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绝密★启用前 6. 世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列 满足
2024-2025 学年度上学期 ，若其前 项和为 ，则 ( )
广东省三校“决胜高考，梦圆乙巳”
A. B. C. D.
7.已知向量 ， ，且 ，则向量 与 的夹角等于 ( )
第一次联合模拟考试
A. B. C. D.
参加学校：诺德安达学校、金石实验中学、英广实验学校
8.设函数 ，则( )
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A. 函数 无极值点 B. 为 的极小值点
注意事项:
C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.午饭时间； 同学从教室到食堂的路程 与时间 的函数关系如图，记 时刻的瞬时速度为 ，区间
2.回答选择题时，选出每小题答案后，请 2B 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
上的平均速度分别为 ，则下列判断正确的有( )
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个圆台的上、下底面的半径分别为 和 ，高为 ，则它的表面积为( )
A. B. C. D.
A.
2. 某校高一年级有 名学生，高二年级有 名学生，现用分层抽样的方法在这 名学生中抽取一个样本
B.
已知在高一年级中抽取了 名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为( )
C. 对于 ，存在 ，使得
A. B. C. D.
D. 整个过程小明行走的速度一直在加快
3.已知点 ， 分别是椭圆 的左焦点、右顶点， 满足 ，则椭圆的离
10.对于函数 ，下列说法正确的是( )
心率等于( )
A. 在 上单调递减，在 上单调递增
A. B. C. D.
B. 当 时，
4.由数字 ， ， ， ， 组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有( )
C. 若函数 有两个零点，则
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
D. 设 ，若对 ， ，使得 成立，则
5.已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， ，则 的解集为( )
11.已知 为坐标原点，焦点为 的抛物线 过点 ，过 且与 垂直的直线 与抛
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司物线 的另一交点为 ，则( ) 如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， 为 的中点， 为 中点， ，
A. ．
B.
C.
D. 直线 与抛物线 的准线相交于点
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数 存在唯一极值点，则实数 的取值范围是 ．
Ⅰ 求证： 平面 ；
13.在正方体 中，点 、 分别在 、 上，且 ， ，则异
Ⅱ 求 与平面 成角的正弦值；
面直线 与 所成角的余弦值为______．
Ⅲ 在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，请说明点 的位置，若不存在，请说明理
14.已知等差数列的公差 ，且 ， ， 成等比数列，则 的值为______．
由．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18. 本小题 分
15. 本小题 分
已知无穷数列 ，构造新数列 满足 ， 满足 ， ，
如图，在三棱锥 中， ， ， 为 中点．
满足 ，若 为常数数列，则称 为 阶等差数列 同理令
证明： 平面 ；
若点 在棱 上， ，且 ，求二面角 的大小．
， ， ， ，若 为常数数列，则称 为 阶等比数
列．
已知 为二阶等差数列，且 ， ， ，求 的通项公式
若 为阶等差数列， 为一阶等比数列，证明： 为阶等比数列
已知 ，令 的前 项和为 ， ，证明： ．
19. 本小题 分
16. 本小题 分
如果三个互不相同的函数 ， ， 在区间 上恒有 或
已知实数 满足 ．
，则称 为 与 在区间 上的
“
分割函数
”
．
证明： ；
证明：函数 为函数 与 在 上的分割函数；
证明： ．
若函数 为函数 与 在 上的 分割函数 ，求实数 的取值范
“ ”
17. 本小题 分 围；
若 ，且存在实数 ， ，使得函数 为函数 与 在区间
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学科网（北京）股份有限公司上的
“
分割函数
”
，求 的最大值．
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学科网（北京）股份有限公司4.【答案】
1.【答案】
【解析】试题分析：先排末位有 种不同的方法，然后再排前面 个位置有 种不同的方法， 由数字 ， ， ，
【解析】解：依题意结合圆台的上、下底面的半径分别为 和 ，圆台的高为 ，
， 组成没有重复数字的五位偶数有 ，故选B
所以圆台的母线长为 ，
考点：本题考查了排列的运用
则圆台的表面积为 ．
点评：对于有特殊元素的排列问题优先安排，然后再排其余元素，属基础题
故选： ．
5.【答案】
根据题意，结合圆台的侧面积公式，即可求解．
【解析】【分析】本题考查了函数的单调性与奇偶性，是中档题．
本题考查圆台的表面积的计算，属于基础题．
利用函数的单调性与奇偶性做出函数图象，然后按 的符号进行分类讨论．
2.【答案】
【解析】【分析】
【解答】解：由题意画出 的大致图象如图所示，
先算出总人数中高二与高一学生人数之比，再由抽取的样本中高二与高一学生人数之比不变求出高二应抽取人数．
【详解】解：在总人数中高二与高一学生人数之比为 ：
所以在抽取的样本中高二与高一学生人数之比仍为 ：
因为高一抽取了 人，所以高二应抽取 人
故选： ．
【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题．
3.【答案】
由 ，可得 或
【解析】解解：
结合 的图象得 或 ．
，即 ，整理得 即
故选C．
等号两边同时除以 得 ，即
6.【答案】
【解析】【分析】
求得
本题考查裂项相消法求和，属于基础题．
根据递推公式累加即可．
【解答】
故选B 解：因为 所以
累加得：
首先根据 推断出 ，进而根据勾股定理可知 ，把进而整理关于 和
的方程求得 即离心率 的值．
即 ．
本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生熟练掌握椭圆的标准方程中 ， 和 的关系以及椭圆的图象．
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学科网（北京）股份有限公司故选： ． 函数 在 上单调递增，
7.【答案】 函数 的单调递增区间为 ．
【解析】【分析】 函数 无极值点．
本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，属于基础题． 故选： ．
利用向量垂直则数量积为零，可求出 ，再由利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可． 9.【答案】
【解答】 【解析】【分析】
本题考查函数图象的实际应用，瞬时速度，平均速度，属于中档题．
解：因为 ， ，
可通过题意，分别表示出 ， ， ，再根据选项 A， 进行比大小，即可确定；选项C可根据图像，由曲线
所以 ，
与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断．
又 ，
【解答】
所以 ，
解：由题意可知； ， ， ，
则 ，
所以 ，
由图像可知 ， ，即 ，因此 ， ，
则 ，
所以 ，因此 ，此时 ，故 A正确；
，
由 ，故
由 ，故 B不正确；
由图像可知，直线与曲线的交点为 ，故存在 ，使得 ，即当 时， ，
，
故 C正确；
又 ，
时刻的瞬时速度为 判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，
所以 ．
由图象可知，当 时，切线方程的斜率最大，
故选： ．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查．熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．
首先求出函数的导函数 ，求得其单调区间，然后求极值．
故而在此时，速度最快，故D不正确．
【解答】
故选： ．
解： ，
10.【答案】
，
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学科网（北京）股份有限公司【解析】解：对于 选项， 的定义域为 ，所以 选项错误；
11.【答案】
【解析】【分析】
对于 选项， ，当 时， ， 递减，
本题考查抛物线的标准方程和定义，考查抛物线中的弦长问题，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
由于 ，所以 ，
将点 代入抛物线方程可确定抛物线方程，可判断 ；由抛物线定义可求 ，可判断 ；求出直线 的
由于 ， ， ， 方程，与抛物线方程联立解得点 ，从而求出 ，可判断 ；易求出直线 与准线交点，可判断 ．
【解答】
所以由 两边乘以 得 ，所以 选项正确；
解：由抛物线 过点 ，
对于 选项，令 ， ，
可得 ，则 ，故 A正确；
由于 ，所以在区间 ， ， ， 递减，
抛物线 ，准线方程为 ，
在区间 ， ， 递增，
所以 ，故 B错误；
当 时， ，当 时， ， ，
由已知可得 ，
函数 的定义域为 ，
直线 与 垂直，且过 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
又 ，所以函数 为偶函数，
联立方程组
由此画出 的图象如图所示，
由图可知，当 或 时，直线 与 的图象有两个交点，
得 ，
即当 或 时，函数 有两个零点，所以 选项错误；
解得 或 ，故 ，
所以 ，故 C正确；
由直线 的方程 ，
令 ，得 ，
所以直线 与抛物线 的准线相交于点 ，故 D正确．
对于 选项，由上述分析可知， ，
则 ， ， ，
要使 对 ， ，使得 成立 ，
“ ”
则需 ，所以 选项正确．
故选： ．
故选： ．
根据函数的定义域即可判断 ；利用导数判断函数 在 上的单调性即可判断 ；求出函数 的单调
区间，作出函数 的图象，结合图象即可判断 ；结合 选项即可判断 ．
12.【答案】
本题考查导数的综合应用，化归转化思想，数形结合思想，属难题．
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学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】
【分析】本题考查利用导数根据极值或极值点求参，属于中档题．
由 ，可得出 ，可知直线 与函数 的图象有一个交点 非切点 ，
利用导数分析函数 的单调性与极值，数形结合可得出实数 的取值范围．
【解答】
解： ，则 ，
则 ， ， ， ，
若函数 存在唯一极值点，
， ，
则 在 上有唯一的根，
设异面直线 与 所成角为 ，
所以由 可得 ，则 有唯一的根，
则 ．
直线 与函数 的图象有一个交点 非切点 ，
又 ， 异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故答案为： ．
所以，函数 的极大值为 ，且当 时， ，当 时， ，
14.【答案】
则函数 的图象如下图所示：
【解析】解： 等差数列的公差 ，且 ， ， 成等比数列，
，解得 ，
，
故答案为： ．
所以，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有一个交点 非切点 ，
根据等差数列的公差 ，且 ， ， 成等比数列，求出 与 等量关系，再根据通项公式代入式子，即可
因此，实数 的取值范围是
求出答案．
13.【答案】
本题综合考查了等差，等比数列的性质，运算解决求值问题，注意通项公式的运用．
【解析】 【分析】 15.【答案】解： 证明：因为 ，且 为 中点，所以 ，
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
因为 ，且 为 中点，所以 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 与
因为 ，且 为 中点，
所成角的余弦值．
所以 ，因为 ， ， ，
【解答】
所以 ，所以 ，
解：设正方体 中棱长为 ，
又 ， 平面 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司所以 平面 ；
当 时等号成立，则 ，
因为 ，且 为 中点，
因为 ，所以
所以 ，从而 ， ， 两两垂直，
如图，建立以 为原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴的空间直角坐标系，
【解析】 直接利用 即可证明．
根据绝对值不等式并结合 中结论即可证明．
17.【答案】 Ⅰ 见证明； Ⅱ Ⅲ 点 是靠近 点的四等分点
【解析】【分析】
Ⅰ 根据线面垂直判定与性质定理进行论证， Ⅱ 先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解
易知 ， ， ， ，
得平面 的一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与线面角关系得结果， Ⅲ 先设
设 ，由 ，即 ，可求得 ，
坐标，再根据 与平面 的法向量的数量积为零解得结果．
所以 ， ，
【详解】 Ⅰ 证明： 底面 ，
，
不妨设平面 的一个法向量为 ，则
又 ， ，
平面 ，
即
平面 ，
．
令 ，则 ， ，所以 ，
为 的中点， ，
取平面 的一个法向量为 ， ．
．
所以 ，
平面 ；
所以二面角 的大小为 ．
Ⅱ
【解析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，线面垂直的判定，属于中档题．
证得 和 ，然后根据线面垂直的判定定理即可得出结论；
建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果．
16.【答案】解： 因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司18.【答案】解： 由 ，由 ，
则 为公差为 ，首项为 的等差数列，
则 ，则 ，
则 ．
设 为 阶等差数列，则 为常数 ，
则 为一次多项式，
猜测 是关于 的 次多项式，下用数学归纳法证明：
由题意建立空间直角坐标系． ， ， ，
当 时，显然成立
， ， ．
假设当 时， 是关于 的 次多项式，当 时，则 是关于 的 次多项式，
， ， ．
由 是 次多项式，故 是关于 的 次多项式，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ．
又 是一阶等比，则 ，则 ，
设 与平面 成角为 ，
由 是关于 的 次多项式，则 是关于 的 次多项式，则 是 阶等差数列．
则 ． 故 是常数列，故 是 阶等比数列．
由 ，
所以 与平面 成角 正弦值为
设 ，
Ⅲ 假设在线段 上存在点 ，使得 平面 ．
设 ， ，
则
．
故 ，
，
则 ，则 ，
平面 ，平面 的法向量为 ，
则 ，得证
，解得 ．
【解析】本题考查数列的新定义，等差数列与等比数列的综合，数学归纳法，属于难题．
点 是靠近 点的四等分点．
由新定义得 为公差为 ，首项为 的等差数列，由等差数列的通项公式求解；
【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量研究线面角与线面平行，考查基本分析论证与求解
设 为 阶等差数列，则 为常数 ，则 为一次多项式，
能力，属中档题．
猜测 是关于 的 次多项式，用数学归纳法证明；
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学科网（北京）股份有限公司设 ，化简整理得 ，由裂项
相消求和证明结论．
19.【答案】解： 证明：设 ，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 单调递减，
所以 在 处取得极大值，即为最大值，
关于函数 ，
故F ，所以 时， ，
令 ，可得 ， ，
设 ，则 ，
当 与 时， ；
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 与 时， ，
所以 在 处取得极小值，即为最小值，
可知 是函数 极小值点， 是极大值点，
故H ，所以 时， ，
该函数与 的图象如图所示：
综上： 时， ，
所以函数 为函数 与 在 上的 分割函数 ；
“ ”
若函数 是函数 与 在区间 上的 分割函数 ，
“ ”
则 对一切实数 恒成立，
又因为 ，
当 时，它的值为 ，
由 为 与 在区间 上的 分割函数 ，
“ ”
可知 的图象在 处的切线为直线 ，
故存在 使得 且直线 与 的图象相切，
它也是 的图象在 处的切线，
并且切点横坐标 ，
所以 ，可得
此时切线方程为 ，
所以 对一切实数 恒成立，
即 ， ，
即 且 对一切实数 恒成立，
设直线 与 的图象交于点 ， ，
可得 且 ，即 ，
则由 ，可得 ，
又 时， 与 为相同函数，不合题意，
所以实数 的取值范围为 ；
所以
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ．
【解析】本题属于新概念题，考查了转化思想、数形结合思想、导数的综合运用，理解定义及作出图象是关键，
属于难题． 根据题意可得当 时， ，恒成立，结合 分割函数 的定义依次判
“ ”
断，即可求解；
根据 分割函数 的性质，则 对一切实数 恒成立，由导数的几何意义和恒成立可
“ ”
得 且 对一切实数 恒成立，结合图形即可求解；
利用导数求出函数 极值，则 ， ，作出其函数与函数 的图
象 ， 设 直 线 与 的 图 象 交 于 点 ， ， 利 用 代 数 法 求 出 弦 长
，结合导数研究函数 ，
的性质即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司
