单调递增#在$;#(<%上单调递减#且7$8
!
%
$7$8
&
%#3(8 !(;(8
&
!………………………………………………………………………………………:分
设C$8%$7$8%%7$&;%8%$3(8(;%#则C6$8%$76$8%(76$&;%8%!
因为C6$8%$!%018()!%01$&;%8%*$&%01$%8&(&;8%’&%01$%;&(&;&%$3#
所以C$8%在$3#;%上单调递增#………………………………………………………………………………4分
所以C$8
!
%(C$;%$3#即7$8
!
%(7$&;%8
!
%#从而7$8
&
%(7$&;%8
!
%!…………………………………!3分
因为3(8 !(;(8
&
#所以&;%8 !’;#
又7$8%在$;#(<%上单调递减#所以8 &’&;%8
!
#即8
!
(8 &’&;#…………………………………………!!分
! !
所以 ( ’&;!……………………………………………………………………………………………!&分
# #
! &
评分细则+
,!-第一问#写出($#%的定义域为$3#(<%#得!分#写出($#%有两个零点的等价条件累计得&分#算出
%01#%!
/6$#%$ #并得出/$#%的单调区间累计得+分#求出参数3的取值范围#累计得6分!
#&
,&-第二问#写出&8
!
%8
!
018
!
$&8
&
%8
&
018
&
#累计得"分#写出3(8 !(;(8
&
#累计得:分#推出C$8%在$3#;%
上单调递增#累计得4分#推出7$8
&
%(7$&;%8
!
%#累计得!3分#直到证出所要求证的不等式#累计得!&分!
,+-采用其他方法#参照本评分标准依步骤给分!
&&!解+$!%曲线*的普通方程为$#(!%&(0&$*! ……………………………………………………………&分
! ! !
由#/)1$$( %$槡&#得#/)1$-./ (#-./$/)1 $槡&#即#/)1$(#-./$$&#
* * *
因为#$#-./$#0$#/)1$#所以直线B的直角坐标方程为#(0%&$3!…………………………………*分
+!
$&%因为直线B的斜率为%!#所以B的倾斜角为 #
*
1 槡&
#$%&% 8#
&
所以过点A$%&#!%且与直线B平行的直线B6的方程可设为0 $8为参数%!………………"分
槡&
20$!(
&
8
!高三数学"参考答案!第!!!!6页#共"页$理科% !""#$1 槡&
#$%&% 8#
& 槡& 槡&
设点%#"对应的参数分别为8
!
#8
&
#将0 代入$#(!%&(0&$*#可得$%!%
&
8%&($!(
&
8%&
槡&
20$!(
&
8
$*#整理得8&(&槡&8%&$3#则"’3#8
!
(8
&
$%&槡
!
8
&
$%&# ………………………………………5分
所以 ! ( ! $ "A%"("A"" $ "8 ! %8 &" $ 槡$%&槡&%&(*9& $&!……………………………!3分
"A%" "A"" "A%""A"" "8 ! 8 &" &
评分细则+
,!-第一问#圆的方程没有写成标准方程#不扣分#累计得&分#写出直线B的方程#不管哪种形式#不扣分#
累计得*分!
,&-第二问#写出直线B6的参数方程#累计得"分#联立方程组并写出8
!
(8
&
$%&槡
!
8
&
$%&#累计得5分#
! !
求出 ( $&#累计得!3分!
"A%" "A""
&+!证明+$!%由已知可得+$*$&(’&(!"4&($*$&(’&%($*$&(!"4&%($’&(!"4&%+*$&(’&(!"4&(*$’(
!"$4(5’4$$&$(’(*4%&# …………………………………………………………………………………+分
槡+
当且仅当&$$’$*4$ 时#等号成立!……………………………………………………………………*分
+
又$#’#4均为正数#所以&$(’(*4#槡+! …………………………………………………………………6分
$&%因为$&$%&(’&($*4%&++槡 +$&$%&’&$*4%&#
槡+
当且仅当&$$’$*4$ 时#等号成立#……………………………………………………………………:分
+
所以+9*槡 +$$’4%&#!#整理得$$’4%&#$ ! %+#……………………………………………………………5分
!&
+ +
所以 ! ( ! ( ! ++槡! & ! & ! $ +槡! + + 槡 + !&+$4#
*$& ’& !"4& *$& ’& !"4& * $&’&4& *
槡+
当且仅当&$$’$*4$ 时#等号成立!……………………………………………………………………!3分
+
评分细则+
$证法二%证明+$!%由柯西不等式得)$&$%&(’&($*4%&*$!&(!&(!&%+$&$(’(*4%&# ………………+分
所以$&$(’(*4%&#+!………………………………………………………………………………………*分
槡+
因为$#’#4均为正数#所以&$(’(*4#槡+$当且仅当&$$’$*4$ 时#等号成立%!…………………6分
+
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$!(!(!( ( ( ( ( ( …………………………………………………………:分
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’& *$& !"4& *$& !"4& ’&
$+($ ( %($ ( %($ ( %…………………………………………………………5分
*$& ’& *$& !"4& ’& !"4&
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&
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’
$4#
&$ ’ &$ *4 ’ *4
槡+
当且仅当&$$’$*4$ 时#等号成立!……………………………………………………………………!3分
+
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$理科% !""#$
