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★秘密·2023年9月22日17：00前
重庆市 2023-2024 学年（上）9 月月度质量检测
高三数学
2023.09
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知复数 满足 ，其中 为 的共轭复数，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定
没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为2，方差为3.1； B．中位数为3，方差为1.6；
C．中位数为3，众数为2； D．平均数为3，中位数为2.
4．函数 ， 的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知A，B是圆C： 上的两个动点，且 ，若 ，则点P到直线AB
距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
6．若函数 在区间 上有零点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
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7．若关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列 满足： ，对于任意实数 ，集合 的元素个数是
（ ）
A． 个 B．非零有限个
C．无穷多个 D．不确定，与 的取值有关
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．在四面体ABCD中， ， ，E，F，G分别是棱BC，AC，AD上的动
点，且满足AB，CD均与面EFG平行，则（ ）
A．直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为
B．四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1
C． 的面积的最大值为
D．四面体ABCD的内切球的表面积为
10．已知圆M： ，圆N： ，则下列选项正确的是（ ）
A．直线MN的方程为
B．若P､Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则 的最大值为5
C．圆M和圆N的一条公切线长为
D．经过点M､N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为
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11．已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A．函数 的值域为
B．函数 的单调减区间为 ，
C．若关于x的方程 有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D．若关于x的方程 有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
12．历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有 封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，
他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为 .例如两封信都投错有 种方法，三封信都投错有
种方法，通过推理可得： .高等数学给出了泰勒公式： ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为等比数列
C． D．信封均被投错的概率大于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若 ， ，则 在 上的投影向量的坐标为 .
14．已知正四棱柱 的每个顶点都在球 的球面上，若球 的表面积为 ，则该四棱柱
的侧面积的最大值为 .
15．已知函数 ，则使不等式 成立的 的取值范围是 .
16．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司 发布的名为“ ”
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的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具
有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练
迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为18，且当
训练迭代轮数为18时，学习率衰减为 ，则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少
为 .（参考数据： ）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设等比数列 的前 项和为 ，数列 为等差数列，且公差 ， .
(1)求数列 的通项公式以及前 项和 ；
(2)数列 的前 项和为 ，求证： .
18．已知 ， ， 其中 ， 为锐角．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
19．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只
红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以
往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(1)根据散点图判断， 与 （其中 …为自然对
数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x
（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
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(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中 ， ，
参考数据（ ）
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占
60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会
下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科
所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝
产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是
10万；
方案3：不采取防虫害措施.
20．如图，四棱锥 的底面 为直角梯形，平面 平面 ，
， ， ， ， ．
(1)若三棱锥 的外接球的球心恰为 中点，求 与平面 所成角的正
弦值；
(2)求四棱锥 体积的最大值．
21．已知点 到定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
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(2)若直线 ： 与圆 相切，切点 在第四象限，直线 与曲线 交于 ， 两点，求证：
的周长为定值．
22．已知函数 ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)设 ，证明：当 时，函数 有三个零点
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