文档内容
专题 20 数列的通项公式及数列求和大题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 等差数
1.掌握数列的有关概念和表示方
2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国
列的通项公式
法，能利用与的关系以及递推关
新Ⅱ卷、2019·全国卷、2018·全国卷、2016·全
及前n项和
系求数列的通项公式，理解数列
国卷
（10年5考） 是一种特殊的函数,能利用数列的
考点2 等比数 周期性、单调性解决简单的问题
列的通项公式 2020·全国卷、2019·全国卷 该内容是新高考卷的必考内容，
及前n项和 2018·全国卷、2017·全国卷 常考查利用与关系求通项或项及
（10年4考） 通项公式构造的相关应用，需综
考点3 等差等 2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷、2019·北京卷 合复习
比综合 2017·北京卷、2017·全国卷、2016·北京卷
（10年6考） 2015·天津卷
2.理解等差数列的概念，掌握等差
数列的通项公式与前n项和公式，
2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·全国甲
能在具体的问题情境中识别数列
卷
的等差关系并能用等差数列的有
2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·天津
关知识解决相应的问题，熟练掌
考点4 数列通 卷
握等差数列通项公式与前n项和的
项公式的构造 2021·浙江卷、2021·全国乙卷、2021·全国卷
性质，该内容是新高考卷的必考
（10年9考） 2020·全国卷、2019·全国卷、2018·全国卷
内容，一般给出数列为等差数
2016·山东卷、2016·天津卷、2016·天津卷
列，或通过构造为等差数列，求
2016·全国卷、2016·全国卷、2016·全国卷
通项公式及前n项和，需综合复习
2015·重庆卷、2015·全国卷
2024·天津卷、2024·全国甲卷、2024·全国甲卷
3.掌握等比数列的通项公式与前n
2023·全国甲卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·天津
项和公式，能在具体的问题情境
考点5 数列求 卷
中识别数列的等比关系并能用等
和 2020·天津卷、2020·全国卷、2020·全国卷
比数列的有关知识解决相应的问
（10年10 2019·天津卷、2019·天津卷、2018·天津卷
题，熟练掌握等比数列通项公式
考） 2017·天津卷、2017·山东卷、2016·浙江卷
与前n项和的性质，该内容是新高
2016·山东卷、2016·天津卷、2016·北京卷
考卷的必考内容，一般给出数列
2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·天津卷
为等比数列，或通过构造为等比2015·天津卷、2015·山东卷、2015·山东卷
2015·湖北卷、2015·安徽卷
2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·浙
考点6 数列中 江卷
的不等式、最 2021·全国乙卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷
值及范围问题 2017·北京卷、2016·浙江卷、2016·天津卷
（10年几考） 2015·重庆卷、2015·浙江卷、2015·四川卷 数列，求通项公式及前n项和。需
2015·上海卷、2015·安徽卷 综合复习
考点7 数列与 2024·上海卷、2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新
其他知识点的 Ⅰ卷、2019·全国卷、2017·浙江卷、2015·陕西 4.熟练掌握裂项相消求和和、错位
关联问题 卷 相减求和、分组及并项求和，该
（10年5考） 2015·湖南卷 内容是新高考卷的常考内容，常
考结合不等式、最值及范围考
考点01 等差数列的通项公式及前n项和
1．（2023·全国乙卷·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为数
列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
4．（2019·全国·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S=－a．
9 5
（1）若a=4，求{an}的通项公式；
3
（2）若a>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
1
5．（2018·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；（2）求 ，并求 的最小值．
6．（2016·全国·高考真题）等差数列{ }中， .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ） 设 ，求数列 的前10项和，其中 表示不超过 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
考点02 等比数列的通项公式及前n项和
1．（2020·全国·高考真题）设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log an}的前n项和．若 ，求m．
3
2．（2019·全国·高考真题）已知 是各项均为正数的等比数列， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和.
3．（2018·全国·高考真题）等比数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
4．（2017·全国·高考真题）记S 为等比数列 的前n项和，已知S =2，S =-6.
n 2 3
（1）求 的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn ，Sn，Sn 是否成等差数列
+1 +2 ．
考点03 等差等比综合
1．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
2．（2020·全国·高考真题）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
3．（2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a=–10，且a+10，a+8，a+6成等比数列．
1 2 3 4
（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
4．（2017·北京·高考真题）已知等差数列 和等比数列 满足a =b =1,a +a =10,b b =a ．
1 1 2 4 2 4 5
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求和： ．
5．（2017·全国·高考真题）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，且 ，
， .
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求 .
6．（2016·北京·高考真题）已知{a }是等差数列，{b }是等比数列，且b =3，b =9，a =b ，a =b ．
n n 2 3 1 1 14 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设c =a +b ，求数列{c }的通项公式．
n n n n
7．（2015·天津·高考真题）已知 是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且 ，
， .
(Ⅰ)求 和 的通项公式；
(Ⅱ)设 ， ，求数列 的前 项和.
考点04 数列通项公式的构造
1．（2024·全国甲卷·高考真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
4．（2022·全国甲卷·高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
6．（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比
数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
7．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
8．（2021·全国乙卷·高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
9．（2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，
证明： 是等差数列.
10．（2020·全国·高考真题）设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
11．（2019·全国·高考真题）已知数列{an}和{bn}满足a=1，b=0， ，
1 1.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
12．（2018·全国·高考真题）已知数列 满足 ， ，设 ．
（1）求 ；
（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 的通项公式．
13．（2016·山东·高考真题）已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 .求数列 的前n项和 .
14．（2016·天津·高考真题）已知 是各项均为正数的等差数列，公差为 ，对任意的 是
和 的等比中项.
（Ⅰ）设 ，求证： 是等差数列；
（Ⅱ）设 ，求证：
15．（2016·天津·高考真题）已知 是等比数列，前n项和为 ，且 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的 是 和 的等差中项，求数列 的前2n项和.
16．（2016·全国·高考真题）已知数列 的前n项和 ，其中 ．
（Ⅰ）证明 是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求 ．
17．（2016·全国·高考真题）已知各项都为正数的数列 满足 ， .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的通项公式.
18．（2016·全国·高考真题）已知 是公差为3的等差数列，数列 满足
．（Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 的前n项和．
19．（2015·重庆·高考真题）在数列 中，
（1）若 求数列 的通项公式；
（2）若 证明：
20．（2015·全国·高考真题） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和.
考点05 数列求和
1．（2024·天津·高考真题）已知数列 是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若 ．
(1)求数列 前 项和 ；
(2)设 ， ．
（ⅰ）当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；(2)求数列 的前n项和 ．
5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
6．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
7．（2020·天津·高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
8．（2020·全国·高考真题）设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
9．（2020·全国·高考真题）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
10．（2019·天津·高考真题） 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ，
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；（Ⅱ）设数列 满足 求 .
11．（2019·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
12．（2018·天津·高考真题）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于
0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b=1，b=b+2，b=a+a，b=a+2a．
1 3 2 4 3 5 5 4 6
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T+T+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
1 2
13．（2017·天津·高考真题）已知 为等差数列，前n项和为 ， 是首项为2的等比数列，
且公比大于0，
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
14．（2017·山东·高考真题）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 .
(I)求数列{an}通项公式；
(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知 ,求数列 的前n项和 .
15．（2016·浙江·高考真题）设数列{ }的前 项和为 .已知 =4， =2 +1， .
（Ⅰ）求通项公式 ；
（Ⅱ）求数列{| |}的前 项和.
16．（2016·山东·高考真题）已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 .求数列 的前n项和 .
17．（2016·天津·高考真题）已知 是等比数列，前n项和为 ，且 .（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的 是 和 的等差中项，求数列 的前2n项和.
18．（2016·北京·高考真题）已知{a }是等差数列，{b }是等比数列，且b =3，b =9，a =b ，a =b ．
n n 2 3 1 1 14 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设c =a +b ，求数列{c }的通项公式．
n n n n
19．（2015·浙江·高考真题）已知数列 和 满足，
（1）求 与 ；
（2）记数列 的前 项和为 ，求 .
20．（2015·全国·高考真题） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和.
21．（2015·天津·高考真题）已知 是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且 ，
， .
(Ⅰ)求 和 的通项公式；
(Ⅱ)设 ， ，求数列 的前 项和.
22．（2015·天津·高考真题）已知数列 满足 ，且
成等差数列.
（Ⅰ）求 的值和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和.
23．（2015·山东·高考真题）已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
24．（2015·山东·高考真题）设数列 的前n项和为 .已知 .
（Ⅰ）求 的通项公式；（Ⅱ）若数列 满足 ，求 的前n项和 .
25．（2015·湖北·高考真题）设等差数列 的公差为d，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ．已知
， ， ， ．
26．（2015·安徽·高考真题）已知数列 是递增的等比数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 为数列 的前n项和， ，求数列 的前n项和 ．
考点06 数列中的不等式、最值及范围问题
1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
3．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
4．（2021·全国乙卷·高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．5．（2020·浙江·高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中， ．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．
6．（2019·浙江·高考真题）设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
7．（2017·北京·高考真题）已知等差数列 和等比数列 满足a =b =1,a +a =10,b b =a ．
1 1 2 4 2 4 5
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求和： ．
8．（2016·浙江·高考真题）设数列 满足 ， ．
（Ⅰ）证明： ， ；
（Ⅱ）若 ， ，证明： ， ．
9．（2016·天津·高考真题）已知 是各项均为正数的等差数列，公差为 ，对任意的 是 和
的等比中项.
（Ⅰ）设 ，求证： 是等差数列；
（Ⅱ）设 ，求证：
10．（2015·重庆·高考真题）在数列 中，
（1）若 求数列 的通项公式；
（2）若 证明：
11．（2015·浙江·高考真题）已知数列 满足 = 且 = - （ ）.
（1）证明：1 （ ）；（2）设数列 的前 项和为 ，证明 （ ）.
12．（2015·四川·高考真题）设数列 的前 项和 ，且 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 前 项和 ，求使 成立的 的最小值．
13．（2015·上海·高考真题）已知数列 与 满足 ， .
（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；
（2）设 的第 项是最大项，即 （ ），求证：数列 的第 项是最大项；
（3）设 ， （ ），求 的取值范围，使得 有最大值 与最小值 ，且
.
14．（2015·安徽·高考真题）设 ， 是曲线 在点 处的切线与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，证明 .
考点07 数列与其他知识点的关联问题
1．（2024·上海·高考真题）若 ．
(1) 过 ，求 的解集；
(2)存在 使得 成等差数列，求 的取值范围．
2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，
．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令
为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续
投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
4．（2019·全国·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此
进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施
以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一
种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于
每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白
鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、
乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ，
， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
5．（2017·浙江·高考真题）已知数列 满足： ，
证明：当 时，
（I） ；
（II） ；
（III） .
6．（2015·陕西·高考真题）设 是等比数列 ， ， ， ， 的各项和，其中 ， ， ．
（Ⅰ）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 ），且 ；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 ，比较
与 的大小，并加以证明．
7．（2015·湖南·高考真题）已知 ，函数 ，记 为 的从小到大的第个极值点，证明：
（1）数列 是等比数列
（2）若 ，则对一切 ， 恒成立.
