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2024 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（二）
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C D C B B
【解析】
1． ，故 ，故选B．
2．掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有 种，点数之和小于5的有6种，所以所求概
率为 ，故选D．
3 ． ， 故 选
A．
4．当 时， ，所以 在 上单调递增；又有 为
上 的 偶 函 数 ， 所 以 在 上 单 调 递 减 ． 又 有 所 以
而 又 且 所 以
，所以 ，故选C．
5．如图1，将两个互相垂直的圆柱放到棱长为2的正方体内，则正方体的
内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切，又因为牟合方盖上下两个顶
点和侧面的四个曲面刚好与正方体的侧面相切，故正方体的内切球内切
于牟合方盖，所以，正方体内切球即为牟合方盖的内切球，其半径为
1，体积为 ，故选D．
图1
6．学校高三年级男生共有 个，所占比例为 ，女生 个，所占比例为 故
该 校 高 三 年 级 全 体 学 生 的 年 龄 方 差 为 ：
数学参考答案·第1页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司当 时 ，
，故选C．
7．由题意得 ，设直线 ，与 联立，得 ，设
，故 ，则
， 同 理 得 ： ， ∴
当且仅当 时，等号成立，故选B．
8．设第n年每辆车的利润为 万元，则每辆车的利润 是以2为首项， 为公差的等差
数列，所以 ，设第n年新能源汽车的销量为 辆，则该汽车的销量 是
以100000为首项， 为公比的等比数列，所以 ，设该车企销售新能源
汽车的总利润为S，∴
∴ ①，
②，
①−②得：
所以 万元，即 亿元，故选B．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ABD BCD ACD
【解析】
9 ． 由 题 意 得 ： ， 所 以 ， ， 即
数学参考答案·第2页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司，又 ，所以 ，故 ．当
时， ，由余弦函数 的图象知：在 上是单调递减，
故A正确；当 时， ，由余弦函数 的图象知：
有两个极值点，故B正确；当 时， ， 不是余弦函数
的对称轴； 故 C 不正确；由 得 ，从而得：
或 ， 所 以 函 数 在 点 处 的 切 线 斜 率 为
，切线方程为： 即 故D正确，
故选ABD．
10．由题意可得， ， 将平面 和平面
沿直线 展开，如图 2，在 中， ，
， ， 所 以
，则 的最小 图2
值为 ，故A错；∵ ， 平面 ，∴
平面 ，即 到平面 的距离为定值，即三棱锥
的 高 为 定 值 ， 又 ∵ 为 定 值 ， 所 以
图3
为定值，故B正确；如图3，连接 ，取棱 ， ，
的中点分别为 ，取线段 的中点为 ，连接 ，因为 在平面 内
的投影为 ， ，由三垂线定理可得， ，
连 接 ， ∵ ， ， ∴ 平 面
数学参考答案·第3页（共10页）
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图4，∴ 在平面 内的投影为 ， ，由三垂线定理可得，
，连接 ，则 平面 ，∴ 点的轨迹为平行四边形 ，
故C正确； ，如图4，以 为球心， 为半径作球，则 点的轨迹即为该球
与直四棱柱各面截球所得的弧，在线段 上取一点 ，使得 ， 上取一
点 ，使得 ，则 ，平面 截球得 ，长度为 ，
平面 截球得 ，长度 ，∵ 平面 ， ，
∴平面 截球得 ，长度为 ，同理可得，平面 截球得 ，长度
为 ，平面 与球相切与点 ，则 点的轨迹长度为 ，故D正确，
故选BCD．
11．令 ，则 ，所以 或 ，若 ，则当 时，
，这与 矛盾，故 ，令 ，则
，故 ．又 的定义域为 关于原点对
称 ， 所 以 是 偶 函 数 ， 故 A 正 确 ； 当 时 ，
， 故 ， 又 当 时 ，
，所以 ，则 ，所以
，故 是以4为周期的周期函数，又由 是偶函数可得：
关于直线 对称，若 关于点 对称，则 ，与
矛盾，故 B 错误；若 ，则 是周期为 4 的周期数列，又
，而 ，所以 的前2024项和为
0，故 C 正确；令 ，则 ，即 ，可设
，由 可得 ，故 时成立，经检验可知原条件均成立，
此时有 ，故D正确，故选ACD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
数学参考答案·第4页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司题号 12 13 14
答案 216
【解析】
12．由 ≥2得： ≤3，所以 ≤3 ，因为 且 ，所以
．
13．5个人住4个房间，每个房间至少住1人，则有一个房间住两人，其他房间住一人，所
以有 （种）．
14．设 ∵ 故 ，
∴ 则 又 都在椭圆上，故 ，
且 ， 两 式 相 减 得 ： ， 即
① ， 同 理 可 得 ： ② ， ② − ① 得 ：
，所以 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）由
得：
即： ……………………………………………………………（3
分）
∴ 即：
数学参考答案·第5页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司又∵ ，∴ ……………………………………………………………
（5分）
（2）由（1）知： ∴
在 中，
在 中， ………………………………………………………（7
分）
又 ，代入得： ．……………………………（9
分）
由余弦定理得： ，……………………………………（11
分）
所以 ………………………………………………………（13
分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）∵ ，∴ ，
∴函数 在 的切线l的方程为 ．………………………………………（2
分）
∵ ，∴ ，令 ，得 ，……………………………（4
分）
故而 ，所以 ．……………………………………………………（5
分）
（2）由 恒成立，等价于 恒成立，
即： 恒成立，
令 ，则 …………………………………………………（8
分）
数学参考答案·第6页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司又∵ ，∴ 在 上单调递增，
∴ 恒成立，即 …………………………………………………（11
分）
令 ，所以 ，
则 为 上的增函数， 上的减函数，
所以 ，所以a的取值范围是： ………………………………（15
分）
17．（本小题满分15分）
（1）证明：如图5，过点 作 的平行线，即为 ．
理由如下：
∵ ∥ ， ， ，
∴ ∥平面 ．
又∵ ，且平面 平面
图5
∴ ∥ ．
又∵ ∴ ……………………………………………………………（4
分）
又∵ 在以 为直径的圆上运动，∴
又∵ ，∴ 平面 ，
∴ ．……………………………………………………………………………（6
分）
（2）解：在 中， ， ，∴ ，
故
由（1）知： ， ，
∴ 平面 .
又∵ ，∴ 平面 ……………………………………………………（9
分）
令 ，则 即为直线 与平面 所成的角，…………………（11
分）
数学参考答案·第7页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 中， ，………………………………（13
分）
∴ ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ……………………………………（15
分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）当点 运动到椭圆 的上顶点时，如图6，
则： ．
…………………………………………………（2分）
图6
的内切圆圆 即为 的重心．
∴ ， ，
则 ．………………………………………………………………………………（5
分）
（2）当点 在椭圆C上运动时，设 ，过点 作椭圆左准线 的垂线，垂足
为 ，
则：
又∵ ，∴
同理可得：
延长 交 轴于点 ，设 ，
∵ 点 是 内 切 圆 圆 心 ， ∴ 由 角 平 分 线 性 质 得 ： ， 即 ：
数学参考答案·第8页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司化 简 得 ： ① ，
……………………………………………………………………（7分）
设内切圆圆心 ，由
得： ②，……………………………………………………………（8
分）
联立①②得： ， ．
又∵ 在椭圆 上，
∴即 内切圆圆心 的轨迹方程为： ……………………………（10
分）
（3）∵点 与点 关于 轴对称，
∴设 ，
∴由 三点共线可得： ③，
由 三点共线可得： ④，
③×④得：
又∵ 在曲线 上，
∴ ，即
∴ 点 的轨迹方程Γ为： ………………………………………………（13
分）
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为：
此时直线 与双曲线只有一个交点，不成立；
当直线 的斜率存在时，设 且
数学参考答案·第9页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司∵点 在双曲线上，
∴ 两式子相减得：
∴
若点 是线段AB的中点，则 即
代入上式子得： 则直线 的斜率为： ，
∴直线 的方程为： 即
联立 得：
故方程有解，
所以存在这样的直线 ： ，使得点 为线段AB的中点．
……………………………………………………………………………………（17
分）
19．（本小题满分17分）
解：（1）记事件 为一辆德国市场的电车性能很好，事件 为一辆德国市场的车来自
W公司．
由全概率公式知：
故： ……………………（6
分）
（2）记事件 表示小球开始位于第 个格子，且最终停留在第10个格子，
事件 表示小球向右走一格.
小球开始于第i格，此时的概率为 ，
则下一步小球向左或向右移动，当小球向右移动，即可理解为小球始于 ，当小球向
数学参考答案·第10页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司左移动，即可理解为小球始于 ，
即 ……………………………………………………………………（9
分）
由题知 ，
又 ，故 ，…………………………………………（11
分）
所以 是以 为首项，3为公比的等比数列，
即： ，
即：
…
故 ， …………………………………………（13
分）
，………………………………………………（15
分）
则 ，
故这名顾客获得代金券的概率为 ………………………………………………（17
分）
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