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★秘密·2023年9月22日17：00前
重庆市 2023-2024 学年（上）9 月月度质量检测
高三数学答案及评分标准
2023.09
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
1．D 2．A 3．A 4．C
5．D【分析】设P、C到直线AB的距离分别为 ，根据题意结合垂径定理可得 ，再根据
结合几何关系分析求解.
6．A【分析】设 为函数 的零点，则 ，转化为 在直线 上，
根据 表示点 到原点的距离的平方，得到 ，构造新函数 ，
利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
7．D【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得 ，进而求得 .
8．C【分析】讨论 ， ，和 且 三种情况，根据题意可以得到：若 ，则
；若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .不妨从 时开始
讨论，得到 的符号，最后得到答案.
9．ACD 10．AD
11．BD【分析】当 时，求得 ，得到函数 的单调性和极值，再由当 时，可得
，画出函数 的图象，根据图象，结合选项，逐项判定，即可求解.
高三数学答案 第 1 页 共 9 页
学科网（北京）股份有限公司12．ABC【分析】选项A，用列举法即可得；选项B，构造新数列 ，利用定义法可证明是
等比数列；选项C，由递推关系 变形可得裂项形式，裂项后利用累加法求通项即可证；
选项D，利用泰勒公式可得 再对
13．
14．
15．
16．74
17．
（1）设 的公比为 ，由题意，可得 ，解得 ，
所以 ，所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，得证.
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学科网（北京）股份有限公司18．
（1）由题意知
所以 .
（2）由题意知 且 为锐角，
所以 ，
1
2×
2tanγ 3 3
tan2γ= = =
所以 ，所以 ，
1−tan2γ (1) 2 4
1−
3
所以 ，
因为 为锐角，所以 且 ，所以 ，则 ，
故 .
19．
（1）由散点图可以判断， 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
（2）将 两边同时取自然对数，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由题中的数据可得， ， ，
所以 ，
则 ，
所以z关于x的线性回归方程为 ，
故y关于x的回归方程为 ；
（3）用 ， 和 分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为 万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为 万，
如果发生，则收益为 万，即 ，
同样，采用第3种方案，有
所以， ，
，
.
显然， 最大，所以选择方案1最佳.
20
（1）如下图，若 为 中点，则 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
由 ， ， ， 面 ，
则 面 ，由 面 ，则 ，
又 ，则 面 ，由 面 ，则 ，
因为 ， ，设 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，则 ，故 ， ， ，
由 ，而 ， ，
若 到面 的距离为 ，所以 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
（2）
由 ，面 面 ，构建如上图示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，令 ，根据 ，则 ，整理得
，
所以 ，故 点轨迹是在面 上以 为圆心， 为半径的圆上，
要使四棱锥 体积的最大，即 到面 的距离最大，
综上， 到面 的最大距离为 ，又 ，
所以最大体积为 .
21．
（1）
设 ，由条件可知： ，等号的两边平方，整理后得： ；
（2）
由（1）的结论知：曲线C是方程为 的椭圆，设 ，依题意有：
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则 ，所以直线l的方程为： ，
联立方程： ，得： ，
设 ，则 ，
，
，
由条件可知： ， ，
的周长 ，即定值为10；
综上，曲线C的方向为 ， 的周长 .
22
（1）根据题意得， ， ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ，得 ；
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学科网（北京）股份有限公司令 ，得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）当 时， ，
则 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，故 的最小值为 ，
又 ， ； ， ，
故 ．
，
设 ， ，
则 ， ，
则 ，
由 ，得 ．
因此，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
由于 ，故 ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司由零点存在定理，存在 ，使得 ，
所以 有两个零点 和 ，即方程 有两个根 和 ．
的图象如下，
当 时，因为 ，
故方程 有一个根 ；
当 时，其中 ，
因为 ，
故由 图角可知， 有两个不同的根 ， ，且 ．
综上，当 时，函数 有三个零点．
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