河北省高三年级#月份考试
数学参考答案
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关系!
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#&+,’ +,’ +,’ +,’
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槡’ 槡’ /
因为与"方向相同的单位向量为 "#所以!在"上的投影向量为"!"012’!#"(& "% "!
’ ’ ’
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( 5 ’ " ’ ( ’ 5 " (
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数#所以)%槡/!因为’%!#所以’%’)6%’6槡/!
’ # ’
! 89,!-!
)!7!由89,!.89,$!- %%89,!. %)#得89,’!.)89,!-"%$89,!.’%$89,!./%
( !.89,!
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%&#即89,!%’或/#所以)89,!%’*是)89,!.89,$!- %%)*的充分不必要条件!
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数#排除7#$!又%$’%% %. %&#所以选4!
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6!7!由%$#-’%% #可得%$#-(%%%$#%#所以%$#%的周期为(#则%$!&&%%%$&%%
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’ 012"
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令函数%$"%% #"’$&# %#%&$"%% % !
012" ’ 012’" 012’"
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当"’$&# %时#%&$"%%&#%$"%单调递减+当"’$ # %时#%&$"%#&#%$"%单调递增!
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所以%$"%的最小值是%$ %%槡/#则路线总长$单位,;<%的最小值为’&&-’&&槡/!
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#!*$!因为,%!#".!%#%!&"#-%!#"!%#%!!"#所以.$,%%!&#.$-%%##,*-%
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!"#"$%!"
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书书书!#".!%#%!!"#$+,%,-%!#"!&$#%!!"!
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小正周期为 #7错误#*正确!因为"3 - % #所以%$#%的图象关于直线#% 对
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称#$正确!由#’-. #&.#得"#- ’-. # .#所以%$#%在-. #&.上单调递增#4
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正确!
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" $ 0
..- ..- ..-
因为/"#/$#/0不共线#所以1>1>1%/>(>)#故7正确!
" $ 0
..- ..- ..-
若/是/"$0的重心#/"-/$-/0%"#
..- ..- ..- ..- ..-
因为//"-(/$-)/0%"#所以/$%’0/#故*错误!
..- ..- ..-
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所以1>1>1%2=,)$/0>2=,)"/0>2=,)"/$%/>(>)#
" $ 0
所以2=,’">2=,’$>2=,’0%/>(>)#故$错误!
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当/为/"$0的内心时#1>1>1% ’2> 32> 42%’>3>4%/>(>)$2为内切圆
" $ 0 ’ ’ ’
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半径%#所以’’-3’%4’#所以0% #故4正确!
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所以4%’3#!#则"’"-"3"0’槡"’3"#’#所以"’"-"3"#’#7正确!若4%’-3#!#则’3
! ! ! ! /’ (3
%’-3#且’#3均为正数#则 - %!#则/’-(3%$/’-(3%$ - %% - -60
’ 3 ’ 3 3 ’
/’ (3 /’ (3 ’-槡/ ’-槡/
’槡& -6%6-(槡/#当且仅当 % #即’% #3% 时#等号成立#则/’-(3
3 ’ 3 ’ 槡/ ’
的最小值为6-(槡/#*正确!因为4%’3#!#所以+1?"’"-+1?"3".+1?$!-4’%%
’ ’ ’
"’3" 4 ! !
+1? %+1? %+1? #因为4#!#所以 -4#’#所以+1?"’"-+1?"3".
’!-4’ ’!-4’ ’ ! 4 ’ ’
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4
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+1?$!-4’%%+1? %.!#$错误!由(4’.’(.3(%"#则(4’%’(-3(-"0’槡’(3(-"%
’ ’’
’’’3’-"%’4’-"#则4’0/#由4#!#得40槡/#则4的最小值为槡/#4正确!
!/!15’$!#’%#5’$+,5! 存在量词命题的否定为全称量词命题!
5 5 2=,!-012! 89,!-!
!(!)+ ! 因为角!的终边经过点$’#5%#所以89,!% %(#所以 % %)#
!) ’ 2=,!./012! 89,!./
’89,! 5
89,$!.’!%%.89,’!%. % !
!.89,’! !)
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!)!/!%$#%%012$##-$ %#由%$ %%.%$ %#且%$#%在$ # %上单调#得%$#%的图象关
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于点$ #&%中心对称!因为直线#% 与直线#%&关于直线#% 对称#所以%$#%在$&#
" / "
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%上单调#得 % 0 #又##&#所以&%#$/!故#的最大值为/!
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#’-+,# ! #’ # #’ #.#/+,#
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- -
#/ #’ #/ #’
! #/+,#.#-!-# !
则!.%$ %% %8$#%!当#的取值范围为$&#-@%时# 的取值范围为
# !-# #
! !-#/+,#
$&#-@%#所以%$ %的最大值与%$#%的最大值相等#均为7#所以8$#%% 的最
# !-#
小值为!.7!
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!6!解,$!%由题意#%$#%%’012$’#- %!……………………………………………………’分
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令.!-’9!$’#- $’9!#9’##
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6! !
解得. -9!$#$. -9!#9’## ……………………………………………………(分
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6! !
所以%$#%的单调递增区间为-. -9!#. -9!.#9’#!……………………………)分
!’ !’
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$’%把%$#%的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 #得到:%’012$(#- %的图象# …
’ "
……………………………………………………………………………………………"分
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再将所得图象向左平移 个单位长度得到:%’012-($#- %- .%’012$(#- %的图
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象#所以8$#%%’012$(#- %!……………………………………………………………6分
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因为. %#% #所以 %(#- % # ………………………………………………5分
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则.!$012$(#- %%&#…………………………………………………………………#分
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所以8$#%在$. # %上的值域为-.’#&%!……………………………………………!&分
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!5!解,$!%在/"0;中#有";%’&;<#0;%’5;<#);"0%"&A!
由余弦定理#可得0;’%";’-"0’.’";&"0012);"0#……………………………!分
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即’5’%’&’-"0’.’3’&3"03 #……………………………………………………/分
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!高三数学"参考答案!第!!!!/页#共"页$% "!"#"$%!"
{#{QQABJQYEgggAABIAAAgCQQXACEMQkBCACAoOREAEIAIAAANABCA=}#}整理可得"0’.’&"0./5(%&#解得"0%/’或"0%.!’$舍去%# …………………)分
故"0的长为/’;<!………………………………………………………………………"分
$’%在/"$0中#有"0%/’;<#)0"$%!)A#)"$0%!’&A#
则)"0$%!5&A.!)A.!’&A%()A! ………………………………………………………5分
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由正弦定理 % #………………………………………………………#分
2=,)"$0 2=,)"0$
"02=,)"0$ /’2=,()A /’槡" /’槡"
可得"$% % % ;<#即"$的长为 ;<! …………!’分
2=,)"$0 2=,!’&A / /
!#!解,$!%令#%:%&#得%$&%%-%$&%.’.’%$&%-’# ……………………………………!分
因为%$&%%’#所以%$&%%!!………………………………………………………………’分
令#%:%!#得%$!%%-%$!%.’.’%$!%-’# ……………………………………………/分
因为%$&%(%$!%#所以%$!%%’!…………………………………………………………(分
令#%:%.!#得%$!%%-%$.!%.’.’%$.!%-’# ……………………………………)分
即-%$.!%.’%’%$.!%#因为%$#%#&#所以%$.!%#&#所以%$.!%%’!……………"分
$’%%$#%为偶函数!…………………………………………………………………………6分
证明如下,令:%.!#得%$.#%%%$.!%%$#%.%$.!%.%$#%-’#…………………#分
由$!%得%$.#%%’%$#%.’.%$#%-’# ………………………………………………!&分
即%$.#%%%$#%#又%$#%的定义域为!#所以%$#%为偶函数!………………………!’分
’&!解,$!%当#$!时#%$#%%#’-’#.!%$#-!%’.’的最小值为.’+…………………!分
当##!时#%$#%%.#’-"#.)%.$#./%’-(的最大值为(!………………………’分
作出%$#%的大致图象#如图所示!
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%
#
$ ! "
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!&"% ………………………………………………/分
由8$#%%&#得%$#%%7!
当7%.’或7%(时#8$#%的零点个数为’+……………………………………………(分
当7’$.’#&.*$’#(%时#8$#%的零点个数为/+ ………………………………………)分
当7’$&#’.时#8$#%的零点个数为(!……………………………………………………"分
$’%假设存在直线:%9#-3#使得该直线与曲线:%%$#%切于"$##:%#$$##:%$#%
! ! ’ ’ !
#%两点!
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!高三数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$% "!"#"$%!"
{#{QQABJQYEgggAABIAAAgCQQXACEMQkBCACAoOREAEIAIAAANABCA=}#}$方法一%联立:%#’-’#.!与:%9#-3#得#’-$’.9%#.!.3%&#
则%%$’.9%’-(-(3%&!………………………………………………………………6分
!
联立:%.#’-"#.)与:%9#-3#得#’-$9."%#-3-)%&#
则%%$9."%’.(3.’&%&!………………………………………………………………5分
’
由%-%%&#得9’.59-!’%&#解得9%’或9%"!……………………………………#分
! ’
当9%’时#3%.!#此时#%&##%’#则切点"#$的坐标分别为$&#.!%#$’#/%!………
! ’
…………………………………………………………………………………………!&分
当9%"时#3%.)#此时#%’#这与#$!矛盾#则9%"不符合题意!………………!!分
! !
综上#存在直线:%9#-3满足题意#且9%’#3%.!!…………………………………!’分
$方法二%设函数8$#%%#’-’#.!$#$!%#则8&$#%%’#-’$#$!%#
则曲线:%8$#%在#%# 处的切线方程为:.$#’-’#.!%%$’#-’%$#.#%#即:%
! ! ! ! !
$’#-’%#.#’.!!…………………………………………………………………………6分
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设函数<$#%%.#’-"#.)$##!%#则<&$#%%.’#-"$##!%#
则曲线:%<$#%在#%# 处的切线方程为:.$.#’-"#.)%%$.’#-"%$#.#%#即:
’ ’ ’ ’ ’
%$.’#-"%#-#’.)!……………………………………………………………………5分
’ ’
依题意可得’#-’%.’#-"且.#’.!%#’.)# ……………………………………#分
! ’ ! ’
消去##得#’-$’.#%’%(#因为#$!#所以#%&##%’# ………………………!&分
’ ! ! ! ! ’
所以9%’#-’%’#3%.#’.!%.!#即存在直线:%9#-3满足题意#且9%’#3%.!!
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…………………………………………………………………………………………!’分
’ ’ ! ! !
’!!解,$!%因为(’ .$(-!%’%!#所以 (-!. (% % . #………………!分
(-! ( (-! ( ($(-!% ( (-!
’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
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( ( (.! (.! (.’ ’ ! !
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%$ . %-$ . %-/-$!. %-!%’. #……………………………(分
(.! ( (.’ (.! ’ (
所以’%’(.!!……………………………………………………………………………)分
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$’%因为1% #所以当(%!时#1% !%!#得3%!+ ……………………………"分
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’ /(.! /(.!.! ’(.!
当(0’时#(%1.1 % . %/(.!#所以3% $(%!时也成立%!……
3 ( (.! ’ ’ ( /(.!
(
……………………………………………………………………………………………6分
! / ) ’(.! ! ! / ) ’(.!
因为6% - - -/- #所以 6% - - -/- #……………5分
( /& /! /’ /(.! / ( /! /’ // /(
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$!. %
’ ! ’ ’ ’ ’(.! / /(.! ’(.!
所以 6% - - -/- . %!-’3 .
/ ( /& /! /’ /(.! /( ! /(
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%!-!. . %’. #………………………………………………………!!分
/(.! /( /(
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故6%/. ! …………………………………………………………………………!’分
( /(.!
#’
’’!$!%解,设函数
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$#%%%$#%.#%+,$!-#%- .##
’
! #’
则 $&$#%% -#.!% #……………………………………………………………!分
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当#’-&#-@%时# $&$#%0&#………………………………………………………………’分
则
$
$#%在-&#-@%上单调递增# …………………………………………………………/分
所以
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$#%0$ $&%%&#从而%$#%.#0&#即%$#%0#! …………………………………(分
$’%证明,设函数<$#%%%$#%-!.8$#%%+,$!-#%-!.012##
当##&时#!.012#0&#+,$!-#%#&#则<$#%#&恒成立#……………………………)分
则由<$B ’ ’%#&#得%$B ’ ’%-!#8$B ’ ’%#又%$B ’ ’%-!%8$3%#所以8$3%#8$B ’ ’%! ……"分
因为8&$#%%#.2=,#的导数8=$#%%!.012#0&#所以8$#%在$&#-@%上单调递增#…
……………………………………………………………………………………………6分
又3#&#B ’ ’#&#所以3#B ’ ’! ………………………………………………………………5分
同理得%$3’%-!#8$3’%#要证%$3’%-!#8$’-!%#只需证8$3’%#8$’-!%#
即证3’#’-!!………………………………………………………………………………#分
因为3#B ’ ’#所以3’#B’!
设函数7$#%%B#.#.!$##&%#则7&$#%%B#.!#&#
所以7$#%在$&#-@%上单调递增#因为’#&#所以7$’%#7$&%%&#所以B’#’-!#
所以3’#’-!#……………………………………………………………………………!!分
所以8$3’%#8$’-!%#从而%$3’%-!#8$’-!%得证!…………………………………!’分
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