文档内容
2023 届普通高等学校招生全国统一考试
9 月联考
数学(文科)
全卷满分150分,考试时间120 分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂
其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 , 则
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 , 则
A. B. C. D.
3. 已知 的边 上有一点 , 满足 , 则
A. 1 B. C. D.
4.已知函数 如图是给定 的值, 求其对应的函数值 的程序框图,
则
A. ①处填否,②处填是
B. ①处填是,②处填否
C. ①处填是,②处填是
D. ①处填否,②处填否
5. 若 满足约束条件 则 的最小值为
A. 2 B. -2 C. -4 D. -6
6.已知甲、乙两班各 50 人, 下表为某次数学考试的成绩情况:
分数段 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
甲班人数 1 3 9 16 10 7 4
乙班人数 3 2 5 14 11 8 7
各分数段成绩视为均匀分布, 有以下结论:①甲班平均成绩低于乙班;②甲班成绩的中位数与乙班相
同;③甲班成绩的方差比乙班成绩的方差小.其中正确的序号是
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
学科网（北京）股份有限公司7. 已知等差数列 满足 , 则
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8.下列四个选项中的函数, 其图象可能是下图的是
A. B. C. D.
9. 已知抛物线 上有三点 的垂心在 轴上, 两点的纵坐标分别为 2,4 ,则点
的纵坐标为
A. -2 B. -4 C. -6 D. -8
10. 在三棱锥 中, 分别为 的中点, 则以下结论不一定成
立的是
A. 平面
B. 若 , 则
C. 若 , 则平面 平面
D. 点 在平面 上的射影是 的外心
11. 直线 和 各有一点 的面积为 2 ,则 的中点 的轨迹方程为
A. B. C. D.
12. 已知直线 与曲线 相切于点 , 若 , 则 所在的取值区间是
A. B. C. D.
二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分。
13 .从2名教师、3名学生中选出1名教师、2名学生组成辩论队,学生 恰被选中的概率是_____.
14. 已知数列 为等比数列, , 则 _____.
15. 已知函数 ,则 的解集为_____.
16. 半径为 2 的球内有一内接圆柱, 圆柱上、下底面圆周都在球面上, 圆柱内有一正四棱锥, 其顶
点在圆柱上底面圆心, 底面正方形 4 个顶点在下底面圆周上, 则四棱锥体积的最大值为_____.
三、解答题: 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10 分)
已知数列 满足 为等差数列.
学科网（北京）股份有限公司(1) 求 的通项公式;
学科网（北京）股份有限公司(2) 求满足不等式 的最大正整数 .
18. (12 分)
每年的3月21日是世界睡眠日,保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠,某机构调查参加体
育锻炼对睡眠的影响,从辖区内同一年龄层次的人员中,常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中,
各抽取了100人, 通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位:小时), 并绘制出如下频率分
布直方图.
(1)根据频率分布直方图,求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间 (同一组的数据用该组区间的
中点值代替);
(2)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”,每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠
不足”,请根据已知条件完成下列 列联表,并判断是否有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体
育锻炼”有关.
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
附: , 其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
学科网（北京）股份有限公司19. (12 分)
在平面四边形 中, .
(1) 若 , 求 ;
(2) 若 的中点为 , 求 .
20. (12 分)
在四棱柱 中, 交平面 于点 为 的垂心,
.
(1) 证明: 平面 平面 ;
(2) , 求 与平面 所成角的正弦值.
21. (12 分)
已知椭圆 的离心率为 , 左、右焦点分别为 是椭圆上关于原点
对称的两点, .
(1) 求椭圆 的方程;
(2) 椭圆左顶点为 ,上顶点为 ,直线 且交椭圆于 ,求 的面积最大时, 的方程.
22. (12 分)
已知函数 .
(1) 证明: 函数 在 上是增函数;
(2) 若函数 的最小值为-1, 求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司
