文档内容
灌南高级中学2023-2024学年第一学期高三数学
命题人：审核人：考试时间：120分钟总分：150分
一、单选题
1．已知集合 ，则 =．（ ）
A． B． C． D．
2．若集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知正实数x，y满足 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．若命题p：“ ”是假命题，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知幂函数 的图象过点 ，则函数 在区间 上的最小值为（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．函数 ， 定义域均为R，且 ， ．若 为偶函数，
，则 （ ）
A．10 B．13 C．14 D．39
二、多选题
9．已知a，b，c满足 且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B． C． D．
10．已知命题p：关于x的不等式 的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是
（ ）
A． B． C． D．
11．给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数 在定义域上为奇函数，则
B．已知 的值域为R，则a的取值范围是
C．已知函数 满足 ，且 ，则
D．已知函数 ，则函数 的值域为
12．下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 的最大值是
B．若 ，则 的最小值为
C．若a，b，c均为正实数，且 ，则 的最小值是
D．已知 ，且 ，则 最小值是
三、填空题
13．计算求值： _________．
14．已知集合 ，且 ，那么 的子集有_________个．
15．函数 的最小值是_________．16．已知函数 ，若对任意 ， ，且 ，都有 则实数
a的取值范围为_________．
四、解答题
17．已知等差数列{ }的前n项和为 ，且 ．
（1）求数列{ }的通项公式：
（2）设 求数列{ }的前n项和 ．
18．设锐角三角形 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
（1）求B的大小：
（2）求 的取值范围．
19．如图，在直三棱柱 中，已知 ．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求二面角 的大小．
20．已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在R上单调递增，求实数a的取值范围．
21．甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为 ，若乙发球，则甲得分的概率为 ．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发
球．
（1）求在前4球中，甲领先的概率；
（2）12球过后，双方战平 ，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对
方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X，求X的分布列．
22．已知双曲线C 的焦距为 ，离心率 ．
（1）求双曲线C的方程：
（2）设P，Q为双曲线C上异于点 的两动点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若
，求证：直线 过定点．
答案和解析
1．【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查集合交集运算，属基础题．
根据交集定义直接得结果
【解答】
解：由题意可知，
故选：D．
2．【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查集合的包含关系，属于基础题．
根据题意A是B的子集，即可得到a的取值范围．
【解答】
解：
则故选D．
3．【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
可用举例和证明相结合的方法解决
【解答】
解：若 ，则 ，且 ，必要性成立，
若 ，当 时， ，充分性不成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
4．【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的应用，涉及到1的代换思想，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
先由已知关系式可得 ，然后利用1的代换以及基本不等式化简即可求解．
【解答】
解：因为正实数x，y满足 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
此时 的最小值为4，
故选：C．
5．【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定，考查不等式的恒成立问题，是中档题．先根据题意等价为“ ”是真命题，分 和 讨论求解
即可．
【解答】
解：由题可知，命题 是真命题．
当 或
若 ，则原不等式为 ，恒成立符合题意；
若 ，则原不等式为 ，不恒成立，不符合题意．
当 时，依题意得
即 ，解得 ．
综上所述，实数k的取值范围为 ．
故选B．
6．【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用指数函数、幂函数的图象与性质比较大小，对数式的化简，属于中档题．
根据指数函数和幂函数的单调性分别比较 ， 和 ，0． 的大小，即可比较a，b，再根据
即可得出答案．
【解答】
解：因为指数函数 是减函数，
所以
又幂函数 上是增函数，
所以所以 ，即 ，
所以
故选B．
7．【答案】C
【解析】
【分析】
用待定系数法求得 然后用基本不等式可解决此题．
本题考查幂函数求法、基本不等式，考查数学运算能力，属于基础题．
【解答】
解：设 ，∵幂函数 的图象过点 ，∴ ∴ ，∴ ，
∴ ，当且仅当“ ”时，取“ ”
∴数 · 在区间 上的最小值为5．
故选：C．
8．【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
根据所给条件化简得 ，结合 为偶函数， ，可计算得 ，
， ， ，从而根据 分别计算 至 的值，再计算
的值即可．
【解答】
解：∵ ，∴
又 ，∴ ，因为 ， ，则 ，
则 ，得 ，
， ，
因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，由 ，
得 ，则 ， ，
，
，
，
，
∴ ．
故选：C．
9．【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由 且 ，可得 ，而b与0的大小关系不确定，对选项逐一判断即可得出结论．
【解答】
解：∵ 且
∴ ，而b与0的大小关系不确定．
∵ 且 ，∴ ，故A正确；
∵ ，则 ，又 ，则 ，故B正确：∵ ，则 ，有 ，则 ，故D正确；
∵ 和 大小关系不确定，则 的大小关系不确定，故C不恒成立．
故选： ．
10．【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了必要不充分条件的应用，属于基础题．
解出不等式 的解集为R时a的范围，即 ，然后再根据必要不充分条件，即可求得答案．
【解答】
解：∵p：关于x的不等式 的解集是R，
∴ ，
解得 ．
∵
故选： ．
11．【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性、周期性、对数型复合函数的值域，属于中档题．
由奇函数的定义可判断A，函数 的值域M满足 ，即可判断B，由周期性可判断
C，先求出函数 的定义域，由对数函数和二次函数的性质可判断D．
【解答】
解：对于A、∵函数 为奇函数，
∴ 即∴ ，经检验， 满足条件，故A错误；
对于B、因为 的值域为R，
则函数 的值域M满足
则 ，解得 ，故B错误；
对于C、函数 满足 ，则
故 的周期为2，因为 ，则 ，故C正确；
对于D、∵ ，
由 ，得 解得 ，
即函数 的定义域为 ．
∴ ，
又
∵ ，
∴ ，
故函数 的值域为 ，故D错误：
故选
12．【答案】
【解析】
【分析】
根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，要注意应用条件的检验．
【解答】
解：对于A，由 可得 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 即 时取等号，
所以 的最大值为 ，故A正确：
对于B， ，
当且仅当 时等号成立，但此时x无解，等号无法取得，
则最小值不为2，故B错误：
对于C，由 可得
，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，由于a，b，c均为
正实数，则等号取不到，故C错误；
对于D，由 可得 ，
代入到 ，
当且仅当 即 时，等号成立，故D正确．
故选： ．
13．【答案】11
【解析】
【分析】
由指数幂及对数运算公式代入求解即可．本题考查了指数幂及对数运算公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：
．
14．【答案】16
【解析】
【分析】
本题考查了集合的运算，同时考查了集合的子集个数问题，属于基础题．
由题意先确定集合M，N，再求 ，从而求子集的个数．
【解答】
解：∵ ，且
∴ ，
∴ ，
故 的子集有 个．
故答案为：16．
15．【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力，属于一般题．
由 ，所以 ，化简 利用基本不等式求最小
值．
【解答】
解：因为 ，所以 ，，
，
当且仅当 ，
即 ， 有最小值 ，
故答案为 ．
16．【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数的应用，主要考查了分段函数的单调性问题，涉及了二次函数和指数函数单调性的应用，
对于分段函数问题一般会选择数形结合的方法或是分类讨论的思想进行研究，属于中档题．
由题意知，函数 在R上为增函数，列式求解即可．
【解答】
解：由题意知，函数 在R上为增函数，
即 解得 ，
所以实数a的取值范围为 ．
故答案为 ．
17．【答案】解：（1）设公差为d，由 ，可得 ，
解得
∴ ：（2） ，
∴数列{ }的前n项和
．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，以及裂项求和，属于中档题．
（1）设公差为d，由 ， ，可得 ，解得即可，
（2） ，裂项求和即可．
18．【答案】解：（Ⅰ） ，根据正弦定理得
所以 ，
由 为锐角三角形得 ．
（Ⅱ）
由 为锐角三角形知， ，
∴ ，
所以由此有 ，
所以， 的取值范围为 ．
【解析】本题主要考查了正弦定理的应用和三角函数中两角和公式的运用．涉及了正弦函数的性质，考查了
学生对三角函数知识的把握，属于基础题．
（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．
（2）把（1）中求得B代入 中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性
质求得 的取值范围．
19．【答案】解：（1）因为 ，三棱柱 是直三棱柱，
所以 ，从而 是四棱锥 高，
故四棱锥 的体积为
（2）如图，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设 的中点为M，
∵ ，∴ 平面 ，即 是平面 的一个法向量，
设平面 的一个法向量是
∵
∴ ，
令 ，解得 ，则 ，
设法向量 与 的夹角为β，二面角 的大小为θ，显然θ为锐角，
∵ ∴
故二面角 的大小为 ．
【解析】本题考查二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，属于基础题，
（1）证明 ，说明 是四棱锥 的高，然后求解四棱锥 的体积．
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面 的一个法向量及平面 的一个法
向量，利用向量的数量积即可求解二面角 的大小．
20．【答案】解：（1）当 时，函数 ，则
∵ ，
∴所求切线方程为 ，即 ；
（2）函数 ，
∵ 在R上单调递增，∴ 在R上恒成立，即 在R上恒成立．
令 ，令 ，则 ，
∵当 时， ：当 时，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，
∴实数a的取值范围为
【解析】本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中
档题．
（1）把 代入函数解析式，求导后得到 ， ，利用点斜式方程得答案；
（2）求出原函数的导函数，由 在R上恒成立，得 在R上恒成立，分离参数a后
利用函数的导数求解函数的最值，即可求解实数a的取值范围．
21．【答案】解：（1）甲与乙的比分是 的概率为
比分是 的概率为 ，
故前4球中，甲领先的概率
（2）依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得胜利，则甲 或 获胜，即在接下来的
比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜．
记比分为5：0为事件A，则
，
记比分为5：2为事件B，即前6球中，乙获胜两球，期间甲发球4次，乙发球两次，
，故甲依题意获胜的概
率为
X的所有可能取值为3，5，
由条件概率有，故X的分布列为
X 3 5
P
【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及离散型随机变量的分布列，属于难题．
（1）分甲乙比分为4：0和3：1两种情况计算概率，然后再求和即可；
（2）依题意，在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜．分别求出在接下来
的比赛中，甲乙的比分为5：0和5：2的概率，再由条件概率即可求得X的分布列．
22．【答案】解：（1）由题意知 ，解得 ，
所以双曲线C的方程为 ．
（2）当直线 斜率存在时，设其方程为 ，与 联立，
得 ，设 ， ，
则 ，
由 得 ，
即
即 ，
即
将 代入上式并整理得
即 ，故 或 ．
当 时，直线 方程为 过定点 ；
当 时，直线 方程为 过点 ，与题意矛盾．当直线 的斜率不存在时，经检验可知，不满足题意；
综上，直线 过定点 ．
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查圆锥曲
线中的定点问题，属于较难题．公众号：全元高考
（1）由题意知 ，求解a和b即可；
（2）分类讨论，当直线 斜率存在时，设其方程为 ，与 联立，利用韦达定理求关
于m的方程，从而求出直线所过定点．
