文档内容
2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
数学（五）
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填
写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 的子集共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
3. 在 中，记 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数 ，则 的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知正四棱锥 的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点，
则异面直线PA与CE所成角的余弦值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm规格的芯片，现有25块该规格的芯
片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次
品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（ ）
.
A 0.78 B. 0.64 C. 0.58 D. 0.48
7. 已知 .若存在 ，使不等式
有解，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ，且 ， ， ，其
中 是自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范
围 ， ， ， ， 分别对应“优”“良”“轻
度污染”“中度污染”“重污染”五个等级.如图是某市连续 天的空气质量指数趋势图，
下面说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 这 天中有 天空气质量指数为“轻度污染”
B. 从 日到 日空气质量越来越好
C. 这 天中空气质量的中位数是
D. 连续三天中空气质量指数方差最小是 日到 日
10. 密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的
密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条
短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若 ，则角
可取的值用密位制表示可能是（ ）
A. 10—50 B. 2—50 C. 13—50 D. 42—50
11. 已知点A，B分别是双曲线 左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位
的
于第一象限的动点，记PA、PB的斜率分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线C的离心率为 B. 双曲线C的焦点到其渐近线的距
离为1
C. 为定值 D. 存在点P，使得
12. 已知 ， ，若方程
有四个不同 实的数根，则满足上述条件的
a值可以为（ ）
.
A B. C. D. 1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若 展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含 的项的系数为______.
14. 设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2，3，体积分别为 ， ，若它们的侧面积相等，
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学科网（北京）股份有限公司则 的值是______.
15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作 孙子算经
卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数
之剩三，七七数之剩二，问物几何 现有这样一个相关的问题：被 除余 且被 除余 的
正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，则
的最小值为__________．
16. 抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，点 是 上
任意一点，点 是圆 上任意一点，则 的最小值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17. 已知 的内角 的对边分别为 ，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 边上的高为 ，求 .
18. 设等差数列 的各项均为正数，其前n项和为 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前10项和，其中 表示不超过x的最大整数，如
， .
19. 某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取 名学生，竞赛成绩的频
率分布表如下：
竞赛成绩
频率
（1）估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知样本中竞赛成绩在 的男生有 人，从样本中竞赛成绩在 的学生
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学科网（北京）股份有限公司中随机抽取 人进行调查，记抽取的男生人数为 ，求 的分布列及期望.
20. 如图所示的几何体中，底面ABCD为直角梯形， ， ，四边形
PDCE为矩形，平面 平面ABCD，F为PA的中点，N为PC与DE的交点，
， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若G是线段CD上一点，平面PBC与平面EFG所成角的余弦值为 ，求DG的长.
21. 设椭圆 的左焦点为F，上顶点为P，离心率为 ，O是坐
标原点，且 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线，分别与C交于A，B，M，N四点，求四边形
面积的取值范围.
22. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）是否存在正整数m，使得 恒成立，若存在求出m的最小值，若不存在说明理
由.
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