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2023—2024 学年度上学期 9 月份开学考试
数学试卷
命题人：高三数学组
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 集合 ＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法求解不等式，即可得出答案.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
则集合 .
故选：C.
2. 下述正确的是（ ）
为
A. 若 第四象限角，则
B. 若 ，则
C. 若 的终边为第三象限平分线，则
D. “ ”是“ ”的充要条件
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】对于A，利用三角函数定义即可判断；对于B，求出 的值即可判断；对于C，算出 的范围即
可判断；对于D，利用充分，必要的定义进行判断即可
【详解】对于A，若 为第四象限角，根据三角函数定义可得 ，故不正确；
对于B，若 ，则 ，故不正确；
对于C，若 的终边为第三象限平分线，则 ，
此时 ，故不正确；
对于D，由 可得 ，即 ，满足充分性；
由 可得 ，所以 ，满足必要性，故正确
故选：D
3. 已知函数 的部分图象如图所示，且 ，则 的值为
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 可得 ，求出周期，再利用周期公式可求出 ，再由 可求出
的值.
【详解】由题意可得 ，得 ，所以 ，得 ，
所以 ，
因为 的图象过点 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，或 ，
所以 ，或 ，
因为 ，所以 ，
故选：C
4. 已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把待求式中“1”用 替换，然后用基本不等式求得最小值．
【详解】因为 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故选：C．
5. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而
流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为
37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为 和 ，
在A处测得楼顶部M的仰角为 ，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A. 74m B. 60m C. 52m D. 91m
【答案】A
【解析】
【分析】求出 ， ， ，在 中，由正弦定理求出 ，从
而得到 的长度.
【详解】在 中， ，
， ，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ， ，
在 中， .
故选：A
6. 岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图 是番禺区某风景优美的公园
地图，其形状如一颗爱心．图 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象
构成，则“心形”在 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式可求得 ，知A错误；由 时， 可
知B错误；根据 、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知 C正确；根据函数定
义域可知D错误.
详解】对于A， （当且仅当 ，即
【
时取等号），
在 上的最大值为 ，与图象不符，A错误；
对于B，当 时， ，与图象不符，B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C， ， 当 时， ；
又 过点 ；
由 得： ，解得： ，即函数定义域为 ；
又 ，
为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称；
当 时， ，则函数在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述： 与图象相符，C正确；
对于D，由 得： ， 不存在 部分的图象，D错误.
故选：C.
7. 已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若对任意 有 ，
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造 ，确定函数 在 上单调递增，计算 ， ，转化得到
，根据单调性得到答案.
【详解】设 ，则 恒成立，故函数 在 上单调递增.
，则 ，即 ，故 .
，即 ，即 ，故 ，解得 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
8. 记 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数 在 R 上单调递增，可判断 ，再对 两边取对数，由函数
在 单调递减，可得 ，从而得解.
【详解】设 ，则 在R上单调递增，
故 ，即 ；
由于 ，
设 ， ，
则 ， ，
则 在 单调递减，故 ，
即 ，则 ；
综上得， ， D正确.
故选：D
二、多选题
9. 设函数 ，则（ ）
A. 是偶函数
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学科网（北京）股份有限公司B. 是 的一个周期
C. 函数 存在无数个零点
D. 存在 ，使得
【答案】AC
【解析】
【分析】求出 即可判断A项；求出 即可判断B项；当 时，有
，即可说明C项；当 时，可求出 .进而根据偶函数的性质即可判断D
项.
【详解】对于A项， 定义域为R.又 ，
所以 是偶函数，故A项正确；
对于B项， ，所以 不是
的一个周期，故B项错误；
对于C项，因为 时，有 ，又 ，所以
有无数多个解，所以函数 存在无数个零点，故C项正确；
对于D项，当 时，有 ，所以 .
所以有 在 上恒成立.
又 ， 是偶函数，
所以，当 时，有 恒成立，故D项错误.
故选：AC.
10. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B. 若 为斜三角形，则
C. 若 ，则 是锐角三角形
D. 若 ，则 一定是等边三角形
【答案】AB
【解析】
【分析】利用正弦定理推理判断AD；利用和角的正切及诱导公式推理判断B；利用平面向量的数量积定
义确定角C判断C作答.
【详解】对于A，由正弦定理 ，
得 ，A正确；
对于B，斜 中， ，
则 ，即 ，B正确；
对于C，由 ，得 ，则 ，
因此C为钝角， 是钝角三角形，C错误；
对于D，由正弦定理及 ，得 ，
即 ，而 ，则 ， 为等腰直角三角形，D错误．
故选：AB
11. 如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使
用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位：m）（
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学科网（北京）股份有限公司在水下则 为负数）、 与时间 （单位：s）之间的关系是 ，则下列说法正确
的是（ ）
A. 筒车的半径为3m，旋转一周用时30s
B. 筒车的轴心 距离水面的高度为
C. 时，盛水筒 处于向上运动状态
.
D 盛水筒 出水后至少经过20s才可以达到最高点
【答案】BD
【解析】
【分析】根据振幅和最小正周期可确定A错误；利用 可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断
方法可知C错误；令 ，由正弦型函数的值可构造方程求得 ，进而得到 ，知D正确.
【详解】对于A， 的振幅为筒车的半径， 筒车的半径为 ；
的最小正周期 ， 旋转一周用时 ，A错误；
对于B， ，筒车的半径 ， 筒车的轴心 距离水面的高度为 ，B
正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，当 时， ，此时 单调递减，
盛水筒 处于处于向下运动的状态，C错误；
对于D，令 ， ，
，解得： ，
又 ， 当 时， ，即盛水筒 出水后至少经过 才可以达到最高点，D正确.
故选：BD.
12. 已知当 时， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的不等式，赋值变形判断A；赋值求和判断CD；变形不等式右边，借助二项式定理及
组合数的性质推理判断D作答.
【详解】因为 ，令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，A正确；
因 为 ， 则 ， ， …， ， 以 上 各 式 相 加 有
，B错误；
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学科网（北京）股份有限公司由 得， ，即 ，
于是 ， ， ，…， ，
以上各式相加有 ，即 ，C正确；
由 得， ，因此 ，
设 ， ，
则 ，所以 ，D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点睛：由给定信息判断命题的正确性问题，从给定的信息出发结合命题，对变量适当赋值，
再综合利用相关数学知识及方法是解决问题的关键.
第II卷（非选择题）
三．填空题
13. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形
就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧 的长度为 ，则该勒洛三角形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 的长度为 ，所以 ， ，
所以勒洛三角形的面积是 .
故答案为： .
14. 已知函数 ， ，当 时，函数 取得最小值，则
__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式取等条件可确定 的取值，结合二倍角余弦公式可求得结果.
【详解】当 时， ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
， .
故答案为： .
15. 已知函数 在区间 上有且只有 2 个零点，则 ω 的取值范围是
_________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得 ，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，可得 ，其中 ，
因为函数 在区间 上有且仅有2个零点，
则满足 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
16. 已知偶函数 的定义域为 ，函数 ，且
，若 在 上的图象与直线 恰有 个公共点，则 的
取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分多个区间研究 与直线 有几个交点，利用 在 上与直线
恰有 个公共点，即可得出 的范围.
【详解】由题意得 是定义域为 的偶函数，
当 时， ，
当 时， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
当 时， ， ， ，
当 时， 是周期为 的周期函数.
因为 是定义域为 的偶函数，且 ，
所以 在 上的图象与直线 恰有301个公共点.
在 上的图象如图所示，
在 上 的图象与直线 有3个公共点，
令 ，得 ，
令 ，得 或 .
所以这 个公共点的横坐标依次为 ， ， .
因为 ，
所以 ，即 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查根据函数图像交点个数求参数，考查三角函数的二倍角公式、两角差的正弦
公式、辅助角公式、函数的周期性，考查了计算能力和函数思想，属于中档题.
四、解答题
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学科网（北京）股份有限公司17. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 的面积为S，已知
（1）求角A；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）已知等式由余弦定理和面积公式代入变形可得求角A；
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 ，进而根据正弦函数的性质即
可求解取值范围.
【小问1详解】
已知 ，由余弦定理和三角形的面积公式，
得 ，即 ，
若 ，则 ，不符合题意，故 ，
所以 ，由 ，得 .
【小问2详解】
， ， ，
由正弦定理 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
由 ，则 ，得 ，
所以 ，即 的取值范围 .
18. 已知 的内角 所对的边分别为 .
（1）求 ；
（2） 为 内一点， 的延长线交 于点 ，___________，求 的面积.
请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.
① 的三个顶点都在以 为圆心的圆上，且 ；
② 的三条边都与以 为圆心的圆相切，且 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知等式结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换，即可得角 的大小；
（2）选择条件①，利用三角形的外心为 ，根据正弦定理、余弦定理可得 为等边三角形，再利用
面积公式可得 的面积；选择条件②，利用三角形的内心为 ，利用等面积法求得 ，再
根据余弦定理得 ，即可求得 的面积.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
在 中，因为 ，所以 ，
由正弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，
化简，得 ，因为 ，所以 .
【小问2详解】
选条件①：
设 的外接圆半径为 ，
则在 中，由正弦定理得 ，即 ，
由题意知： ，
由余弦定理知： ，
所以 .
在 中，由正弦定理知： ，
所以 ，
从而 ，所以 为等边三角形，
的面积 .
选条件②：
由条件知： ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由（1）可得 ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 的面积 .
19. 已知函数 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）方程 在 上的两解分别为 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
的
【分析】（1）化简 解析式，利用整体代入法求得 的单调递增区间.
（2）根据三角恒等变换的知识，先求得 ，然后求得 的值.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司，
由 ，得 ，
所以 的单调递增区间为： .
【小问2详解】
设 ，则 ，
由于正弦函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
由 ，得 ，
因为方程 在 上的两解分别为 ，
则 ，必有 ，
所以， ，同理 ，
，
由于 且 ，则 ，
由 ，可得 .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】利用同角三角函数的基本关系式求 ，一定要注意判断 的范围，根据 的范
围来确定 的符号，这一步容易忽略.同样，在用二倍角公式来求单倍角时，也要注意角
的范围.
20. 已知 ，曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）求 在 上的最大值；
（3）当 时，判断 与 交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）求出 的导数，计算 ， ，求出 ， 的值即可；（2）求出
的导数，得到导函数的单调性，得到 在 递增，从而求出 的最大值；（3）根据函数
图象的大致形状可得 与 有两个交点.
试题解析：（1） ，由已知可得 ， ，解之得
．
（2）令 ．则 ,
故当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
所以 ，
故 在 单调递增，所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司（3）当 时， 与 有两个交点.
21. 如图，C，D是两个小区所在地，C，D到一条公路AB的垂直距离分别为CA＝1km，DB＝2km，AB两
端之间的距离为6km．
（1）某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A，C的张角与P对B，D的张
角相等（即 ），试求 的值；
（2）环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C，D所张角最大，试求
QB的长度．
【答案】（1）
（2） 的长度为
【解析】
【分析】（1）设 ， ， ，利用三角函数的定义可求 ，
，由题意可得 ，解得 的值即可求解．
（2）设 ， ， ，利用三角函数的定义得 ， ，利用
两 角 和 的 正 切 公 式 可 求 ， 令 ， 可 得 ， 可 得
，进而根据题意利用双勾函数的性质即可求解．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司设 ， ， ，
依题意有 ， ，
由 ，得 ，解得 ，
从而 ， ，
故 ．
【小问2详解】
设 ， ， ，
依题意有 ， ，
所以
，
令 ，由 ，得 ，
所以
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，且 ，
当 ，所张的角为钝角，
所以当 ，即 时取得最大角，
故 ，从而 的长度为 ．
22. 已知函数 ， ．
（1）若 ，证明：当 时 ；
（2）当 时， ，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2） ．
【解析】
【分析】（1）令 ，对 求导，得到 的单调性可证得 ，令
，对 求导，可得 在 上单调递增，即可证得 ，即可证得
；
（2）由题意分析可得要使 恒成立即 时， 恒成立，通过放
缩变形证明 恒成立，即可求出a的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
当 时， ，所以即证： ， ，
先证左边： ，令 ， ，
在 单调递增，∴ ，即 ．
再证右边： ，令 ，
，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，即 ，
∴ 时， ．
【小问2详解】
，
令 ， ，
因为 ，所以题设等价于 在 恒成立，
由（1）知，当 时， ，于是：
①当 时， 恒成立；
②当 时， 等价于 ，
（i）当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，因为 在 上递增，
且 ，所以存在 ，使 ，
所以当 ， ，即 ，不合题意；
(ii)当 时，
令 ， ，
则 ，
，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 .
综上：a的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：
（1）直接构造函数法：证明不等式 转化为证明 ，进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
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学科网（北京）股份有限公司
