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成都石室中学 2023-2024 年度上期高 2024 届十月月考
数学试题（理）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．若 ，则复数 在复平面上对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题 ，使 ，命题 关于直线
对
，下面结论正确的是
称
A．命题“ ”是真命题 B．命题“ ”是假命题
C．命题“ ”是真命题 D．命题“ ”是假命题
4．已知等比数列 的前 项和为 ，且数列 是等差数列，则
A．1或 B．2或 C．2或 D． 或
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
A． B． C． D．
6．已知函数 ，设 ，则 ， ， 的大小关系
为
A． B． C． D．
7．函数 的图象大致为
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
8．已知向量 ， ，则 的值是
A． B． C． D．
9．2025年四川省新高考将实行 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学
生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六
科中恰有四科相同的概率是
A． B． C． D．
10．已知动圆M恒过点
(1,0)
，且与直线
x=−1
相切，设圆心M的轨迹方程曲线 ，直线
与曲线 交于 ， 两点（点 在 轴上方），与直线
x=−1
交于点 ，若 ，
则
A． B． C． D．
11．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，设方程 的3个实根分别为 ，
且 ，则 的值可能为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．若 为偶函数，则实数 .
14. 圆 与圆 的公共弦长为 .
15．已知三棱锥 底面 是边长为 的等边三角形，平面 底面 ， ，
则三棱锥 的外接球的表面积为 .
16．已知过坐标原点的直线 与双曲线 相交于A，B两点，点 在第一象限，经
过点 且与直线 垂直的直线与双曲线 的另外一个交点为 ，点 在 轴上， ，点 为坐
标原点，且 ，则双曲线 的离心率 .
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17．（本小题满分12分）
设 为数列 的前 项和，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ， ，求数列 的前 项和 ．
18．（本小题满分12分）
为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体
质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作．为做好全省的迎检
工作，成都市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他
们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图．
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学科网（北京）股份有限公司（1）估计这200名学生健康指数的平均数 和样本方差 （同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数 近似服从正态分
布 ，其中 近似为样本平均 ， 近似为样本方差 ．
①求 ；②已知该市高三学生约有10000名，记体
质健康指数在区间 ， 的人数为 ，试求 ．附：参考
数据： ，
若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
19．（本小题满分12分）
如图，在几何体 中，平面四边形 是菱形，平面 平面
， ，且 ， ， ．
（1）证明：
（2）若二面角 是直二面角，求直线 与直线 所成角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
动圆C与圆M：
外切，与圆N： 内切.
（1）求动圆C的圆心C的的轨迹方程；
（2）直线 ： 与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点
Q，直线OP的斜率为 （O为坐标原点），若 ，判断 是否为定值？并说明
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学科网（北京）股份有限公司理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数 和函数 .
（1）求函数 的极值；
（2）设集合 ， (b为常数).
①证明：存在实数b，使得集合 中有且仅有3个元素；
②设 ， ，求证： .
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（本小题满分10分）
已知点 在曲线 上．
（1）求动点 的轨迹C的直角坐标方程；
（2）过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且 ，求直线l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（本小题满分10分）
已知任意 ，都有 .
（1）求实数 的取值范围；
（2） 若（1）问中 的最大值为 ，正数a，b，c满足 ，求证： .
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