文档内容
衡阳市八中 2024 届高三第 2 次月考
数学试题
命题人：刘瑶 审题人：颜军
注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟
一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D. 或
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ，有 ，则
（ ）．
A. B.
C. D.
4. 已知等差数列 的公差为d，前n项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ2)，且成绩优良（不低于
120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（ ）
A. 360 B. 640 C. 720 D. 780
6. 椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为上顶点，若 的面积为 ，则
第1页/共6页
学科网（北京）股份有限公司的周长为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
7. 设函数 （其中 为自然对数的底数），若存在实数a使得 恒成
立，则实数m的取值范围是（ ）
.
A B.
C. D.
8. 如图，在三棱锥 中， ，二面角 的正切值是
，则三棱锥 外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
9. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）.
A. B.
C. 向量 的夹角为 D. 在 方向上的投影向量是
10. 设等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，若满足 ， ，
第2页/共6页
学科网（北京）股份有限公司，则下列选项正确的是（ ）
A. 为递减数列 B.
C. 当 时， 最小 D. 当 时， 的最小值为4047
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 直线 是函数 图象的一条对称轴
C. 函数 的值域为
D. 方程 最多有8个根，且这些根之和为
12. 已知直线 交 轴于点P，圆 ，过点P作圆M的两条切线，切点分
别为A，B，直线 与 交于点C，则（ ）
A. 若直线l与圆M相切，则
B. 当 时，四边形 的面积为
C. 直线 经过一定点
D. 已知点 ，则 为定值
三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 ．小明在设置银行卡的数字密
码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相
邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
14. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ______.
第3页/共6页
学科网（北京）股份有限公司15. 底面 为菱形且侧棱 底面 的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若
.则三棱雃 的体积为__________.
的
16. 设 ，平行于 轴 直线 分别与函数 和 的图像交于点 ， ，若函数
的图像上存在点 ，满足 为等边三角形，则 _________．
四､解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为 ， 且 ．
（1）求角A的大小；
（2）设M为BC的中点，且 ，求a的长度．
18. 某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序
加工合格率分别为 ， ， ．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；
恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．
（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；
（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使
工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．
19. 在图1中， 为等腰直角三角形， ， ， 为等边三角形，O为AC边的
中点，E在BC边上，且 ，沿AC将 进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连
第4页/共6页
学科网（北京）股份有限公司接FO，FB，FE，使得 ．
（1）证明： 平面 ．
（2）求二面角 的余弦值．
20. 若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点
在函数 的图象上，其中n为正整数，
（1）证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
（2）设 ，定义 ，且记 ，求数列 的前n项和
．
21. 已知双曲线 的右焦点，右顶点分别为 ， ， ， ，点
在线段 上，且满足 ，直线 的斜率为1， 为坐标原点.
（1）求双曲线 的方程.
（2）过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，在 轴上是否存在与 不同的定点 ，使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
第5页/共6页
学科网（北京）股份有限公司22. 已知函数 ， .
（1）讨论 极值点的个数；
（2）若 恰有三个零点 和两个极值点 .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）若 ，且 ，证明： .
第6页/共6页
学科网（北京）股份有限公司
