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内蒙古赤峰市2025届高三下学期3·20模拟考试数学试题
一、单选题
1．如图，向量 对应的复数是 ，则 的值为（ ）
A．6 B． C．13 D．
2．已知集合 ，其中 表示不超过 的最大整数， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量 和 满足 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
4．已知锐角 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面内，两定点 、 之间的距离为 ，动点 满足 ，则点 轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．某学校有 两家餐厅，王同学第一天去 两个餐厅的概率分别是 和 ，如果第一天去 餐厅，那
么第二天去 餐厅的概率为 ；如果第一天去 餐厅，那么第二天去 餐厅的概率为 ，则王同学第二天去 餐厅的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，用一个与圆柱底面成 角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面，若 ，则椭圆
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．阅读材料：空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面 的方程为
，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面 与
的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则（ ）
A． B． 是公差为2的等差数列
C． D．
10．已知函数 ，则（ ）
A． 是周期为 的函数B． 与函数 是同一函数
C． 是 的一条对称轴
D． 在区间 上的取值范围是
11．数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线
（如图所示），则下列关于曲线 的说法正确的有（ ）
A．周长大于25
B．共有4条对称轴
C．围成的封闭图形面积小于14
D．围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1
三、填空题
12． 展开式的常数项为 .
13．锐角 中， 分别为角 所对的边，且 ，若 ，则 周长的取
值范围是 .
14．已知函数 在 上的最大值比最小值大 ，则 .
四、解答题
15．为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到
如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：身高 合计
性别
低于 不低于
女 20
男 50
合计 200
(1)根据身高的频率分布直方图，求列联表中的 ， 的值；
(2)依据小概率值 的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于 ”有
关联？
(3)将样本频率视为概率，在全市不低于 的学生中随机抽取6人，其中不低于 的人数记为 ，
求 的期望.
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个极值点，求 的取值范围.17．已知数列 中， .
(1)若 依次成等差数列，求 ；
(2)若 ，证明数列 为等比数列，并求数列 的前 项和 .
18．如图所示，三棱柱 中，平面 平面 ， ，
，点 为棱 的中点，动点 满足 .
(1)当 时，求证： ；
(2)若平面 与平面 所成角的正切值为 ，求 的值.
19．已知点 为圆 上任意一点，点 ，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，
设点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与曲线 相切，且与直线 分别交于点 .
（i）证明：点 为线段 的中点；
（ii）求 的取值范围.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B A C D B ACD AD
题号 11
答案 ABC
12．60
13．
14．1
15．（1）由图，低于 的学生有 人，则不低于170cm的学
生有 人.
从而 ， ；
（2）零假设为 ：性别与身高没有关联，
计算可得
根据 的独立性检验，推断 不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于170cm有关
联；
（3）样本中抽中不低于175cm的频数为 人
样本中抽中不低于175cm的频率为
将样本频率视为概率，在全市不低于170cm的学生中随机抽取6人，
其中不低于175cm的人数记为 ，则
.
16．（1）函数 的定义域为 ， ，
故 ， ，
所以， 在点 处切线方程为 ，即 .（2）函数 的定义域为 ，且 ，
有两个极值点等价于 有两个不等正根，
即 有两个不等正根，
设 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，所以 ，
如下图所示：
当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
设这两个交点的横坐标分别为 、 ，
由图可知，当 或 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以，函数 的增区间为 、 ，减区间为 ，
此时，函数 的极大值点为 ，极小值点为 ，
故当 时， 有两个极值点，综上， 的取值范围为 .
17．（1） ，
又 依次成等差数列，所以 ，
即 ，解得 .
（2）证明：因为 ，
且 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
可得 ，则 ，
.
18．（1）方法一：由 可得， ，
即 ，即 .
如图：
当 时，在 中， ， ， ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .又在平行四边形 中， ， ， 为 中点，所以 ，
， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
方法二：（向量方法）
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以过 作 于 ，则 平面
；
连接 ，因为 ，所以 .
在 中， ， ， .
所以 ，则 ，
.
，
当 时， .
.
所以 .
（2）如图，由（1）得： 两两垂直，故可以 为原点， 方向为 轴， 方向为 轴，
方向为 轴，建立如图所示坐标系.
平面 中， ， .，
设平面 的法向量为： ，
则 ,
令 ，则 ；
平面 中，由（1）可知， ，
设 ，因为 ， ，
所以 .
，
设平面 的法向量为 ，
则 ,
令 ，则 ；
由题意，设平面 与平面 所成角为 ，且 ，则 .
，解得 .
即平面 与平面 所成角的正切值为 时， 的值为 .
19．（1）为 的垂直平分线上一点，则 .
.
点 的轨迹为以 为焦点的双曲线，且
故点 的轨迹方程为 .
（2）
（i）设 ，
双曲线的渐近线方程为 ①， ②
当直线 的斜率存在时，设过点 且与 相切的直线 的方程为 ，
与双曲线联立
由 ，且 ，故可得 .由 ；
.
.
点 为线段 的中点.
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程是 ，根据双曲线的对称性可知，
此时直线 即是双曲线 的切线，同时满足点 为线段 的中点.
综上，点 为线段 的中点.
（ii）由（i）知， .
.
当且仅当 ，即 时取等号.
又 ，
的取值范围为 .
