文档内容
!高三数学"参考答案!第!
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重庆市高三数学考试参考答案
!!#!!解析"本题考查集合的交集#考查数学运算的核心素养!
由"$!#"%###&"#得$$"$$!#&%!
'!(!!解析"本题考查复数的运算$共轭复数$复平面#考查数学运算的核心素养!
因为%$')*#所以*%$*$'+*%$)!+'*#则*%在复平面内对应的点位于第二象限!
&!(!!解析"本题考查等比数列的定义#考查逻辑推理的核心素养!
因为&'+&'+!$$)!
'%
'+$)!
'%
'+!$$)!
'%
'$!)!
'%$)$)!
'%
'+!#所以!&'+&'+!"的首
项为)!
,#且&'+!+&'+'
&'+&'+! $)!
'#所以!&'+&'+!"是公比为)!
'的等比数列!
,!-!!解析"本题考查二项式定理#考查数学运算的核心素养!
$'#)(%
. 的展开式中##'(
& 的系数为-&
./''/$)!%
&$),%!
.!-!!解析"本题考查台体的体积#考查应用意识!
依题意可得该牛皮鼓的体积可视为两个相同的圆台$上底面半径为'.01#下底面半径为
&%01#高为&%01%的体积之和#所以该牛皮鼓的体积为'/!
&!/&%/$'.'+'./&%+&%'%
$,..%%!01&!
2!3!!解析"本题考查对数大小的比较#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
因为&
'$456& 槡
& &#&$456&2#456&7$'#
)$456!
,
!
8$456,8$456'''&$&
'#所以*&&&)!
"!3!!解析"本题考查导数的几何意义及直线的倾斜角#考查数学运算与逻辑推理的核心
素养!
(+$&#'),##则,的斜率为&-'),-!因为,的倾斜角小于!&.9#所以,的斜率小于)!或不
小于%#则&-'),-#)!或&-'),-'%#解得-($):#%&)$!
&#!%)',
&#+:%!
8!3!!解析"本题考查椭圆的定义与性质#考查直观想象的核心素养!
如图#连接.!/#由$.*
+
'$'.'*
+/#得"0.'"$,".'/"#设".'/"$1#
则"0.'"$,1#"0.!"$'&),1#"/.!"$'&)1!由余弦定理得
"/.!"
'$"0.!"
'+"0/"
')'"0.!""0/"05;,.!0/#即$'&)1%
'
$$'&),1%
'+$.1%
')'$'&),1%/.1/'&),1
,1
#整理得1$.
!,&#则
".!.'"$
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')$'&),1%
槡
'$ !2&1),&
槡
'$
槡
' '!
" &#故2$')
'&$".!.'"
'&
$ 槡'!
" !
7!(-3!!解析"本题考查三角函数的图象及其性质$三角恒等变换#考查逻辑推理与数学运算
的核心素养!
因为3$#%$;*<$#+!
,%#所以3$#%的最小正周期为'!!因为3$.!
,%$;*<&!
'$)!#3$).!
,%
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$;*<$)!%$%#所以3$#%的图象关于直线#$.!
,对称#3$#%的图象关于点$).!
,#%%对称!
3$#%+3$)#%$;*<$#+!
,%+;*<$)#+!
,% 槡
$ '05;#!
!%!#-3!!解析"本题考查统计中的极差$中位数$平均数$方差$百分位数#考查数据处理能力
与推理论证能力!
对于#选项#如果删去的不是最大值或最小值#那么极差不变#所以#正确!
对于(选项#删除前有2个数据#中位数是按从小到大的顺序排列后中间两个数的平均数#
因为任何两个数据都不相等#所以中位数不会等于2个数据中的任何一个#而删除后有.个
数据#中位数是2个数据中的某一个#所以(错误!
对于-选项#平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数#在方差公式中#分子不变#分
母变小#所以方差变大#所以-正确!
对于3选项#平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数#在按从小到大的顺序排列的2
个数据中#因为2/'%=$!>'#./'%=$!#所以原数据的'%=分位数是第'个数#新数据
的'%=分位数是前'个数的平均数#且该数值小于第'个数#所以3正确!
!!!(-!!解析"本题考查抽象函数与具体函数的奇偶性#考查逻辑推理与数学抽象的核心
素养!
令#$($%#得3$%%$%#令($%#得3$#%$#3$%%$%#则3$)#%$3$#%$)3$#%$%#所
以3$#%既是奇函数又是偶函数!由4$#+!%$$#+!%$#'+'#%$$#+!%'$#+!%
')!&#得
4$#%$#&)##因为4$)#%$)4$#%#所以4$#%是奇函数!
!'!#-3!!解析"本题考查立体几何初步中的体积$距离$二面角#考查空间想象能力与运算求
解能力!
如图#取56 的中点7#连接87#因为平面568-平面569#且平面
568$平面569$56#所以87-平面569!取59 的中点:#连接
6:#因为56$69#所以6:-59#则6:$
56')5:
槡
'
槡
$' '!因为
87$&/槡&
'$ 槡
& &
' #
所以;9)568$!
&/ 槡
& &
' /!
'
槡
槡
/'/' '$ 2## 正确!取5: 的中点.#连接.7#8.#则.7
.6:#所以.7-59!因为87-平面569#所以87-59#又87$.7$7#所以59-平
面8.7#则59-8.#则8.$ 87'+.7
槡
'$ 槡&.
' #,8.7 为二面角6)59)8的平面角#
且?@<,8.7$87
.7$ 槡
& 2
, #(错误#-正确!设/569#/568的外心分别为<#$#则7<-
56#又平面569-平面568#所以7<-平面568!设三棱锥9)568 外接球的球心为
=#则=<-平面569#=$-平面568#所以四边形=$7< 为矩形#则=<$$7$!
&87$
!高三数学"参考答案!第&
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"!"#$%"
槡&
'!故三棱锥9)568外接球的球心到平面569 的距离为槡&
'#3正确!
!&!槡
, '!!解析"本题考查双曲线的性质#考查数学运算的核心素养!
依题意可得')$2#'&$'#则)$&#&$!#所以该双曲线的虚轴长为'*$' )')&
槡
'
槡
$, '!
!,!'
&!!解析"本题考查投影向量与平面向量的基本定理#考查直观想象的核心素养!
在矩形5689 中#因为向量*
+5:在向量*
+59上的投影向量为!
&
*
+59#所以*
+5:$ *
+56+!
&
*
+59#又
*
+5=$!
'
*
+56+!
'
*
+59#所以*
+=:$ *
+5:) *
+5=$!
'
*
+56)!
2
*
+59#所以!)"$!
'+!
2$'
&!
!.!(
'$!)'#!!解析"本题考查圆与圆的位置关系$直线与圆的位
置关系#考查直观想象与数学运算的核心素养!
设$$##(%#点$ 到直线#$'的距离为>#如图#$ 只能在直线
#$'的左侧#则>$')##依题意可得"$="+!$>#即#'+(
槡
'
$$')#%)!#化简可得(
'$!)'##故圆$ 的圆心的轨迹方程
为(
'$!)'#!
!2!
槡
!) .
'
!!解析"本题考查三角恒等变换与导数的应用#考查数学建模与数学运算的核心
素养!
设?@<#$##则#&!#?@<'#)?@<#$ '#
!)#')#$#+#&
!)#'!
设函数3$#%$#+#&
!)#'$#&!%#则3+$#%$)#,+,#'+!
$!)#'%
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槡
) .)'%$#'
槡
+ .)'%
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'
$#&!%!
当!##'#槡.+'时#3+$#%&%(当#'&槡.+'时#3+$#%#%!
所以当#'
槡
$ .+'时#3$#%取得最大值#即?@<'#)?@<#取得最大值#
此时?@<'#
?@<#$
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!)$槡.+'%$
槡
!) .
'
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+
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!$'8!*
+.#所以:9!
8!:$.6!
8!.$'#
所以:..6!9!#
'分
…………………………………………………
因为6!9!0平面8:.#:.1平面8:.#所以6!9!.平面8:.!
,分
…………………………………………………………………
$'%解)如图#以9 为坐标原点建立空间直角坐标系9#(%#设56$&#
则5$&#%#%%#8$%#&#%%#=$&
'#&
'#&%#:$%#'#&%#.$!#&#&%#
.分
……………………………
*
+8:$$%#)!#&%#*
+:.$$!#!#%%!
2分
……………………………………………………………
!高三数学"参考答案!第,
! 页#共"页$%
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设平面8:. 的法向量为!$$##(#%%#则
*
+8:*!$)(+&%$%#
*
+:.*!$#+($%
2
3
4
#
"分
……………………
令#$&#得!$$&#)&#)!%#
8分
……………………………………………………………
因为*
+5=$$)&
'#&
'#&%#所以05;+*
+5=#!,$
*
+5=*!
" *
+5=""!"
$
)!'
槡
& 2
'
槡
/ !7
$) 8
槡!!,
!
7分
……
所以直线5= 与平面8:. 所成角的正弦值为8
槡!!,
#其平方为2,
!!,$&'
."!
!%分
……………
评分细则)
-!.第$!%问中#未写/6!9!0平面8:.#:.1平面8:.0扣!分!
-'.第$'%问中#建系方式不唯一#平面8:. 的法向量不唯一#如果建系的方式相同#那么只
要所求法向量与!$$&#)&#)!%共线即可!
!8!解)$!%在/568中#5+6+8$!#因为5+6$!!8#所以8$!
!'#
!分
……………………
则;*<8$;*<$!
&)!
,%$槡'
'/$槡&
')!
'%$槡
槡
2) '
,
!
&分
……………………………………
因为05;5$,
.#所以;*<5$&
.#
,分
…………………………………………………………
由正弦定理得68
;*<5$ 56
;*<8#则68$56;*<5
;*<8 $!'
.!
2分
……………………………………
$'%由$!%知8$!
!'#则5$'8$!
2#
"分
………………………………………………………
在/59: 中#由余弦定理得9:'$5:'+59')'5:*5905;5#
8分
……………………
代入数据#得"$&+59'
槡
)' &59/槡&
'#解得59$,$59$)!舍去%#
!%分
……………
所以/69: 的面积为!
'5:*59*;*<5)!
'5:*56*;*<5$槡&
'/!
'/',)$槡
槡
2) '%&
$ 槡
槡
槡
, &)& '+ 2
,
!
!'分
…………………………………………………………………………
评分细则)
-!.第$!%问中#若68最后的结果计算错误#但得到68$56;*<5
;*<8 #只扣!分!
-'.第$'%问中#最后的结果写为槡&) 槡
槡
& ') 2
,
#不扣分!
!7!解)$!%用$ 表示事件/测试者提出的两个问题相同0#" 表示事件/测试者对机器产生误
判0#则0$"%$0$"$%+0$"5
$%$0$$%0$""$%+0$5
$%0$""5
$%
&分
………………
$%>2/%>!+$!)%>2%/%>&.$%>'!
.分
……………………………………………………
$'%设? 为,名测试者中产生误判的人数#由$!%可知#?"6$,#%>'%#
"分
…………………
若机器通过本轮的图灵测试#则,名测试者中至少有'名产生误判#
8分
…………………
!高三数学"参考答案!第.
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"!"#$%"
所以机器5 通过图灵测试的概率0$!)0$?$%%)0$?$!%$!)-%
,/%>'%/$!)%>'%
,
)-!
,/%>'/$!)%>'%
&$%>!8%8!
!'分
………………………………………………………
评分细则)
-!.第$!%问中#得到/0$"%$0$$%0$""$%+0$5
$%0$""5
$%0#但未写/0$"%$0$"$%
+0$"5
$%0#不扣分!
-'.第$'%问中#得到/0$!)-%
,/%>'%/$!)%>'%
,)-!
,/%>'/$!)%>'%
&$%>!8%80#但未
写/,名测试者中至少有'名产生误判0#不扣分!第$'%问还可以用直接法求解#解析如下)
设? 为,名测试者中产生误判的人数#由$!%可知#?"6$,#%>'%#
"分
……………………
若机器5 通过本轮的图灵测试#则,名测试者中至少有'名产生误判#
8分
………………
所以机器5 通过图灵测试的概率0$0$?$'%+0$?$&%+0$?$,%$-'
,/%>''/$!)
%>'%
'+-&
,/%>'&/$!)%>'%+-,
,/%>',$%>!8%8!
!'分
……………………………………
'%!$!%证明)当'$!时#@'+@!$,#则&'+'&!$,#因为&!$!#所以&'$'!
!分
……………
当'''时#由@'+!+@'$$'+!%
'#得@'+@')!$''#两式相减得&'+!+&'$''+!!
'分
………
……………………………………………………………………………………………
又&!+&'$&$'/!+!#所以当'(!6时#&'+!+&'$''+!!
&分
…………………………
$'%解)&'+')&'$$&'+'+&'+!%)$&'+!+&'%$$''+&%)$''+!%$'#
,分
………………
所以!&'"的奇数项是以!为首项#'为公差的等差数列#偶数项是以'为首项#'为公差的等
差数列#
.分
………………………………………………………………………………………
所以!&'"是以!为首项#!为公差的等差数列#故&'$'!
2分
………………………………
$&%解)A'$%)!
'&)'
',)1)')!
''+! #
"分
………………………………………………………
则!
'A'$)!
',)'
'.)1)')!
''+' #
8分
……………………………………………………………
则A')!
'A'$)$!
'&+!
',+1+ !
''+!%+')!
''+' #
7分
…………………………………………
所以!
'A'$)
!
8) !
''+'
!)!
'
+')!
''+' $'+!
''+' )!
,#
!!分
……………………………………………
故A'$'+!
''+! )!
'!
!'分
…………………………………………………………………………
评分细则)
-!.第$'%问中#得到&'+!+&'$''+!后#还可以通过下面的方法得到数列!
&'"的通项公式)
由&'+!+&'$''+!#得&'+!)$
'+!%$)$
&')'%#因为&!)!$%#所以&')'$%#即&'$'!
-'.第$&%问还可以用裂项相消法求解#过程如下)
因为*'$!)&'
''+! $'+!)''
''+!
$'+!
''+! )'
''#
7分
…………………………………………………
所以A'$'
'')!
'+&
'&)'
''+1+'+!
''+! )'
''$'+!
''+! )!
'!
!'分
………………………………
!高三数学"参考答案!第2
! 页#共"页$%
"!"#$%"
'!!$!%证明)将点$'#
槡
)' 2%代入(
'$'B##得',$,B#即B$2!
!分
…………………………
联立(
'$!'##
($-#+C$-7%
2
3
4
%#
得-(
')!'(+!'C$%#
'分
…………………………………………
设5$#!#(!%#6$#'#('%#则(!('$!'C
- #
&分
…………………………………………………
#!#'$(
'
!
!'*(
'
'
!'$$(!('%
'
!,, $C'
-' !
,分
……………………………………………………………
因为*
+=5* *
+=6$%#所以C'
-' +!'C
- $%恒成立#则C$)!'-#
.分
……………………………
所以,! 的方程为($-$#)!'%#故直线,! 过定点$!'#%%!
2分
………………………………
$'%解)联立(
'$!'##
($'#+C
2
3
4
#
得,#'+$,C)!'%#+C'$%#
则
#!+#'$)C+&#
#!#'$C'
,
2
3
4
#
"分
………………………………………………………………………
且$$$,C)!'%
')!2C'$,8$&)'C%&%#即C#&
'#
8分
…………………………………
"56"$ !+'
槡
'"#!)#'"$ !+'
槡
'
$#!+#'%
'),#!#
槡
'
槡
$ .* 7)2
槡
C#
7分
……………
设,')($'#+'#同理可得"$"" 槡
$ .* 7)2
槡
'!
!%分
………………………………………
因为直线,' 在,! 的右侧#所以'#C#则>$C)'
槡.
槡
$ .#即'$C).!
!!分
………………
所以"$"")"56" 槡
$ .' 7)2$C).
槡
%) 7)2
槡
C&$!%#
即&7)2
槡
C
槡
$' .+ 7)2
槡
C#解得C$&!
',#
因为&!
',#&
'#所以C$&!
',!
!'分
…………………………………………………………………
评分细则)
-!.第$!%问中#联立(
'$!'##
($-#+C$-7%
2
3
4
%#
消去(得-'#'+$'-C)!'%#+C'$%#也可以求得
C$)!'-#从而得到直线,! 过定点$!'#%%!
-'.第$'%问中#还可以用"56"$ !+$!
'%
槡
'"(!)('"$槡.
'
$(!+('%
'),(!(
槡
'#得到"56"
槡
$ .* 7)2
槡
C!解析中#未写&!
',#&
'#但是得到C$&!
',#不扣分!
''!解)$!%当&$!时#3$#%$05;#+!
'#')!#则3+$#%$#);*<#!
!分
………………………
令函数4$#%$#);*<##则4+$#%$!)05;#'%#可得4$#%单调递增!
'分
………………
又4$%%$%#所以当#($%#+:%时#4$#%&%#当#($):#%%时#4$#%#%!
&分
…………
!高三数学"参考答案!第"
! 页#共"页$%
"!"#$%"
所以3$#%的单调递减区间为$):#%%#单调递增区间为$%#+:%!
,分
……………………
$'%若&$%#则3$#%$!
'#'#此时#$%是3$#%的极小值点#故&7%!
.分
…………………
3+$#%$#)&;*<&##令函数D$#%$#)&;*<&##则D+$#%$!)&'05;&#$!)&'05;"&"#!
2分
……………………………………………………………………………………………
令函数%$#%$!)&'05;"&"#$&7%%#可知%$#%在区间'%#!
"&"%上单调递增!
"分
…………
#当%$%%$!)&''%且&7%#即)!8&8!且&7%时#%$#%'%$%%'%#此时D$#%在区间
'%#!
"&"%上单调递增#则D$#%'D$%%$%#此时#$%不可能是3$#%的极大值点!
8分
……
$当%$%%$!)&'#%#即&#)!或&&!时#由%$#%在区间'%#!
"&"%上单调递增#可知存在
C($%#!
"&"%#使得当#('%#C%时#%$#%#%#则D$#%在'%#C%上单调递减#
7分
…………
从而D$#%8D$%%$%#即3+$#%8%#3$#%在'%#C%上单调递减!
!%分
………………………
由3$)#%$05;$)&#%+!
'$)#%
')!$05;&#+!
'#')!$3$#%#可得3$#%为偶函数#
3$#%的图象关于(轴对称#此时#$%是3$#%的极大值点!
!!分
……………………………
综上#&的取值范围为$):#)!%)$!#+:%!
!'分
…………………………………………
评分细则)
-!.第$!%问中#最后没有回答函数的单调区间#而是写为/3$#%在$):#%%上单调递减#在
$%#+:%上单调递增0不扣分!
-'.第$'%问中#在说明&7%后#也可以先讨论&&%#再根据函数的奇偶性#确定&#%中满
足条件的& 的范围#最后求两种情况的& 的取值集合的并集#即得满足题意的& 的取值
范围!
