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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 10 解三角形
解三角形作为高考必考题，高考题型一般作为1小1大或者是2小1大模式。
考点01 正弦余弦定理应用
考点02 三角形中面积周长应用
考点03 结构不良结构
考点 01 正弦余弦定理应用
1．(2023年北京卷·第7题)在 中， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
则 ，故 ，
又 ，所以 ．
故选：B．
2．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第7题)在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB= ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 在 中， ， ，
根据余弦定理：
1可得 ，即
由
故 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
2．(2021年高考全国乙卷理科·第9题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题
是测海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量
标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称
为“表目距的差”则海岛的高 ( )
( )
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
【答案】A
【解析】如图所示：
由平面相似可知， ，而 ，所以
，而 ，
即 ＝ ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
23．(2021年高考全国甲卷理科·第8题)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，
现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影 满足 ，
．由C点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为
，则A．C两点到水平面 的高度差 约为( ) ( )
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【解析】
过 作 ，过 作 ，
故 ，
由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ．
所以 ．
因为 ，所以
在 中，由正弦定理得：
，
3而 ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将 的长度通过作辅助线的方式转化为 ．
二 填空题
1．(2021年高考全国乙卷理科·第15题)记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，
， ，则 ________．
【答案】
【解析】由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 (负值舍去)．
故答案为： ．
2．(2021年高考浙江卷·第14题)在 中， ，M是 的中点， ，则
___________， ___________．
【答案】(1)． (2)．
解析:由题意作出图形，如图，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 (负值舍去)，
所以 ，
4在 中，由余弦定理得 ，
所以 ；
在 中，由余弦定理得 ．
故答案为 ； ．
3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第16题)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，
，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
【答案】
【解析】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ．
故答案为： ．
5【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题．
4．(2019·浙江·第 14 题)在 中， ， ， ，点 在线段 上．若
，则 ， ．
【答案】 ，
【解析】由题可得 ， ，由正弦定理得 ，解得 ，所
以
．
C
D
3 45°
A
B 4
5．(2019·全国Ⅱ·理·第15题) 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ，
，则 的面积为 ．
【答案】
【解析】由余弦定理得 ，所以 ，即 ，
解得 (舍去)，所以 ，
【点评】本题首先应用余弦定理，建立关于 的方程，应用 的关系、三角形面积公式计算求解，
本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键
是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
6．(2023年全国甲卷理科·第16题)在 中， ， 的角平分线
交BC于D，则 _________．
【答案】
【解析】
6如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，
因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
三 解答题
1 ． (2023 年 天 津 卷 · 第 16 题 ) 在 中 ， 角 所 对 的边 分 別 是 ． 已 知
．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
7【解析】(1)由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
(2)由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 (舍去)．
(3)由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
故 ．
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【解析】(1) ，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，所以 ，
．
(2)由(1)知， ，
由 ，
8由正弦定理， ，可得 ，
，
．
2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第17题)记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积
为 ， 为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【解析】(1)
方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 ．
9方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 ．
(2)
方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是
，
.
所以
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是
，
所以 ．
3．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，点
在边 上， ．
(1)证明： ；
10(2)若 ，求 ．
【答案】【解析】
(1)由题设， ，由正弦定理知： ，即 ，
∴ ，又 ，∴ ，得证．
(2)由题意知： ，
∴ ，同理 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，又 ，
∴ ，整理得 ，解得 或 ，
由余弦定理知： ，
当 时， 不合题意；当 时， ；
综上， ．
4．(2020年浙江省高考数学试卷·第18题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(I)求角B；
(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围．
11【答案】(I) ；(II)
【解析】(I)由 结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故 ．
(II)结合(1)的结论有：
．
由 可得： ， ，
则 ， ．
即 的取值范围是
5．(2022新高考全国I卷·第18题)记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【解析】(1)因为 ，即
12，
而 ，所以 ；
(2)由(1)知， ，所以 ，
而 ， 所以 ，即有 ．
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
6．(2020天津高考·第16题)在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)求 的值；
(Ⅲ)求 的值．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) ．
【解析】(Ⅰ)在 中，由 及余弦定理得
，又因为 ，所以 ；
(Ⅱ)在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ；
(Ⅲ)由 知角 为锐角，由 ，可得 ，
进而 ，
所以 ．
7．(2020江苏高考·第16题)在 中，角 的对边分别为 ，已知 ．
13(1)求 的值；
(2)在边 上取一点 ，使得 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】(1)由余弦定理得 ，所以 ．
由正弦定理得 ．
(2)由于 ， ，所以 ．
由于 ，所以 ，所以 .
所以
．
由于 ，所以 ．
所以 ．
8 ． (2019· 全 国 Ⅰ · 理 · 第 17 题 ) 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ． 设
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 ．
【 答 案 】 【 解 析 】 (1) 由 已 知 得 ， 故 由 正 弦 定 理 得
．
14由余弦定理得 ．因为 ，所以 ．
(2)由(1)知 ，由题设及正弦定理得 ，
即 ，可得 ．
由于 ，所以 ，故
．
9．(2019·江苏·第15题)在 中，角 的对边分别为 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为
由余弦定理 ，得 ，即 .
所以 .
(2)因为 ，由正弦定理 ，得 ，所以 .
从而 ，即 ，故 .
因为 ，所以 ，从而 .因此 .
10．(2019·北京·理·第15题)在△ABC中， ， ， ．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)求sin(B–C)的值．
【答案】(Ⅰ)由题可知 ， ， ，由余弦定理得： ，
解得： ．
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得： ，
15结合正弦定理 可得： ，
很明显角C为锐角，故 ，故
．
考点 02 三角形中面积周长问题
1．(2023年全国乙卷理科·第18题)在 中，已知 ， ， ．
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．【解析】(1)由余弦定理可得：
，
则 ， ，
．
(2)由三角形面积公式可得 ，
则 ．
2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题)在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，
， ．．
(1)若 ，求 的面积；
(2)是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】解析:(1)因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 锐角，则 ，
为
16因此， ；
(2)显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，由余弦定理可得
，解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 ．
3．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第17题) 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求 周长的最大值．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】(1)由正弦定理可得： ，
，
， .
(2)由余弦定理得： ，
即 ．
(当且仅当 时取等号)，
，
解得： (当且仅当 时取等号)，
周长 ， 周长的最大值为 ．
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周
长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造
不等关系求得最值．
4．(2022高考北京卷·第16题)在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】解析:因为 ，则 ，由已知可得 ，
17可得 ，因此， ．
解：由三角形的面积公式可得 ，解得 ．
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 ．
5．(2022年浙江省高考数学试题·第18题)在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】解析:(1)由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
(2)因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
6．(2022新高考全国II卷·第18题)记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为
边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 面积；(2)若 ，求b．
的
【答案】(1)
(2)
【 解 析 】 (1) 由 题 意 得 ， 则
18，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又
，则 ， ，则 ；
(2)由正弦定理得： ，则 ，则
， ．
7．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第17题)记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析 (2)14
【解析】【小问1详解】
证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ；
【小问2详解】
解：因为 ，
由(1)得 由余弦定理可得 ，
则 ，所以 ，
故 ，所以 ，所以 的周长为 ．
19考点 03 机构不良试题
1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第17题)在① ，② ，③ 这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 ．
选择条件①的【解析】
据此可得： ， ，此时 ．
选择条件②的【解析】
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： ．
选择条件③的【解析】
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵ ,
∴ , ，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;若选③,与条件 矛盾．
202．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第17题)在① ，② ，③ 这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，若问题中 的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明
理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】【解析】解法一：
由 可得： ，不妨设 ，
则： ，即 ．
选择条件①的【解析】
据此可得： ， ，此时 ．
选择条件②的【解析】
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： ．
选择条件③的【解析】
可得 ， ，与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾．
213．(2021高考北京·第16题)在 中， ， ．
(1)求角B的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求
边上中线的长．
条件①： ；
条件②： 周长为 ；条件③： 的面积为 ；
的
【答案】(1) ；(2)答案不唯一，具体见解析．
【解析】(1) ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ， ，解得 ；
(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由(1)可得 ，设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ， ，
则周长 ，
解得 ，则 ，由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；若选择③：由(1)可得 ，即 ，
则 ，解得 ，则由余弦定理可得 边上的中线的长度
为：
．
4．(2020北京高考·第17题)在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
己知，求：
22(Ⅰ) 的值：
(Ⅱ) 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①(Ⅰ)
(Ⅱ)
由正弦定理得：
选择条件②(Ⅰ)
由正弦定理得：
(Ⅱ)
23
