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2025—2026 学年度东北育才学校高中
高三年级第一次模拟考试数学科答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的备选答案中，只
有一个是符合题意的．
1. B 2.A 3.C 4. B 5. A 6. D 7. C 8．A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多
个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9. ABC 10. BD 11．BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．
12. 64 13. 14. ；1（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题
15. 解：【小问1详解】
由 ，则 （n≥2）， ......2分
两式左右分别相减得 ，即 ．
得 ， ......4分
则 ， ，…， ， ，
将以上 个式子相乘得 ． ......6分
上式对 仍成立，所以 ． ......7分
【小问2详解】
， ......10分
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司故命题得证． ......13分
16. 解：【小问1详解】
因为函数 是定义域为 的奇函数，
所以 ，得 ， ......2分
又 ，即 ，得 ，......4分
则 ，经检验符合题意. ......5分
【小问2详解】 是 上的减函数.
证明：
函数的定义域 ，在 上任取x ，x ，且x −x <0，
1 2 1 2
，即 是 上的减函数. ......10分
【小问3详解】
由 在 时恒成立，
因为 是单调递减的奇函数.
所以 ，即 在 时恒成立，......12分
所以 ，
又 ，当且仅当 时等号成立
学科网（北京）股份有限公司所以 . ......15分
17. 解：【小问1详解】
当a=2时，f (x)=(x−1)ex−x2，
f'(x)=ex+(x−1)ex−2x=xex−2x=x(ex−2)，
令f'(x)=0，解得x=0或x=ln2， ......2分
当x<0或x>ln2，f'(x)>0，函数f (x)单调递增；
当00，f (x)单调递增，无最小值，不符题意；
......8分
当a>0时，令f'(x)=x(ex−a)=0，则x=0或x=lna，
当00，所以f (x)单调递增，无最小值，
......10分
当a>1时，当0lna，f'(x)>0，
所以f (x)在(0,lna)单调递减，在(lna,+∞)上单调递减，
1 [ 1 ]
f (x)有最小值为f (lna)=(lna−1)elna− a(lna) 2=a lna−1− (lna) 2 ，......12分
2 2
[ 1 ] 1
所以a lna−1− (lna) 2 >−a，即lna−1− (lna) 2>−1，
2 2
1
化简得− (lna) 2+lna>0，即lna(2−lna)>0，
2
解得0
