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大港一中 2024 届高三年级第一次形成性检测
数学试卷
一､选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.
1. 已知全集 ，集合 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据补集的概念和运算可得 ，结合交集的概念和运算即可求解.
【详解】由 ，得 或 ，
所以 .
.
故选：C
2. 有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，则其75%分位数为（ ）
A. 68 B. 69 C. 70 D. 71
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义计算即可.
【详解】已知数据是按照从小到大的顺序排列，
因为 ，
所以75%分位数为第 个数据，即为 .
故选：C.
3. 是函数 在 单调递减的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】先化简函数 ，可得函数 的单调递减区间为 ，进而结
合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】 ，
显然函数 的单调递减区间为 ，
所以 时，函数 在 单调递减；
若函数 在单调递减，则 ，
所以 是函数 在 单调递减的充分不必要条件.
故选：A.
4. 函数 的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 的定义域为 且 ，
因为 ，所以 为奇函数，排除A，D，
当 时， ，B错误，
故选：C.
5. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 等于（ ）
A. 0.484 B. 0.439 C. 0.878 D. 0.939
【答案】B
【解析】
【分析】先根据 求解，再根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B.
6. 已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性和不等式的性质可得 ，进而得 ，结合对数的运算
性质可得 ，即可求解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，又 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 .
故选：A.
7. 为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关，某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了200
名高中生，依据独立性检验，经计算得到 ，参照下表，得到的正确结论是（ ）
P（ ≥ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 有99%的高中生爱好该项运动
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】C
【解析】
【分析】比较观测值与参照值大小，根据独立检验的基本思想确定结论即可.
【详解】由 ，即在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性
别有关”.
故选：C
8. 在 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有 的人患了流感．假设这三个地区的人
口数的比为 ，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.
【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，
故这个人患流感的概率为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：D
9. 设函数 ，其中向量 ， ， ，则下列选项错误
的是（ ）
A. 直线 是函数 的一条对称轴
B. 点 是函数 的一个对称中心
C. 在区间 上单调递增
D. 图象上所有点的横坐标向左平移 个单位长度得到的函数是偶函数
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简函数 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正
弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.
【详解】由已知可得 ，
对于A选项，因为 ，
所以，直线 是函数 的一条对称轴，A对；
对于B选项，因为 ，故点 是函数 的一个对称中心，B对；
对于C选项，当 时， ，
此时，函数 在区间 上不单调，C错；
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学科网（北京）股份有限公司对于D选项， 图象上所有点的横坐标向左平移 个单位长度得到的函数
的图象，该函数为偶函数，D对.
故选：C.
10. 设实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等，
所以 的最小值为 .
故选：B.
11. 已知函数 有最大值，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由当 时， ，根据 时，函数值的范围不超过 列不等式求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为当 时， ，
要使 有最大值，则 时，函数值的范围不超过
可得
解得 .
故选：A.
12. 已知函数 （其中a∈R），若 的四个零点从小到大依次为
，则 的值是（ ）
A. 16 B. 13 C. 12 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点的定义，通过转化法、数形结合思想进行求解即可.
【详解】令 ，
设 ，图象如下图所示：
所以有 ，
且 ，
因此可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故选：C
二､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
13. 是虚数单位，计算 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘、除法运算可得 ，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】 ，
.
故答案为： .
14. 的展开式中， 的系数为__________．
【答案】
【解析】
【详解】 ,由 得 ,所以 的系数为
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出
值，最后求出其参数.
15. __________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由对数的运算性质求解即可.
【详解】原式
.
故答案为： .
16. 小明上学途中共有4个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为 ，记某次小明上学途中遇到红灯的
次数为 ，则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为__________， __________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】结合题设有 ，再应用二项分布的期望公式求 .
【详解】由题设，小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为： ，
又 ，由二项分布期望的求法可得 .
故答案为： ； .
17. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研
与模拟，得到研发投入 （亿元）与产品收益 （亿元）的数据统计如下表：
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学科网（北京）股份有限公司研发投入 （亿元） 1 2 3 4 5
产品收益 （亿
3 7 9 10 11
元）
用最小二乘法求得 关于 的经验回归直线方程是 ，当研发投入 亿元时，相应的产品收益
估计值为__________.
【答案】 亿元
【解析】
【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出 的值，可得出回归直线方程，再将 代入回
归直线方程，可得结果.
【详解】由表格中的数据可得 ， ，
将样本中心点 代入回归直线方程可得 ，解得 ，
所以，回归直线方程为 ，
当 时， （亿元），
因此，当研发投入 亿元时，相应的产品收益估计值为 亿元.
故答案为： 亿元.
18. 某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽
取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在至少有一名
女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设 表示事件“恰有一名女生参加学习”， 表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”，设
表示事件“都是女生参加劳动学习”,结合组合数公式和条件概率公式，可分别求得.
【详解】设 表示事件“恰有一名女生参加学习”， 表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”，设
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学科网（北京）股份有限公司表示事件“都是女生参加劳动学习”，
则
所以
故答案为： ； .
19. 设函数 （A， ， 是常数， ， ）．若 在区间 上具
有单调性，且 ，则 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数 在区间 上具有单调性可得 ；再根据
可知其图象的一条对称轴为 ，和其相邻的一个对称中心为 ，即可求得 .
【详解】由函数 在区间 上具有单调性可知
，解得 ；
又 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 关于直线 对称，
由 可得函数 的一个对称中心为 ，
即其图象关于 成中心对称；
所以 ，解得 .
故答案为：2
20. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 中 ， ， 点 分 别 在 边
上，且 ，若 点为 的中点，且满足 ，则
________；当 点在线段 上运动时， 的取值范围为________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】若 点为 的中点，根据平面向量的加减法的三角形法则表示 ，从而可求
解 ，进而可求得 ；当 点在线段 上运动时，设 ，利用 ， 表
示出 和 ，再表示出 ，根据 的范围，即可得出结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】若 点为 的中点，则
.
所以 ，则 ；
当 点在线段 上运动时，设 ，
，
又 ，
，
又 ，则 ，
.
故答案为： ；
三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
21. 已知 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）当 是第四象限角时，求 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件求出 ，再结合差角的正切公式，即可求解.
（2）利用诱导公式化简式子即可求解.
（3）由（1）知， ，结合 是第四象限角可求出 的值，再利用和角的余弦公式，即可
求解.
【小问1详解】
若 ，则 ，显然不满足 ，
∴ 则 ，
∴ 则 ，
∴ .
【小问2详解】
由（1）知 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ .
【小问3详解】
由（1）知 ，
又∵ 是第四象限角，
∴ 解得 ，
∴ .
22. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求边长 及 的面积.
（3）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据正弦定理和二倍角的正弦公式化简计算即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1），根据余弦定理求出c，利用同角三角函数的关系求出sinA，结合三角形的面积公式计算即
可求解；
（3）由（1）（2）和二倍角的正、余弦公式求出cos2B、sin2B，结合两角差的正弦公式计算即可求解.
【小问1详解】
，由正弦定理得 ，则 ，
由 ，得 ，
又 ，所以 ；
【小问2详解】
由 ，得 ，由（1）知 ，
又 ，得 ，
即 ，由 解得 ；
又 ，
所以 ；
【小问3详解】
由（1）（2）知 ， ，则 ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司23. 已知函数 （其中 ）.
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）当 时，求出 、 的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
的
（2）分 、 两种情况讨论，分析导数 符号变化，由此可得出函数 的增区间和减区间；
（3）由参变量分离法可得 ，利用导数求出函数 的最大值，即可求得实数 的取值
范围.
【小问1详解】
解：当 时， ，则 ，所以， ， ，
所以，当 时， 在 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
解：函数 的定义域为 ， .
当 时，对任意的 ， ，此时函数 的增区间为 ，无减区间；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的增区间为 ，无减区间；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
【小问3详解】
解：由 可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 ，
所以， ，则 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 .
24. 已知函数 ， .
（1）证明：对任意 ， ；
（2）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围；
（3） 是 的导函数，若函数 ，证明： ，
.
【答案】（1）证明见解析
（2）
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学科网（北京）股份有限公司（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）令 ，利用导数证明出 ，即可证得结论成立；
（2）由题意可知， 在 上恒成立，结合参变量分离可求得实数 的取值范围；
（3）先证明出 ，然后再证 ，结合不等式的基本性质可证得原不等式成
立.
【小问1详解】
证明：令 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，
所以， ，故对任意的 ， .
【小问2详解】
解：函数 在 上为减函数，
故 在 上恒成立，
因为 ， ，
当 时， ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
因为 ，当 时，即当 时， ，
当 时，即当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以， ，则 ，则 ，
所以， .
【小问3详解】
证明： ，
令 ，其中 ，则 且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，所以，当 时， ，即 ，
要证当 时， ，先证 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，即 ，
所以， ，故原不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
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学科网（北京）股份有限公司
