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2025—2026 学年度东北育才学校高中
高三年级第一次模拟考试数学科答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的备选答案中，只
有一个是符合题意的．
1. B 2.A 3.C 4. B 5. A 6. D 7. C 8．A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多
个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9. ABC 10. BD 11．BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．
12. 64 13. 14. ；1（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题
15. 解：【小问1详解】
由 ，则 （n≥2）， ......2分
两式左右分别相减得 ，即 ．
得 ， ......4分
则 ， ，…， ， ，
将以上 个式子相乘得 ． ......6分
上式对 仍成立，所以 ． ......7分
【小问2详解】
， ......10分
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司故命题得证． ......13分
16. 解：【小问1详解】
因为函数 是定义域为 的奇函数，
所以 ，得 ， ......2分
又 ，即 ，得 ，......4分
则 ，经检验符合题意. ......5分
【小问2详解】 是 上的减函数.
证明：
函数的定义域 ，在 上任取x ，x ，且x −x <0，
1 2 1 2
，即 是 上的减函数. ......10分
【小问3详解】
由 在 时恒成立，
因为 是单调递减的奇函数.
所以 ，即 在 时恒成立，......12分
所以 ，
又 ，当且仅当 时等号成立
学科网（北京）股份有限公司所以 . ......15分
17. 解：【小问1详解】
当a=2时，f (x)=(x−1)ex−x2，
f'(x)=ex+(x−1)ex−2x=xex−2x=x(ex−2)，
令f'(x)=0，解得x=0或x=ln2， ......2分
当x<0或x>ln2，f'(x)>0，函数f (x)单调递增；
当0<x<ln2时，f'(x)<0，函数f (x)单调递减， ......4分
所以当x=0时，f (x)的极大值为f (0)=(0−1)e0−02=−1. ......6分
【小问2详解】
1
f (x)=(x−1)ex− ax2 ，f'(x)=xex−ax=x(ex−a)，
2
当 时，x∈(0,+∞)，f'(x)>0，f (x)单调递增，无最小值，不符题意；
......8分
当a>0时，令f'(x)=x(ex−a)=0，则x=0或x=lna，
当0<a≤1时，x∈(0,+∞)，f'(x)>0，所以f (x)单调递增，无最小值，
......10分
当a>1时，当0<x<lna，f'(x)<0，当x>lna，f'(x)>0，
所以f (x)在(0,lna)单调递减，在(lna,+∞)上单调递减，
1 [ 1 ]
f (x)有最小值为f (lna)=(lna−1)elna− a(lna) 2=a lna−1− (lna) 2 ，......12分
2 2
[ 1 ] 1
所以a lna−1− (lna) 2 >−a，即lna−1− (lna) 2>−1，
2 2
1
化简得− (lna) 2+lna>0，即lna(2−lna)>0，
2
解得0<lna<2，即1<a<e2. ......15分
18. 解：【小问1详解】
学科网（北京）股份有限公司依题意：
故
则 ，
故管理时间 与土地使用面积 线性相关． ......5分
【小问2详解】
依题意，完善表格如下：
愿意参与管理 不愿意参与管理 总计
男性村民 150 50 200
女性村民 50 50 100
总计 200 100 300
......7分
......9分
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． ......10分
【小问3详解】
依题意， 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到
不愿意参与管理的男性村民的概率为 ， ......11分
学科网（北京）股份有限公司故
故 的分布列为
X 0 1 2 3
P
......15分
则数学期望为
（或由 ，得 ......17分
19. 解：【小问1详解】
当 时，
因为 ，所以 在 处的切线方程为 ．
......4分
【小问2详解】
当 时， 恒成立，即 恒成立，
设 ，
要使得当 时， 恒成立，则 ，即 ． ......6分
下面验证 的充分性
当 时，
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，
设 ，则
当 时， ，所以 单调递增，即 ，
所以 单调递增，即 ，所以当 时， ，充分性得证
所以 的取值范围为 ． ......10分
【小问3详解】
即
不妨设
由（2）知 时， ，即
所以 时， ．
所以 时， ，即 ．
因为
所以 ，
即 ，
所以 ． ......17分
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