文档内容
2026 年沈阳市高中三年级教学质量监测
数 学
(一)
命题：沈阳市第一二○中学 潘 戈
沈阳市第四中学 张大海
东北育才学校 徐滨滨
主审：沈阳市教育研究院 王孝宇
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时，将答案写在答题卡上，在
本 试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定的区域内。
2.第 1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净
后， 再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无
效。
3.考试结束后，考生将答题卡交回。
卷(选择题共 58 分)
第 I
一 、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要 求的。
1. 已知集合U={x|10) 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则抛物线准线方程为( )
A.x=-10 B. C.x=-5 D.
第 1 页共 4 页6. 若函数y=f(x) 是 y=aˣ(a>0 且a≠1) 的反函数，则函数y=f(2x-1)+3 图象必过定点( )
B.(1,4) D.(1,3)
7. 已知在圆x²+y²-4x+2y=0 内，过点E(1,0) 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD, 则四边形ABCD
的 面积为( )
A.3√5 B.6√5 C.2√ 15 D.4√ 15
8. 如果方程F(x,y)=0 能确定y 是 x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方
法 如下：在方程F(x,y)=0 中，把y 看成x 的函数y=y(x), 则方程可看成关于x 的恒等式F(x,y(x)=0,
在等式两边同时对x求导，然后解出y'(x)即可.例如，求由方程x²+y²=1 所确定的隐函数的导数y′,将
方
程x²+y²=1 的两边同时对x 求导，则2x+2y·y=0(y=y(x) 是中间变量，需要用复合函数的求导法
则),
得 ,那么曲线xy+Iny=2 在点(2,1)处的切线方程为( )
A.x-3y+1=0 B.x+3y-5=0 C.3x-y-5=0 D.2x+3y-7=0
二 、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列结论正确的是( )
A. 若x<1, 则函数 的最小值为3
B. 若 x+2y=3, 则2*+4的最小值为4 √ 2
C. 函 数 的最小值为3+2 √ 2
D. 若 x>0,y>0, 且 x+2y=2, 则xy 的最大值为
10. 已知事件A,B 满足P(A)=0.5,P(B)=0.2, 则下列结论正确的是( )
A. 若 B≤A, 则 P(AB)=0.5 B. 若 A 与 B 互斥，则P(A+B)=0.7
C. 若P(AB)=0.1, 则 A 与 B 相互独立 D. 若 A 与 B 相互独立，则P(AB)=0.9
11. 已知数列{aₙ}的前n项和为S, 若a₁=2,an+1-2an+ana₄+1=0, 则下列结论正确的是( )
B. 数 列 为等比数列
C.an+10, 二 项 式 的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常数项为
14. 已知球0内切于正四棱台(即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切),且该正四棱台的上、
下 底面棱长之比为1:2,则球0与该正四棱台的体积之比为
四 、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题满分13分)已知数列{a} 是公差为2的等差数列，其前8项和为64,数列{b} 是公比大于0
的等 比数列b₁=3,b₃-b₂=18.
(1)求数列{aₙ},{b} 的通项公式；
,求数列{c,} 的前n 项和Sn.
16. (本题满分15分)a=(2 √3cosx,-1),b=(sinx,cos 2x)且f(x)=a ·b
(1)求函数y=f(x) 的最小正周期；
(2)将函数y=f(x) 图象上所有的点向左平移 个单位后得到函数y=g(x) 的图象，当x∈[0, ,
求 函数y=g(x) 的值域；
(3)说明函数y=sinx 的图象经过怎样的变换能得到函数y=f(x) 的图象，写出一个变换过程.
17. (本题满分15分)如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是菱形，PD⊥ 平面
ABCD, PD=CD=BD=2,E 为PC 的中点.
(1)证明： PA| 平面BDE;
(2)求三棱锥P-BDE 的体积；
(3)在棱AP 上是否存在一点F, 使得二面角F-BD-E 正弦值为 ?若存在，求
出 AF的长；若不存在，请说明理由.
第3页共4页18. (本题满分17分)已知椭圆 (a>b>0) 的左右焦点分别为F 、F₂, 离心率 ,且过点
(1,
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l 、l 过右焦点F₂, 且它们的斜率乘积为 · , 设l、L₂ 分别与
椭圆 交于点C 、D 和E 、F. 若 M 、N 分别是线段CD 和EF 的中点；
(i) 直线MN 是否过定点?若是，求出定点坐标；若不是，请给出理
由. (ii) 求△OMN面积的最大值.
19. (本题满分17分)已知随机变量ξ的取值为非负整数，其分布列为：
ξ 0 1 2 … n
P Po P₁ P₂ … Pn
其中p₁∈[0,1], 且 由ξ生成的函数为
(1)若ξ生成的函数为 设事件A: 当ξ为奇数时，求P(A)的值；
(2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球(球的颜
色不 同，其他完全相同).若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为 .设随机变
量ξ生 成的函数为 其中p₁(i=1,2,3) 分别对应取到红球、蓝球、绿球的概率.
请判断D(ξ)与f(1)+f'(1)-[f'(1)]²的大小关系；(f"(x)=[f'(x)])
(3)已知方程x+y+z=9(x,y,z∈N), 用ξ表示一组解中最小的数，此时由ξ生成的函数记为
t(x), 令g(x)=t'(x),求g(x)的极小值点.
第4页共4页2026 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)
数 学
参考答案及评分标准
第 1 卷 ( 选 择 题 共 5 8 分 )
一 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要 求的 .
1 A 2 A 3 B 4 D 5 C 6 D 7 C 8 B
. . . . . . .
二 、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 .在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 .
全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分 .
9.BCD 10.BC 11.BCD
第 Ⅱ 卷 ( 非 选 择 题 共 9 2 分 )
三 、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 .
12.4 13.15
四 、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解：(1)数列{aₙ}是公差为2的等差数列，其前8项的和为 64,微信搜《高三答案公众号》获取全科
∴8a₁+28d=8a₁+56=64, 解 得a₁=1, … … … … … … … … … … … ………
2分
∴aₙ=2n-1; … … … … … … … … … … … … … … … …
4 分
数列{bₙ} 是公比q 大于0的等比数列， b₁=3,b₃-b₂=18,
∴3q²-3q=18, 解 得q=3, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ………
6分
∴bₙ=3”.… …………………………………………………………………………………………… ………………………………8
分
( 2 ) 由 ( 1 ) 得aₙ=2n-1,bₙ=3”,!
……………………………………………………………………9
分
,……………………………………………………………10
第1页共7页分 ∴由① - ②
………………………………………………………1 分
第1页共7页.... .... .... .. . ………… ………………………………………………12
分
.…………………… …………
…………………………………………… ……… ………………………13
分
,……………… ……… …3
分 所以f(x) 的最小正周期 …… ……………………………………… ……………… …
…………5分
(2)由题意可得， ,…………………… …………… … 6
分 已知 ,则2x∈[0,π], 那么 .
……………………………………………………… …7分 当 , 即 时， 取得
最大值1,此时g(x) 取得最大值2×1=2. …………………8分 当 , 即 时，
取得最小值 ,此时g(x) 取得最小值 ………9分 所以，当 时，函
数g(x)的值域为[-1,2]. … …………… ……………… … 10分
……12分
再向右平 单位长度
…14分
……………………… ………………… …
…………
…15分
……………………………………………………………………………………
答案2: 1 2 分
………
……………………………………… …
……………………………………14分
………………………………………………………………
…………… ………………………………………………
……………15分
.
第2页共7页17.解：
(1)如图，连接AC, 交BD于点0,则0为AC的中点.连接OE,
第2页共7页因为E是PC的中点，所以0E//PA.
又 0F c平面BDE,PA 女平面BDE, 所以PA// 平面BDE. … … … … … … … … … … …
3分
……………………………………………………………………………………
……………………………………6
分
(3)存在点F, 使得二面角F-BD-E 的正弦值
因为底面ABCD是菱形，PD⊥ 底面ABCD,AC,BD C平面ABCD,
所以AC⊥BD,PD⊥AC,PD⊥BD, 故以0为坐标原点，分别以0A,OB 所在直线为x,y 轴，以过点0
且
平行于PD 的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标
系Oxyz.………………………………………………… ……………
……………………………………………………………………………8 分 则A(√3,0,0),B(0,1,0),c(-√3,0,0),D(0,-1,0),P(0,-1,2),1
, 故DB=(0,2,0),EB=
,AP=(-√3,-1,2).
设AF=λAP=(-√3λ,-λ,22),λ∈[0,1],
则F(- √3λ+ √3,-a,22),BF=(- √3λ+ √3,-λ-1,2λ).
设平面BDE的法向量为m=(x₁,y₁,Z₁),
则y₁=0, 令x₁=√3, .………………… …………………………………………1
分 设平面BDF的法向量为n=(x₂,y2,Z₂),
,即
则y₂=0, 令x₂=2√3λ 得z₂=3λ-3, 故n=(2√3A,0,3λ-3).
因为二面角F-BD-E
的正弦值
所以二面角F-BD-E
的余弦值的绝对值
第3页共7页第3页共7页化简得 63λ² -54λ+11=0,解得 .经检验都符合λ∈[0,1…………………………………………………………
14分 因为AP=√2²+2 ²=2 √2, 所以 ,或
…………………………………………………………15分
18. 解：因为椭圆 的离心率， 且过
点 可得微信搜《高三答案公众号》获取全科
………………………………………………………………………………………………2分
且c²=a²-b², 解得a²=2,b²=1,
所以椭圆的标准方程为 …………………………………………… ………………… ……………………4分
(2)(i) 由(1)知，椭圆 可得F₂ (1,0),
设直线l 的方程为y=k(x-1),l₂ 的方程为 且 C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),
联立方程组 整理得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0,
. 6分
所以 …...... ................
………………………………………………
..-..
因为M 为CD 的中点，所以.
, ………………………………………………………………………………………………………………7分
同理可得1 .….......... . …………………………………………………………………8分
直线MN 的方程为 即 ……………………………………10分
所以直线MN 过的定点为 …………………………………… ………………………………
第4页共7页……………………1分 注意：此题也可参考下面做法评分：
设l₁ :x=my+1, 且 C(x₁,y₁)D(x₂,y₂)
第4页共7页联立方程组 消去 x 得
(m²+2)y²+2my-1=0
由韦达定理得 -....... … ………………………………… … …………6
............-.….......
分
∵M 为 CD 中点
同理 ……… ………………………………………………………………………………………………………
……8分
直线MN 的方程为
令y=0 得
故MN 过定点 ……………………………………
…………………………………………………………………………………………11分
(ii) 由 MN 过的定点为
所以 …………… ………………………………………………………………………12
分
……………………………………………………………………………………………………… ……13分
………………………………… …………………………………………………………………………15分
当且仅当 时，即 时，等号成立，………………………………………………………………………………………
16分 所以△OMN 的面积最大值为 …………………………………………………………………………………
…………………17分
19 .解：(1)由ξ生成的函数为
第5页共7页所以
,……………………………… ……………………………………2
分
第5页共7页设事件A:ξ 为奇数时， ……………………………………………3
分
(2)相等；证明如下： p(i=1,2,3) 分别是取到红球、蓝球、绿球对应的概率，
故
即 p₁+P₂+P₃=1,
故 po=0,
所以ξ生成的函数为 ,
……………7
……………………… … …………………… …
分
………… ……………
故 …… ……… …………8分
………………………9
……………………………………………………
分
因为E(ξ)=p₁+2p₂+3p₃,f'(x)=P₁+2P₂x+3p₃x²,
所以E(ξ)=f'(1), 故 , ……………………… ……………………………………
10分
因为
所以 ,…… ………… ………………
11分 故 D(ξ)=f"(1)+f'(1)-[f'(1)}.
(3)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,
…… ……………… ……13
分
…………………… … … … … … … … … …
1 4 分
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
, …… ……………………………………………………………………………15
第6页共7页分
故 令g'(x)=0, 解 得x=-3, … … … … … …………………………
…………………………………16分
第6页共7页故x<-3 时 ，g(x)单调递减，x>-3 时 ，g(x)单调递增，
故x=-3 是g(x)的极小值点. ……………………………………………………………………………………………………………
17分 补充(3)详解如下：
已知x₁+x₂+x₃=9 有多少个非负整数解，所以x₁+1+x₂+1+x₃+1=12.
相当于把12个相同元素排成一排，从中放入两个隔板分成3组，不能有0项，
即C₁ 如：00/OO0/OO00000, 相当于x₁=1,x₂=2,x₃=6.
当ξ取0时，有1个0,即018,081,027,072,036,063,045,054,
先从3个位置选一个0,再从8种情况选1种，即C₃C8
有2个0,009,900,090,即C3
当ξ取1,有1个1,即126,162,135,153,144,先从3个位置选一个1,再从5种情况选1种，即
C₃C₅
有2个1,117,171,711,即C3
当ξ取2,有1个2,即234,243,342,324,423,432,先从3个位置选一个2,再从2种情况选1种，
即C₃C₂
有2个2,225,252,522,即
C₃ 当ξ取3,就333一种情况.
所以ξ的可能取值为0,1,2,3,具体答案同评分标准，以下略.
第7页共7页
