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2025—2026 学年度东北育才学校高中
高三年级第一次模拟考试数学科试卷
考试时长：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是
符合题意的．
1.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知 ，则 有（ ）
A.最大值0 B.最小值0 C.最大值－4 D.最小值－4
4.已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 在 处有极小值，则 的值为（ ）
A.2 B.6 C.2或6 D. 或6
6.已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知等差数列 中， ，则数列 的前2026项的
和为（ ）
A.1013 B.1014 C.2026 D.2028
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学科网（北京）股份有限公司8.已知函数 ，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项
是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9.已知 是公比q的正项等比数列 的前n项和，若 ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A. B.数列 是等比数列
C. D.数列 是公差为2的等差数列
10.下列说法中正确的是（ ）
A.从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是
B.已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则
C.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D.已知随机事件 满足 ，则
11.设函数 的定义域为R，且满足 ， 为奇函数，则下列说法正确
的是（ ）
A. 为偶函数 B. 关于点 对称
C. D. 的导函数 的周期为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分．
12.已知 ，且 ，则 .
13.将3个不同小球随机放入4个不同盒子中，记小球最多的盒子里小球数目为 ，则
.
14.已知 ，函数 ， ．则 的值域为
；
记函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，若 ，则 的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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学科网（北京）股份有限公司15.（本小题满分13分）
已知数列 的前n项和为 ，满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，且数列 的前n项和为 ，求证： ．
16.（本小题满分15分）
已知函数 是定义域为 的奇函数， .
（1）求 的值；
（2）用定义法证明 的单调性；
（3）当 时， 恒成立，求实数k的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知函数 .
（1）当 时，求 的极大值；
（2）若 在 内有最小值，且最小值大于 ，求 的取值范围.
18.（本小题满分17分）
近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各
个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号
召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积 （单位：
1 2 3 4 5
亩）
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学科网（北京）股份有限公司管理时间 （单位：月） 8 10 13 25 24
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 150 50
女性村民 50
（1）求出相关系数 （结果精确到0.1），并判断管理时间 与土地使用面积 是否线性相
关？
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3
人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X,求 的分布列及数学期望．
参考公式：
； 其中
．
临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考数据：
19.（本小题满分17分）
已知函数 ．
（1）当 时， 在点 处的切线方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（3） ，使 ，证明： ．
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