文档内容
山西省大同市 2024 届高三上学期第二次摸底（10 月）
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字
笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知 为虚数单位，若复数 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
的
3. 命题 所有 偶数都不是素数，则 是（ ）
A. 所有的偶数都是素数 B. 所有的奇数都是素数
C. 有一个偶数不是素数 D. 有一个偶数是素数
4. 下列函数中最小值为6的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件
能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工
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学科网（北京）股份有限公司作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（ ）
A. 0.19738 B. 0.00018 C. 0.01092 D. 0.09828
6. 已知数列 满足 ，则 （ ）
A. 2023 B. 2024 C. 2027 D. 4046
7. 设函数 ，则使得 成立的x的取值范围是（ ）
A. B.
.
C D.
8. 已知点 是抛物线 的焦点， ，过 斜率为1的直线交抛物线于M，N两点，
且 ，若Q是抛物线上任意一点，且 ，则 的最小值是（
）
A. 0 B. C. D. 1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知向量 ，则（ ）
A. B.
C. D. 向量 在向量 方向上的投影向量互为相反向
量
10. 下列选项中，满足 的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
11. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（
）
A.
B. 是函数 的一个递减区间
C. 是函数 图象的一条对称轴
D. 函数 在区间 上的最大值是
12. 定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A.
B. 若 ，则 为 的极值点
C. 若 ，则 为 的极值点
D. 若 ，则 在 上单调递增
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若 ，则 __________.
14. 曲线 的一条切线的斜率为1，则该切线与坐标轴围成的三角形的面积为__________.
15. 已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ，离心率分别为 ，且 ，若P是两条曲线
的一个交点，则 __________.
16. 已知函数 满足 ，则 __________，若 ，则m的取值范围
是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量 ，函数
.
（1）求使 成立的x的集合；
（2）若先将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到
函数 的图象，求 在区间 内的所有零点之和.
18. 在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，从条件①、条件②中选一个作为已知
条件①： ；条件②： .
（1）求角 ；
（2）当 时，求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分
19. 如图，在三棱柱 中，侧面 是边长为2的菱形， 平面
， 为线段 的中点， 与平面 所成的角为 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
20. 已知等差数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实数
的取值范围.
21. 已知函数 定的义域为D，如果存在 ，使得 ，则称 为 的一阶不动点；如果
存在 ，使得 ，且 ，则称 为 的二阶周期点.
（1）函数 是否存在一阶不动点与二阶周期点？
（2）若函数 存在一阶不动点，不存在二阶周期点，求实数a 的取值范围.
22. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 存在极值点，其极大值点为 ，最大的零点为 ，判断 与 的大小关系，并证明.
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