文档文本内容
第 3 讲 机械能守恒定律及其应用
知识点 重力势能 Ⅱ
1．定义
物体由于被举高而具有的能量，叫作重力势能。
2．表达式
E ＝mgh，其中h是相对于参考平面的高度。
p
3．特点
(1)系统性：重力势能是地球与物体所组成的“系统”所共有的。
(2)相对性：重力势能的数值与所选参考平面有关。
(3)标量性：重力势能是标量，正负表示大小。
4．重力做功的特点
(1)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体
运动的路径无关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
5．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势
能增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即W ＝E － E
G p1 p2
＝ － ( E － E )＝－ΔE 。
p2 p1 p
(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关。
知识点 弹性势能 Ⅰ
1．定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这
种势能叫作弹性势能。2．大小：弹簧的弹性势能跟弹簧的形变量及劲度系数有关，形变量越大，劲度
系数越大，弹性势能就越大。
3．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用
公式表示：W＝ － Δ E 。
p
知识点 机械能守恒定律 Ⅱ
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而
总的机械能保持不变。
2．常用的三种表达式
(1)守恒式：E ＝ E 或E ＋ E ＝ E ＋ E 。E 、E 分别表示系统初末状态时的总
1 2 k1 p1 k2 p2 1 2
机械能。
(2)转化式：ΔE ＝ － Δ E 或ΔE ＝ Δ E 。表示系统势能的减少量等于动能的增
k p k增 p 减
加量。
(3)转移式：ΔE ＝ － Δ E 或ΔE ＝ Δ E 。表示系统只有A、B两物体时，A增
A B A增 B 减
加的机械能等于B减少的机械能。
3．对机械能守恒定律的理解
(1)只受重力或弹力作用，系统的机械能守恒。
(2)除受重力或弹力之外，还受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的
弹力做功，系统机械能守恒。
(3)除受重力或弹力之外，还受其他力，但其他力所做功的代数和为零，系统机
械能守恒。
一 堵点疏通
1．被举到高处的物体重力势能一定不为零。( )
2．克服重力做功，物体的重力势能一定增加。( )
3．弹力做正功弹性势能一定增加。( )
4．物体所受的合力为零，物体的机械能一定守恒。( )
5．物体的速度增大时，其机械能可能减小。( )
6．物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒( )
答案 1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.√
二 对点激活
1．关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案 D
解析 重力势能具有相对性，某个物体处于某个位置，相对不同的参考平面具
有不同的重力势能，故A错误；重力势能E ＝mgh，h为相对于零势能面的高度，当
p
物体位于零势能面以下时，它与零势能面的距离越大，重力势能越小，故B错误；
重力势能由－5 J变化为－3 J，重力势能变大，故C错误；重力做的功等于重力势
能的减少量，故D正确。
2．(多选)神舟号载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱的
机械能是守恒的( )
A．飞船升空的阶段
B．飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段
C．返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段
D．降落伞张开后，返回舱下降的阶段
答案 BC
解析 飞船升空的阶段，火箭加速上升，重力势能和动能都增加，故机械能增
加，A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只有引力做功，故机械能守恒，
B正确；返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段，只有引力做功，故机
械能守恒，C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，由于克服阻力做功，故机械
能减少，D错误。
3. (人教版必修第二册·P
93
·T
3
改编)(多选)如图所示，在地面上以速度v0 抛出质
量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而
且不计空气阻力，则下列说法正确的是( )A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为m v－mgh
D．物体在海平面上的机械能为m
v
答案 AD
解析 从地面到海平面重力对物体做的功为mgh，故A正确；地面为零势能面，
所以物体在海平面的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地面上的机械能为
m v，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能也为m v，故D正确；在海平
面上的动能为m v－(－mgh)＝m v＋mgh，故C错误。
考点1 机械能守恒的理解与判断
1.机械能守恒定律的理解
(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。
(2)当研究对象(除地球外)只有一个物体时，往往根据“是否只有重力(或弹力)
做功”来判断机械能是否守恒；当研究对象(除地球外)由多个物体组成时，往往根
据“有没有摩擦力和阻力做功”来判断机械能是否守恒。
(3)“只有重力(或弹力)做功”不等于“只受重力(或弹力)作用”，在该过程中，
物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功或所做功代数和为零，机械能仍守
恒。
2．机械能是否守恒的判断方法
(1)用机械能的定义判断(直接判断)：判断机械能是否守恒可以看物体系统机
械能的总和是否变化。(2)用做功判断：若物体系统只有重力或系统内弹力做功，虽受其他力，但其他
力不做功，或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无其他形
式的能的转化，则物体系统机械能守恒。
例1 (多选)下列关于机械能是否守恒的叙述，正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体的机械能可能守恒
C．合力对物体做的功为零时，机械能一定守恒
D．只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
(1)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒吗？
提示：不一定，在竖直面内做匀速直线运动的物体机械能一定不守恒。
(2)机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或系统内弹力做功。
尝试解答 选BD。
做匀速直线运动的物体，若重力或弹力做功，必定还有其他力做功，所以做匀
速直线运动的物体机械能不一定守恒，A错误。做匀变速直线运动的物体，可能只
有重力做功(如自由落体运动)，物体的机械能可能守恒，B正确。合力对物体做功
为零时，物体的动能不变，但势能有可能变化，机械能不一定守恒，C错误。D中的
叙述符合机械能守恒的条件，D正确。
判断机械能守恒应注意的“两点”
(1)机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；“只有重力
或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。
(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械
能必定不守恒。
[变式1] (多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守
恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落、B加速上升过程中，
A、B系统机械能守恒
D．丁图中，小球在竖直平面内来回摆动(不计空气阻力)，小球的机械能守恒
答案 CD
解析 甲图中物体A的重力和弹簧弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械
能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受A的支
持力，A的支持力对B做负功，B的机械能减小，B的机械能不守恒，但从能量转
化角度看，A、B组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对
B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，C正确；丁图中小球在竖直平面内
来回摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，D正确。
考点2 单个物体的机械能守恒
求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体及地球构成的系统。机械能守恒定律研究的是物体
系统，如果是一个物体与地球构成的系统，一般只对物体进行研究。
(2)根据物体所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。
(4)选取方便的机械能守恒定律方程形式(E ＋E ＝E ＋E 、ΔE ＝－ΔE )进行
k1 p1 k2 p2 k p
求解。
例2 (多选)如图所示，两个质量相同的小球A、B，用细线悬挂在等高的O 、
1
O 点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初
2
速度释放，则经最低点时(以悬点所在的水平面为参考平面)( )A．B球的动能大于A球的动能
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
(1)以悬点所在的水平面为参考平面，两小球的机械能为多少？
提示：零。
(2)经最低点时，A、B重力势能均为负值，A、B的重力势能谁比较大？
提示：B球重力势能大。
尝试解答 选BD。
空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守
恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，
故A错误，B正确。
1.机械能守恒定律的应用技巧
(1)应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究
的过程中机械能是否守恒作出判断。
(2)列方程时，选取的角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定
相同。
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点
不用选取零势能面。
2．用机械能守恒定律解决非质点问题
(1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类
的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类
物体不能再看成质点来处理。
(2)这类物体虽然不能看成质点来处理，但若只有重力做功，则物体整体机械
能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的
重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况物体各部分速度大小相同，动能用m
v
2表示。
[变式2－1] (2021·八省联考重庆卷)一质量为m的物块仅在重力作用下运动，
物块位于r 和r 时的重力势能分别为3E 和E (E >0)。若物块位于r 时速度为0，
1 2 0 0 0 1
则位于r 时其速度大小为( )
2
A．2 B.
C．2 D.4
答案 A
解析 物块仅在重力作用下运动，物块的机械能守恒，根据机械能守恒定律可
知E 1 ＝E 2 ，代入已知条件为3E 0 ＋0＝E 0 ＋m v 2，解得物块位于r 2 处的速度大小为v
＝2，故A正确。
[变式2－2] 一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，
另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。若将一个质量也为m的小球分别拴在
链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静
止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为va 、vb 、vc ，则关于va 、vb 、
vc
的关系，下列判断中正确的是( )
A．va ＝vb ＝vc B. va < vb < vc
C．vc >
va
>
vb
D.
va
>
vb
>
vc
答案 C
解析 设桌面下方L处为零势能面。链条由静止释放之后，到整根刚离开桌面
由于桌面无摩擦，对三种情况，则释放前，系统的重力势能为：图a中，E ＝mgL＋
p1
mg·L＝mgL，图b中，E ＝gL＋mg·L＝，图c中，E ＝mgL＋mg·L＋mg·＝mgL。释
p2 p3
放后，整根链条刚离开桌面时，系统的重力势能为：图a中，E ′＝mg，图b中，
p1
E ′＝mgL＋mg·＝mgL，图c中，E ′＝mgL。则系统损失的重力势能 ΔE ＝
p2 p3 p1
mgL，ΔE
p2
＝mgL，ΔE
p3
＝mgL，而ΔE
p1
＝m v，ΔE
p2
＝(2m) v，ΔE
p3
＝(2m) v，解得：v＝gL，v＝gL，v＝gL，显然v > v > v，所以vc > va > vb ，故C正确。
考点3 多物体组成的系统机械能守恒的应用
1.系统机械能是否守恒的判断方法
看是否有其他形式的能与机械能相互转化。
2．三种守恒表达式的比较
角度 公式 意义 注意事项
系统的初状态机械能
守恒 E ＋E 初、末状态必须用同
k1 p1
的总和与末状态机械
观点 ＝E ＋E 一零势能面计算势能
k2 p2
能的总和相等
续表
角度 公式 意义 注意事项
应用时关键在于分清势
系统减少(或增加)的势能
转化 能的增加量或减少量，可
ΔE ＝－ΔE 等于系统增加(或减少)的
k p
观点 不选零势能面而直接计
动能
算初、末状态的势能差
若系统由A、B两物体组
常用于解决两个或多个
转移 ΔE ＝ΔE 成，则A物体机械能的增
A增 B
物体组成的系统的机械
观点 加量与B物体机械能的
减
能守恒问题
减少量相等
3．几种常见类型
类型一：轻绳连接的物体系统
(1)常见情景
(2)三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
类型二：轻杆连接的物体系统
(1)常见情景
(2)三大特点
①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：
a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大
小。
b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能
不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做
功，则系统机械能守恒。
类型三：轻弹簧连接的物体系统
(1)题型特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统
内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
(2)两点提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是
压缩。
②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
例3 如图所示，一根轻绳绕过光滑的轻质定滑轮，两端分别连接物块A和B，
B的下面通过轻绳连接物块C，A锁定在地面上。已知B和C的质量均为m，A的
质量为m，B和C之间的轻绳长度为L，初始时C离地的高度也为L。现解除对A
的锁定，物块开始运动。设物块可视为质点，落地后不反弹。重力加速度大小为g。
求：(1)A刚上升时的加速度大小a；
(2)A上升过程的最大速度大小vm ；
(3)A离地的最大高度H。
(1)C落地后，A加速还是减速？
提示：减速。
(2)A离地最高时，B可能在哪里？
提示：B可能已落地，也可能还未落地。
尝试解答 (1)g (2) (3)L
(1)解除对A的锁定后，A加速上升，B和C加速下降，加速度大小a相等，设
轻绳对A和B的拉力大小为T，由牛顿第二定律得
对A：T－mg＝ma
对B、C：(m＋m)g－T＝(m＋m)a
联立解得：a＝g。
(2)C落地后，A的重力大于B的重力，A减速上升，所以当物块C刚着地时，
A的速度最大。从A刚开始上升到C刚着地的过程，由机械能守恒定律得
2mgL－mgL＝(2m) v＋v
解得vm ＝ 。
(3)假设C落地后A继续上升h时速度为零，此时B未触及地面，A和B组成
的系统机械能守恒，有
mgh－mgh＝0－v
联立解得：h＝L
由于h＝L<L，B不会触地，假设正确，所以A离地的最大高度H＝L＋h＝L。
多物体机械能守恒问题的分析方法(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。
(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守
恒。
(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
[变式3－1] (多选)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另
一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光
滑的定滑轮与物体B相连。开始时托住B，让A处于静止状态且细线恰好伸直，然
后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是( )
A．B受到细线的拉力保持不变
B．A、B组成的系统机械能不守恒
C．B机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
D．当弹簧的拉力等于B的重力时，A的动能最大
答案 BD
解析 对A有F －kx＝m a，对B有m g－F ＝m a，联立有m g－kx＝(m ＋
T A B T B B A
m )a，由于弹簧的伸长量x逐渐变大，从开始到B速度达到最大的过程中，B的加
B
速度逐渐减小，可知，此过程中细线的拉力逐渐增大，是变力，A错误；A、弹簧与
B组成的系统机械能守恒，而A、B组成的系统机械能不守恒，B正确；B机械能的
减少量等于A机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故B机械能的减少
量大于弹簧弹性势能的增加量，C错误；当弹簧的拉力等于B的重力时，B的速度
最大，A的速度也达到最大，则动能最大，D正确。
[变式3－2] (2020·河北省唐山市高三第一学期期末)质量不计的V形轻杆
可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L ＝0.3 m，OB
1
长为L ＝0.6 m，在轻杆的A、B两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P
2
的质量为m＝1 kg，如图所示。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆
恰能转到O点左侧水平位置。已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g取10 m/s2，求：(1)小球Q的质量M；
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q沿竖直方向的作用力。
答案 (1)0.5 kg (2)10.3 N
解析 (1)从OA水平释放至OB到达水平位置的过程，系统机械能守恒，有
mgL sin53°＝MgL sin53°
1 2
代入数据解得M＝＝0.5 kg。
(2)小球Q从初始位置运动到最低点的过程，系统机械能守恒，有
mgL
1
cos53°＋MgL
2
(1－sin53°)＝m v＋M
v
两球同轴转动，角速度相同，所以
v1
＝L
1
ω
v2
＝L
2
ω
联立并代入数据可得ω＝ rad/s
小球Q运动到最低点时，由牛顿第二定律，有
F－Mg＝Mω2L
2
代入数据解得F＝ N≈10.3 N。1．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E 等于动能
总
E 与重力势能E 之和。取地面为重力势能零点，该物体的E 和E 随它离开地面
k p 总 p
的高度h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得( )
A．物体的质量为2 kg
B．h＝0时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m时，物体的动能E ＝40 J
k
D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
答案 AD
解析 由于E ＝mgh，所以E 与h成正比，斜率k＝mg，由图象得k＝20 N，因
p p
此m＝2 kg，A正确；当h＝0时，E
p
＝0，E
总
＝E
k
＝m v，因此v0 ＝10 m/s，B错误；由
图象知h＝2 m时，E ＝90 J，E ＝40 J，由E ＝E ＋E 得E ＝50 J，C错误；h＝4
总 p 总 k p k
m时，E ＝E ＝80 J，即此时E ＝0，即从地面至h＝4 m，动能减少100 J，D正确。
总 p k
2．(2017·全国卷Ⅱ) 如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与
地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物
块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重
力加速度大小为g)( )
A. B.C. D.
答案 B
解析 设小物块的质量为m，滑到轨道上端时的速度为v1 。小物块上滑过程中
机械能守恒，有
m
v
2＝m v＋2mgR①
小物块能通过轨道最高点的条件是m≥mg②
联立①②式得R≤③
小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x，下落时间为t，有
2R＝gt2④
x＝v1 t⑤
联立①④⑤式整理得x2＝－16R2＋R⑥
可得x有最大值时对应的轨道半径R＝<，故选B。
3. (2017·江苏高考)(多选)如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C
间通过铰链用轻杆连接，杆长为L。B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹
簧处于原长。现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°。A、
B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为
g。则此下降过程中( )
A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于mg
B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于mg
C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D．弹簧的弹性势能最大值为mgL
答案 AB
解析 取A、B、C整体研究，三个小球皆静止时，地面对B、C球的弹力各为
mg，当A球下降时，只要A球未达最大速度，就有竖直向下的加速度，A球就处于
失重状态，此时地面对B球的支持力小于mg，A正确；A球的动能最大时，a ＝0，
A系统在竖直方向上F ＝0，则地面对B球的弹力为mg，B正确；弹簧的弹性势能
合
最大时，对应着弹簧伸长量最大，A球运动到最低点，此时vA ＝0，但a
A
≠0，加速度
方向竖直向上，C错误；两杆间夹角由60°变为120°，A球下落的距离h＝Lsin60°－
Lsin30°＝L，A球重力势能的减少量为ΔE ＝mgL，由能量转化知，弹簧的弹性势能
p
最大值为mgL，D错误。
4．(2016·全国卷Ⅱ) (多选)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于
O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了
N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小
球从M点运动到N点的过程中( )
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
答案 BCD
解析 在M、N两点处，弹簧的弹力大小相等，故在M点弹簧压缩，在N点弹
簧伸长，且压缩量和伸长量相等，如图所示，OP垂直于竖直杆，Q点与M点关于
OP对称，在小球从M点到Q点的过程中，弹簧弹力先做负功后做正功，故A错误；
在P点弹簧长度最短，弹力方向与速度方向垂直，故此时弹力对小球做功的功率
为零，即C正确；小球在P点时所受弹簧弹力垂直于竖直杆，竖直方向上只受重力，
此时小球加速度为g，当弹簧处于自由长度时，小球只受重力作用，此时小球的加
速度也为g，故B正确；小球和弹簧组成的系统机械能守恒，小球在M点和N点时
弹簧的弹性势能相等，故小球从M到N重力势能的减少量等于动能的增加量，而
小球在M点的动能为零，故D正确。5. (2021·八省联考河北卷)(多选)如图，一顶角为直角的“ ”形光滑细杆竖
直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质
弹簧相连，弹簧处于原长l 。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在
0
弹性限度内。对其中一个金属环，下列说法正确的是( )
A．金属环的最大加速度为 g
B．金属环的最大速度为g
C．金属环与细杆之间的最大压力为mg
D．金属环达到最大速度时重力的功率为mg2
答案 BC
解析 根据对称性可知，在金属环运动过程中，弹簧始终水平，刚释放时，弹
簧处于原长，弹力为0，金属环的加速度最大，金属环的最大加速度为a ＝gsin45°
m
＝g，故A错误；设弹簧的伸长量为x 时金属环速度最大，根据平衡条件，沿杆方向
1
有mgcos45°＝kx
1
cos45°，由机械能守恒定律得2mg·tan45°＝kx＋×(2m) v，联立解
得金属环的最大速度为v0 ＝g ，金属环达到最大速度时重力的功率为 P＝
mg
v0
cos45°＝ ，故B正确，D错误；当金属环下落到最低点时，金属环速度为0，金
属环与细杆之间的压力最大，设此时弹簧的形变量为 x ，由机械能守恒定律得
2
2mgtan45°＝kx，对金属环进行受力分析，垂直于杆方向有 F ＝mgsin45°＋
N
kx sin45°，可解得金属环与细杆之间的最大压力为F ＝mg，故C正确。
2 N
6．(2018·江苏高考) 如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度。细线的一端系
有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC
与水平方向的夹角为53°。松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，
然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
(1)小球受到手的拉力大小F；
(2)物块和小球的质量之比M∶m；
(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。
答案 (1)Mg－mg (2)6∶5
(3)T＝
解析 (1)如图所示，设小球受AC、BC方向的拉力分别为F 、F
1 2
F sin53°＝F cos53°
1 2
F＋mg＝F cos53°＋F sin53°
1 2
且F ＝Mg
1
解得F＝Mg－mg。
(2)小球运动到与A、B相同高度过程中，
小球上升高度h ＝3lsin53°
1
物块下降高度h ＝l ＋l －l ＝2l
2 AC BC AB
根据机械能守恒定律mgh ＝Mgh
1 2
解得M∶m＝6∶5。
(3)根据机械能守恒定律，小球向下运动到最低点时回到起始点。设此时小球
沿AC方向的加速度大小为a，物块受到的拉力为T
根据牛顿第二定律，Mg－T＝Ma
小球受AC方向的拉力T′＝T根据牛顿第二定律，T′－mgcos53°＝ma
解得T＝。
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6题为单选，7～10
题为多选)
1. 如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个
相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰
好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法中正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能增大
C．M和N组成的系统机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
答案 C
解析 细杆光滑，故M、N组成的系统机械能守恒，N的机械能增加，绳的拉
力对N做正功、对M做负功，M的机械能减少，故C正确，A、B、D错误。
2．从地面竖直上抛两个质量不同、初动能相同的小球，不计空气阻力，以地面
为零势能面，当两小球上升到同一高度时，则( )
A．它们具有的重力势能相等
B．质量小的小球动能一定小
C．它们具有的机械能相等
D．质量大的小球机械能一定大
答案 C解析 两小球在上升过程中，只有重力做功，机械能守恒，由于初动能相同，
则它们具有的机械能相等，故C正确，D错误；当两小球上升到同一高度时，由于
两小球质量不同，由重力势能E ＝mgh可知它们具有的重力势能不同，质量小的
p
小球重力势能小，动能一定大，故A、B错误。
3. 如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，管中液柱总长度
为4h，开始时使两边液面高度差为h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，
右侧液面下降的速度为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 液柱移动时，除了重力做功以外，没有其他力做功，故机械能守恒。此
题等效为原右侧高的液柱移到左侧(如图所示)，其重心高度下降了，减少的重力势
能转化为液柱整体的动能，设液体的总质量为4m，则有mg·＝(4m)
v
2，得v＝ ，A
正确。
4. 一轻绳系住一质量为m的小球悬挂在O点，在最低点先给小球一水平初速
度，小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，若在水平半径OP的中点A处钉
一枚光滑的钉子，仍在最低点给小球同样的初速度，则小球向上通过P点后将绕A
点做圆周运动，当小球到达最高点N时绳子的拉力大小为( )
A．0 B.2mgC.3mg D.4mg
答案 C
解析 小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，则在最高点有mg＝，解得
v＝，从最低点到最高点，由机械能守恒定律可知m v＝2mgR＋m
v
2，解得初速度v0
＝；若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子，设小球到最高点N时速度为
v
′，根据机械能守恒定律，有m v＝mgR＋m
v
′2，根据向心力公式有T＋mg＝，联
立解得T＝3mg，故C正确。
5. (2020·江苏省无锡市模拟)如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面
上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面
的过程中，下列说法正确的是( )
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能减少量等于斜劈动能的增加量
答案 B
解析 斜劈由静到动，动能增加，只有弹力对斜劈做功，根据动能定理，小球
对斜劈的弹力对斜劈做正功，则斜劈对小球的弹力对小球做负功，故A错误；不计
一切摩擦，小球和斜劈组成的系统中，只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒，
但斜劈的机械能不守恒，故B正确，C错误；小球重力势能减少量等于斜劈和小球
动能的增加量之和，故D错误。
6. (2021·江苏省如皋市高三上第三次月考)如图所示，质量均为m的小滑块P、
Q通过铰链用长为L的轻杆连接，P套在固定的竖直光滑杆上，Q放在光滑水平地
面上，轻杆与竖直方向夹角α＝30°，原长为的轻弹簧水平放置，右端与Q相连，左
端固定在竖直杆O点上。P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过
程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速
度为g。则P下降过程中( )A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．P、Q的速度大小始终相等
C．弹簧弹性势能最大值为mgL
D．P达到最大动能时，Q受到地面的支持力大小为mg
答案 C
解析 在P下滑的过程中，对P、Q组成的系统，弹簧弹力做负功，则系统机械
能减小，故A错误；将P、Q的速度进行分解，如图所示，可得vP cosα＝vQ sinα，即有
vP ＝vQ tanα，仅当α＝45°时，vP ＝vQ ，故B错误；当P下降到最低点时，弹簧的弹性
势能最大，对 P、Q 及弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律，可得 E ＝
pmax
mg(Lcos30°－Lcos60°)＝mgL，故C正确；P达到最大动能时，P的加速度为零，则
P、Q、轻杆组成的系统在竖直方向的加速度为零，对系统受力分析可得，此时Q受
到地面的支持力大小等于P、Q的总重力，即2mg，故D错误。
7. 如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O
在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让小球自由摆下，不计空
气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
答案 BD
解析 小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了
负功，所以小球的机械能减少，故A错误，B正确；在此过程中，由于只有重力和弹
簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能
等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故C错误，D正确。
8．(2020·山西省临汾市高三上学期第二次月考)如图所示，倾角为30°的足够
长斜面与水平面平滑相连，水平面上用轻杆连接的小球A、B以速度v0 ＝ 向左运
动，小球质量均为m，杆长为l，当小球B到达斜面上某处P时速度为零。不计一切
摩擦，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
A．P与水平面的高度差为
B．P与水平面的高度差为
C．两球上滑过程中杆对A球所做的功为－
D．两球上滑过程中杆对A球所做的功为
答案 AD
解析 设小球B沿斜面上滑距离为x时到达斜面上某处P，不计一切摩擦，则
系统机械能守恒，可得2×m v＝mgxsin30°＋mg(x＋l)sin30°，解得x＝l，则P与水
平面的高度差为h＝xsin30°＝l，故A正确，B错误；设两球上滑过程中杆对A球所
做的功为W，对A球，由动能定理得W－mgsin30°＝0－m v，解得W＝，故C错误，
D正确。
9．(2021·湖南省株洲市高三教学质量统一检测(一))如图甲所示，轻质弹簧的
下端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，在弹簧的上端从静止开始释放 0.5
kg的小球，小球的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示。重力加速度 g
取10 m/s2，则( )A．斜面的倾角θ＝60°
B．弹簧的劲度系数为12.5 N/m
C．小球最大的动能为0.25 J
D．弹簧最大弹性势能为1 J
答案 BCD
解析 由图可知，当弹簧压缩量x ＝0时，a ＝5 m/s2，则有a ＝gsinθ＝5 m/s2，
0 0 0
解得θ＝30°，故A错误；当弹簧压缩量x ＝20 cm＝0.2 m时，a ＝0，则有mgsinθ－
1 1
kx ＝0，解得k＝＝ N/m＝12.5 N/m，故B正确；在ax图像中，图线与x轴所围成的
1
面积表示ax的大小，当x
1
＝0.2 m时，a
1
＝0，此时小球的速度最大，由2ax＝v 2可知
vm ＝ m/s＝1 m/s，则小球最大的动能为E km ＝m v＝0.25 J，故C正确；由运动的对称
性可知，当弹簧的压缩量为x ＝0.4 m时，小球速度为零，此时弹簧的弹性势能最
2
大，从最高点到弹簧压缩量为x ＝0.4 m的位置，对系统由机械能守恒定律可得，
2
弹簧最大弹性势能为E ＝mgx sin30°＝0.5×10×0.4× J＝1 J，故D正确。
pm 2
10. (2020·黑龙江省大庆中学高三下学期开学考试)如图所示，物体A、B通过
细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m，开始时细绳
伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地
面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰
好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的
是( )
A．物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒B．弹簧的劲度系数为
C．物体A着地时的加速度大小为
D．物体A着地时弹簧的弹性势能为mgh－m
v
2
答案 AC
解析 由题可知，物体A下落过程中，物体B一直静止不动，对于物体A和弹
簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守
恒，故A正确；物体A与地面即将接触时，物体B对地面恰好无压力，则此时弹簧
的弹力为T＝mg，开始时弹簧处于原长，由胡克定律知：T＝kh，联立解得弹簧的劲
度系数为k＝，故B错误；物体A着地时，弹簧的弹力为T＝mg，则细绳对A的拉
力也等于mg，对A，根据牛顿第二定律得2mg－mg＝2ma，解得a＝，故C正确；物
体A与弹簧组成的系统机械能守恒，有：2mgh＝E
p
＋×2m
v
2，解得E
p
＝2mgh－
m
v
2，故D错误。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11. (14分)一劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角为θ＝53°的光
滑斜面底端，上端连接物块Q。一轻绳跨过O点的定滑轮，一端与物块Q连接，另
一端与套在光滑竖直杆的物块P连接，定滑轮到竖直杆的距离为d＝0.3 m。初始
时在外力作用下，物块P在A点静止不动，轻绳与斜面平行，绳子张力大小为50
N。已知物块P质量为m ＝0.8 kg，物块Q质量为m ＝5 kg，不计滑轮大小及摩擦，
1 2
取g＝10 m/s2。现将物块P静止释放，求：
(1)物块P位于A点时，弹簧的伸长量x ；
1
(2)物块P上升h＝0.4 m至与滑轮O等高的B点时的速度大小；
(3)物块P上升至B点过程中，轻绳拉力对其所做的功。
答案 (1)0.1 m (2)2 m/s (3)8 J
解析 (1)物块P位于A点时，绳子张力T＝50 N，设弹簧的伸长量为x ，
1对物块Q受力分析有T＝m gsinθ＋kx ，
2 1
解得x ＝0.1 m。
1
(2)由几何知识可知，OB垂直于竖直杆，d＝0.3 m，则此时物块Q速度为零，下
降的距离为
Δx＝ －d＝0.2 m，
则弹簧压缩量为x ＝0.2 m－0.1 m＝0.1 m，则P从A到B弹簧的弹性势能不
2
变。
物块P从A到B，对系统根据机械能守恒定律有
m
2
g·Δx·sinθ－m
1
gh＝m 1v，
代入数据可得vB ＝2 m/s。
(3)设此过程轻绳拉力对P做的功为W ，对物块P由动能定理有W －m gh＝
T T 1
m 1v－0，
代入数据得W ＝8 J。
T
12．(16分)某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示。竖直平面内的光滑轨
道由倾角为θ的斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，使质量m＝0.1 kg的小球从
轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点 D
时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图
乙所示，取g＝10 m/s2。
(1)求圆弧轨道的半径R；
(2)若小球从D点水平飞出后又落到斜面上，其中最低点与圆心O等高，求θ
的值。
答案 (1)0.2 m (2)45°
解析 (1)小球经过D点时，竖直方向的合力提供圆周运动的向心力，即F＋
mg＝m从开始到D的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律有：mg(H－2R)＝
m 2
v
联立解得：F＝H－5mg
由题中给出的FH图像知斜率
k＝ N/m＝10 N/m
即＝10 N/m
所以可得R＝0.2 m。
(2)小球离开D点做平抛运动，根据几何关系知，小球落点越低平抛的射程越
小，即题设中小球落点位置最低对应小球离开D点时的速度最小。
根据临界条件知，小球能通过D点时的最小速度为v0 ＝
此时小球在斜面上的落点与圆心等高，故可知小球平抛时下落的距离为R
所以小球平抛的射程
s＝v0 t＝v0 ＝·＝R
由几何关系可知，θ＝45°。
