文档内容
2023-2024 学年度高三年级第一次调研测试
数学试题
总分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“函数 是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．己知长方形ABCD的边 ，E为BC的中点，则 （ ）
A． B．14 C． D．18
4．谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿
三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图 2），对剩下的三个小三角形继续以上
操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4
被挖去的三角形面积之和是（ ）
图1 图2 图3 图4
A． B． C． D．
5．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间 t（单位： ）与位移y（单位： ）之间满足函数关系： ，则这个简谐运动的振幅是（ ）
A． B． C． D．
6．函数 与直线 相切，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．e D．
7．球M是圆锥SO的内切球，若球M的半径为1，则圆锥SO体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．己知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且满足 ， ，
，若 ，则 （ ）
A． B． C．88 D．90
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径．某研究性
学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为N
的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．己
知样本中 的人数为20人，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C．估计该样本数据的平均数为74
D．估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为180人
10．若 ，曲线C的方程为 ，则（ ）A．当 时，曲线C表示圆
B．当 时，曲线C表示两条直线
C．当 时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
D．当 时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线
11．设 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的有（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
12．设函数 ，对于任意给定的实数K，定义函数 ，则下列
结论正确的有（ ）
A．函数 的零点有3个 B． ，使
C．若 ，则 D．若 存在最大值，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的值为___________．
14．在我国长江中下游地区，每年的6月中下旬到7月中旬为梅雨季节，这段时间阴雨天气较多．这个地区
的一个市级监测资料表明，该市一天为阴雨天气的概率是0.8，连续两天为阴雨天气的概率是0.72，己知某天
为阴雨天气，则随后一天也为阴雨天气的概率是___________．
15．定义在 上的函数 的导函数为 ，当 时， ，且 ，则不等式
的解集为___________．
16．椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为A，直线 与椭圆C交于另一点
B，若 ，则椭圆C的离心率为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点， ．
（1）若 的面积 ，求a；
（2）若D为 的角平分线与边BC的交点， ，求a，
18．（本小题满分12分）
如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， ，将 沿 BD 折起到 的位置，使
．
（1）求证：平面 平面ABD；
（2）求直线AB与平面PAD所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
己知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）求证：当 时， ．
20．（本小题满分12分）
已知等差数列 的前n项和为 ， ．数列 的前n项和为 ， ， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的最大项．
21．（本小题满分12分）
某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数 满足 ，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱
子中奖品的个数超过3个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依
次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该游戏．
（1）求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率；
（2）设甲游戏结束时取走的奖品个数为X，求X的概率分布与数学期望；
（3）设乙游戏结束时取走的奖品个数为Y，求Y的数学期望．
22．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（1）若 ，函数 有两个极小值点，求实数a的取值范围；
（2）若 ，求证： ．
2023-2024 学年度高三年级第一次调研测试
数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．ABC 10．AB 11．BC 12．BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．0.9 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1） ， 2分
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ． 4分
解法二： 的高 ， 2分
所以 ，则 ． 4分（2）因为AD是 的角平分线，所以 ，
设 ，则 ．
在 中，因为 ，所以 ， 6分
由内角和定理， ，所以 ． 8分
在 中，由正弦定理得 ，则 ． 10分
18．（1）证明：如图，取BD中点O，连接OA，OP．
因为四边形ABCD是边长为2的菱形， ，所以 、 是边长为2的正三角形，
因为O是BD中点，所以 ， 2分
因为 ，所以 ，同理可得 ，因为 ，
所以 ，则 ，由二面角定义可得平面 平面ABD． 5分
或：又因为 ， 平面ABD， ，所以 平面ABD，
因为 ，所以平面 平面ABD． 5分
（2）以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
， 7分设平面PAD的一个法向量为 ，
由 得 ，
令 得 ，则 ， 10分
设直线AB与平面PAD所成的角为 ，
则 ．
所以直线AB与平面PAD所成角的正弦值为 ． 12分
注：第二问用等积法、综合法等方法解答同样给分．
19．（1）因为 ，所以 ． 1分
①当 时， 在 单调递减； 3分
②当 时，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上
单调递增． 6分
（2）当 时， ，
要证明 ，只要证 ，即证 ， 8分
设 ，则 ，令 得 ，列表得
a 1
0
极小值所以 ，即 ，所以 . 12分
20．（1）设等差数列 的首项为 ，公差为d， 11分
则 ，所以 ，所以 ． 3分
因为 ，当 时， ，则 ，所以 ； 4分
当 时， ，所以 ，
则 构成首项为1，公比为2的等比数列，所以 ．
（2）因为 ，所以 ， 7分
当 时， ，
因为 在 时单调递减，所以 ，
所以，当 时， ，即 ，所以 ， 11分
所以数列 的最大项为 ． 12分
注：第二问解方程组 得 ，结合 得最大项为 同样给分．
21．（1）因为每个箱子中放入的奖品个数 满足 ，
所以 ，则 ，所以 的概率分布为：
1 2 3 4 5
P
2分设事件A为甲能从1号箱子中取走一个奖品，则 ，
所以甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率为 4分
（2） ，因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为 ，所以 ，
所以 ， ，X的概率分布为：
X 0 1 2 3 4
P
8分
所以X的数学期望为 ．
或 ． 9分
（3）乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有 5个奖品，即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为
，所以 ，所以Y的数学期望为 ． 12分
22．（1）因为 所以 ，令 得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
①当 ，即 时， 在 上单调递增，
因为 ，所以 使得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 仅有一个极小值点 ，不合题意． 2分②当 ，即 时， ．
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，则 ．
当 时， ，所以 ，因为 ，所以 ，则 ；
当 时， ，所以 ，则 ，所以 ．
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，使 ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增． 4分
因为 有两个极小值点，
所以 为 的极小值点，且 时， 为 的极小值点，
所以 ，即 ，则 ，所以 ，
此时， 在 上单调递减， 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
所以，在 及 处取得极小值，实数a的取值范围是 ． 6分
（2）因为 ，所以 ．
则 ，即 ，
因为 ，则 ， 8
分
令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在 单调递增，
因为 ，所以 使得 ，
所以 在 单调递减， 单调递增， 10分
又 ，
所以 ，即 ． 12分
