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高三数学参考答案及评分意见
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D C A D A B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 ACD AC ABD ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
解：（1）在 中，由余弦定理 得
，所以 . …………………………………3分
由正弦定理 ，得 . ……………5分
（2）因为 ,所以 ，
由 ,得 . …………………………………………7分
高三数学参考答案及评分意见 第1页 （共8页）
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，得 , …………………………8分
因为 ,所以 .
……………………………………………………10分
18.（12分）
解：（1）证明：在四棱锥 中， ， ,
, . ……………………………………2分
,
. ……………………………………… 3分
又 ,
. ……………………………………5分
（2） ,可得 两两垂直，
以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 .
与平面 所成角为 , .
.又 ，
. …………………7分
设平面 的法向量 ， ,
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学科网（北京）股份有限公司,
所以 ，令 ，得 ,
可得 . ………………………………………………9分
设平面 的法向量 ， ,
所以 ，令 ，得 ,
可得 . ………………………………………………11分
因为 ，
所以平面 与平面 夹角余弦值为 . …………………………12分
z
A B
1 1
D
1 C
1
y
A
B
x
D C
19.（12分）
高三数学参考答案及评分意见 第3页 （共8页）
学科网（北京）股份有限公司解：（1）函数 的定义域是 ，可得 .………………1
分
当 时，可知 ，所以 在 上单调递增； …………………2
分
当 时，由 得 ，可得 时有 ，
时有 ，所以 在 上单调递减，
在 上单调递增. …………………………………………………………4分
综上可得，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. ………………5分
（2）证明：当 时，要证 成立，
只需证 成立，
只需证 即可. ………………………………………………………6分
因为 ，由（1）知， .
令 ， ……………………………………8分
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学科网（北京）股份有限公司由 ，可得 时有 ， 时有
，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
可知 ，有 . ………………………………………11分
所以有 ，从而当 时， 成立. ………………12分
20.（12分）
解：（1）由题意得： ，
所以 ，即 .………………………………………2分
又 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，即 ， …………………………………………………3
分
所以 ，两式相减得 ，即 ，
所以 ， …………………………………………………5分
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学科网（北京）股份有限公司因此 的通项公式为 . …………………………………………………6
分
（2）由（1）可得： ， .…………7
分
因为
， …………………………………………………10分
所以
.
…………………………………………………12分
21.（12分）
解：（1）由题意可知， 的可能取值为 ， ………………………………1分
所以由概率乘法公式得： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司.
所以 的分布列为：
……………………………………3分
（2）由全概率公式可知：
…………………………………4分
，
所以 ，即 .………………………5分
所以 . ……………………………………………………………6分
又 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 .……………7分
（3）由全概率公式得：
，
所以 . …………………………………………………………………8分
又 ，
所以 ，
所以 . …………………………9分
又 ，
所以 ， ………………………………10分
所以 ， ，………………………………11分
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学科网（北京）股份有限公司所以 . …………………………12分
22.（12分）
解：（1）设 点坐标为 ，则由题意得： ，……………2
分
整理得： .
即 的方程为 . …………………………………………………………………3分
（2）如图，不妨设三个顶点中有两个在 轴右侧（包括 轴）， 且设 、 、
三点的坐标分别为 、 、 ， 的斜率为 ，则有
， . ………………………………………4
分
又 、 、 三点在抛物线 上，
所以 ， ， ，
代人上面两式得： ， . ………………………………………5分
由于 ，
即 ，
所以 ， ，…………………7分
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
所以 ， ，且有 . ………………………………………9分
y
所以正方形边长为
C
A
B
O x
. ………………………………………11分
当且仅当 时， 即 点为原点时等号成立.
所以正方形面积的最小值为 . ………………………………………12分
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