文档文本内容
北镇三高 2023～2024 学年度第一学期第二次月考
高三数学试卷
考试时间120分钟 试卷满分150分
※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得到集合 ，根据函数 的值域得到集合 ，然后求交集即可.
【详解】 ， ，则 .
故选：B.
.
2 设 ，则 （ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算和模长公式即可.
【详解】由题意可得 ，则 .
故选：A.
3. 函数 的大致图象为
第1页/共18页
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将函数表达式化为 ，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊
值得到最终结果.
【详解】因为 是奇函数排除 ，且当 时， .
故答案为A.
【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和
定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特
殊点，或者取极限.
4. 已知 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．
【详解】 都是实数，由“ ”有 成立，
第2页/共18页
学科网（北京）股份有限公司反之不成立，例如 .
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，.
故选：B
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关充分不必要条件的判断，在解题的过程中，关键点是要注意对数
式有意义的条件.
5. 下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D. y＝|x－ |
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数、复合函数、分段函数的单调性逐一判断.
【详解】对于A， ，因为 ，所以指数函数 在 单调递减，故
A选项错误；
对于B， ，因为 ，所以对数函数 在 单调递减，故B选项错误；
对于C， ，因为二次函数 在 上单调递增，所以函数
在 单调递增，故C选项正确；
对于D，由 ，可得函数 在 内上单调递减，在 内单调
递增，故D选项错误.
故选：C.
6. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
第3页/共18页
学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指对数的性质与中间数 比大小即可.
【详解】 ，
所以 .
故选：D.
7. 若 （ 且 ）在R上为增函数，则 的单调递增区间为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的单调性求出a的取值范围，再求出函数 的定义域，利用复合函数单调性求解作答.
【详解】 且 ，函数 与 在R上有相同的单调性，即函数 与函数 在R
上有相同的单调性，
因此函数 在R上单调递增， ，在 中， ，解得 或
，
显然函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的单调递增区间为 .
故选：B
8. 若 ，则（ ）
A. B.
第4页/共18页
学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】变形给定的不等式，构造函数并探讨单调性，借助单调性可得 ，再逐项判断作答.
【详解】不等式 ，令函数 ，
因为函数 在R上都是增函数，因此函数 是R上的增函数，
又 ，于是 ，即 ，
则 ，从而 ，A正确，B错误；
给定条件不能比较 与1的大小，当 时， ，CD错误.
故选：A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格.
成
60 65 70 75 80 85 90
绩
人
2 3 3 5 4 2 1
数
下列结论正确的是（ ）
A. 这20人成绩的众数为75
B. 这20人成绩的极差为30
C. 这20人成绩的 分位数为65
D. 这20人成绩的平均数为75
【答案】AB
【解析】
的
【分析】对于A，众数是出现次数最多 数；
对于B，极差是最大值减最小值；
对于C，根据百分位数的计算公式即可；
对于D，根据平均数的计算公式即可.
第5页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【详解】根据表格可知：
这20人成绩的众数为75，故A对；
极差为 故B对;
，所以 分位数为 ，故C错；
平均数为 .故D错
故选：AB
10. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. x∈R，2x>x2
B. ∀x∈R，x2－x＋1<0
C. ∃命题“ x∈R， n∈N*，使得n>x2”的否定形式是“ x∈R， n∈N*使得n≤x2”
∀ ∃ ∃ ∀
D. 方程 有两个正实数根的充要条件是
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接利用函数的性质，恒成立问题和存在性问题，命题的否定，一元二次方程的根和系数的关系
的应用判断A、B、C、D的结论.
【详解】对于A，当 或 时， ，故A选项错误；
对于B， 恒成立，故B选项错误；
对于C，“ ，使得 ”的否定形式是“ 使得 ”， 故C选项正
确；
对于D，方程 有两个正实数根的充要条件是 ，解得
，故D选项错误.
故选：ABD.
第6页/共18页
学科网（北京）股份有限公司11. 若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式 有解，则实数m的取值范围是错误的是（
）
A. m<－3或m> B. －3<m<
C. m≤－3或m≥ D. －3≤m≤
【答案】BCD
【解析】
【分析】使不等式 有解， 大于 的最小值，根据题意先利用基本不
等式求 的最小值，再解不等式求m的取值范围.
【详解】因为正实数x，y满足 ，所以 ，
则 = ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
因为不等式 有解，所以 ，
即 ， ，
解得 或 .
故选：BCD.
第7页/共18页
学科网（北京）股份有限公司12. 已知正实数x，y，z满足 ，则下列正确的选项有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】设 ，把指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断．
【详解】设 ，则 ， ， ，
所以 ．所以 ．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数 的图象在点 处的切线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数 的图象在点
处的切线方程.
【详解】 ，
，则 ，
又 ， 切点为 ，
函数 的图象在点 处的切线方程是 即 .
故答案为： .
14. 已知定义在 上的函数 为奇函数，且满足 .当 时， ，
第8页/共18页
学科网（北京）股份有限公司则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用周期性和奇偶性可把 转化到已知范围 上，代入表达式可求， ，
即可求出答案.
【详解】函数 为定义在 上的奇函数，所以 ，
，
所以 ，所以2为 的周期，
所以 ， ，
故答案为： .
15. 已知函数 ， 则使函数 有零点的实数 的取值范围是
____________
【答案】
【解析】
【分析】令 ，进而作出 的图象，然后通过数形结合求得
答案.
【详解】令 ，现作出 的图象，如图：
第9页/共18页
学科网（北京）股份有限公司于是，当 时，图象有交点，即函数 有零点.
故答案为： .
16. 若函数 在 上存在单调递减区间，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先对 求导，将问题转化为 在 上有解，即 在 上有解，
利用换元法与基本不等式求出 的最大值即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
则原问题等价于 在 上有解，即 在 上有解，即
在 上有解，
令 ，则 ， ，
第10页/共18页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数 在 时的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若函数 的定义域为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）3；（2） ， ．
【解析】
【分析】（1）直接利用基本不等式求出最小值，即可得到m；
（2）由定义域为R，建立不等式，分类讨论，求出a的范围即可.
【详解】解：（1） ， ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
；
的
（2）由（1）可知 定义域为 ，
不等式 的解集为 ，
① 时， 恒成立，满足题意；
第11页/共18页
学科网（北京）股份有限公司② 时， ，解得 ，
综上得， 的取值范围为 ， ．
18. 在 中，角 的对边分别是 ， ．
（1）求C；
（2）若 ， 的面积是 ，求 的周长．
【答案】（1） .
（2） .
【解析】
【分析】（1）将 化为 ，由余弦定理即可求得角C.
（2）根据三角形面积求得 ，再利用余弦定理求得 ，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意在 中， ，
即 ，故 ，
由于 ，所以 .
【小问2详解】
由题意 的面积是 ， ，即 ，
由 ， 得 ，
故 的周长为 .
第12页/共18页
学科网（北京）股份有限公司19. 已知公差不为零的等差数列 满足 ， ， 成等比数列， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 的前n项和为 ，求使 成立的最小正整数n．
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）设 的公差为 ，利用等差数列通项公式可构造方程组求得 ，由此可得 ；
（2）由等差数列求和公式可求得 ，由 可构造不等式组求得 的范围，由此可得结果.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 得： ，解得： ，
.
【小问2详解】
由（1）得： ，
若 ， ，即 ，
解得： 或 ；
成立的最小正整数 .
20. 新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提
高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的 名学
生，参加一次测试，数学学科成绩都在 内，按区间分组为 ， ， ，
第13页/共18页
学科网（北京）股份有限公司， ，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于 分（百分制）为优秀．
（1）求这 名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
（2）按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取 名学生座谈，再在这 名学生中，选 名学生发言，记
优秀学生发言的人数为随机变量 ，求 的分布列和期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定 名学生中优
秀学员的人数，由此可得 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得 每个取值对应的概率，
由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.
【小问1详解】
名学生的平均成绩为 .
【小问2详解】
根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为 ，则非优秀学员对应的频率为
，
抽取的 名学生中，有优秀学生 人，非优秀学生 人；
第14页/共18页
学科网（北京）股份有限公司则 所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
数学期望 .
21. 已知函数 ，其中 .
（1）若曲线 在 处的切线与直线 平行，求a的值；
（2）若函数 在定义域内单调递减，求a的取值范围.
【答案】（1）2（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，令 ，即可求得 的值；
（2）由题可知， 在 上恒成立，参变分离，利用导数求最值即可求解.
【详解】（1）由题可知 ，则 ，解得 ．
（2）∵ 在 上是减函数，
第15页/共18页
学科网（北京）股份有限公司∴ 对 恒成立，所以 ，
令 ，
则由 得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
故只需
故 的取值范围是 ．
【点睛】关键点点睛：函数在定义域上单调递减转化为函数导数在 上小于等于零恒成立，采用了
参变分离法，再构造函数，利用导数求出新函数的最值，其中转化的思想，参变量分离的方法，是解题的
关键，属于中档题．
22. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若存在 使 ，证明： ．
【答案】（1） 的单调增区间为 ，减区间为 .
（2）见解析
【解析】
第16页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）对 求导，令 和 ，即可求出函数 的单调区间；
（2）由题意分析要证 ，对不等式两边同时取对数换元可知即证 ，
对 求导，得到 的单调性即可证明.
【
小问1详解】
的定义域为 ，
，令 ，解得： .
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
所以 的单调增区间为 ，减区间为 .
【小问2详解】
若存在 使 ，
，
两式相减可得： ，得 ，
两式相加可得： ，得
所以 ，则 ，
欲证 ，两边同时取对数，即证 ，
第17页/共18页
学科网（北京）股份有限公司即证 ，即
而 ，，因为 ，令 ，
即证 ，
设 ，
故 在 上单调递增，所以 ，
故 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 .
第18页/共18页
学科网（北京）股份有限公司
