文档内容
银川市 2024 年普通高中学科教学质量检测
文科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22～23题为选考题，
其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、
准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非
选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（线框）作答，写在草稿纸上、超
出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂
黑．
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午
的活动，则甲参加上午活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个函数中，是偶函数且在区间 上单调递增的函数个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
学科网（北京）股份有限公司5．锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为 ，其中 （单位
）为电池容量损失量， 是时间 的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定， 是方程剩余项未知
参数的组合，与温度 和电池初始荷电状态 等自放电影响因素有关．以某种品牌锂电池为研究对象，
经实验采集数据进行拟合后获得 ，相关统计学参数 ，且预测值与实际值误差很小，在
研究 对 的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为
，经实验采集数据进行拟合后获得 ，相关统计学参数 ，
且预测值与实际值误差很小．若该品牌电池初始荷电状态为 ，存放16天后，电容量损失量约为（参
考数据为： ）（ ）
A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56
6．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．在正方体 中，点 为底面 的中心，点 分别是 的中点，则（
）
A． ．直线 与平面 所成的角是
C． 平面 ．异面直线 与 所成的角是
8．在 中， 是 内一点， ，且 的面积是
的面积的2倍，则 （ ）
A． B． C． D．
9．已知实数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
学科网（北京）股份有限公司C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．设函数 ，当 时，方程 有且
只有两个不相等的实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，球 与圆锥 相切，切点在圆锥 的底面圆周上，圆锥 的母线长是底面半径的2倍，
设球 的体积为 ，圆锥 的体积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．若函数 是定义在 上的奇函数， ，则
（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第
22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值为______．
14．已知点 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上，且 与 轴垂直，过点 与
垂直的直线交抛物线于另一点 ，若 ，则抛物线 的方程为______．
学科网（北京）股份有限公司15．在 中， ，点 在线段 的延长线上，且 ，
则 ______．
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以线段 为直径的圆与双曲
线 在第一象限的交点为 ，若 的内角平分线与 轴的交点 平分线段 ，则双曲线 的离
心率为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知等差数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，从下面两个条件中任选
一个作为已知条件，解答下列问题：
（1）求数列 和 的通项公式：
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
条件① ；条件② ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我
们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低
滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区
域采集了12个土壤样本，平均分成 两组，测得 组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 ，
方差 ，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 ，方差 ．用技术1对
组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对 组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性
盐含量数据如下：
0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
组
0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.51
组
改良后 组、 组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为 和 ，样本方差分别记为 和
（1）求 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若
，则认为技术 能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）。
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，已知 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，点 是 的中点，求点 到平面 的距离．
20．（本小题满分12分）
设函数 ．
（1）已知曲线 在点 处的切线与曲线 也相切，求 的值．
（2）当 时，证明：
21．（本小题满分12分）
已知椭圆 的离心率 ，且点 在椭圆 上，直线
与椭圆 交于不同的两点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
学科网（北京）股份有限公司（2）证明：线段 的中点 在直线 上；
（3）过点 作 轴的平行线，与直线 的交点为 ，证明：点 在以线段 为直径的圆上．
请考生在第22—23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的圆心为 ，半径为1．
（1）求直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；
（2）在圆 上求一点 ，使点 到直线 的距离最小，并求出最小距离．
23．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知函数
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若对任意的 恒成立时 的最小值为 ，且正实数 满足 ，证明：
．
银川市 2024 年普通高中学科教学质量检测文科数学参考答案
一、选择题
1．B 2．A 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．D 9．C 10．B 11．A 12．A
二、填空题
13．－5 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）设等差数列 的公差为 ，
学科网（北京）股份有限公司．
选① ，
，取
数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
选② ， ，
当 时， ，得：
当 时，
由①－②得 数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
（2）由（1）知：
当 时，
当 时，
18．解：（1） ，
学科网（北京）股份有限公司又
（2）当 时，
，
应用技术1后，土篊可溶性盐含量没有显著降低
当 时， ，
，
应用技术2后，土壦可湥性盐含量显著降低．
19．（1）证法1： 是 的中点
连接 ， ，
在 和 中
平面 ， 平面
学科网（北京）股份有限公司是 的中点，连接 ， ，
证法2：设
又 且 ， ， ， ，
， 又 ，
又 ，
（2） 是 的中点 点 到平面 的距离就是点 到平面 的距离的一半
设点 到平面 的距离为
由题意 ，故 设点 为 的中点，则 ，
， ， ，
点 到平面 的距离为
20．（1）解：由 ，得
曲线 在点 处的切线斜率为1
曲线 在点 处的切线为
设曲线 与直线 相切于
则：
证法1：
（2）证明：当 时，
令 在 单调递增
， 使得 ①
学科网（北京）股份有限公司时， 时， 在 上单调通减，
上单调通增，
由①得： ，
证法2：
（2）证明：当 时，
要证 ，先证：
令 ， ， ，时
时
在 单调递减，在 单调递增
令 ， ， 时，
在 上单调递减， 上单调递增， ，即
的 不存在 ，即
21．解：（1）
，又
又 椭圆方程为
学科网（北京）股份有限公司（2）联立直线与椭圆方程得
又因为有两个交点，所以 解得
设 故
又
线段 的中点 的坐标为
线段 的中点C在直线 上；
（3）由已知得： ， ，
，
点 在以线段 为直径的圆上．
22．解：（1） 直线 的参数方程是 是参数）
的普通方程为：
又 圆心 的极坐标为 ，则 直角坐标为
又圆 的半径为1 圆 的直角坐标方程为
学科网（北京）股份有限公司（2） 在圆 上，设 ，则点 到直线 的距离为：
当 ，即 时， ，
此时 的坐标为 即：
23．解：（1）当 时，
则 的图像如下： 得： ，不等式 的解集
（2）由对任意的 恒成立
即： or
又 ，则 ，即
由正实数 满足 得：
证法一：分析法证明：
，要证：
只需证： ，即：
只需证： ，即：
，则
学科网（北京）股份有限公司只需证： ，即：
且 ，即证 成立
证法二：综合法证明：
又 ，故 ；
。
．
学科网（北京）股份有限公司
