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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 13 不等式
不等式作为高考一个工具，主要题型是小题，再者就是与其他知识点相结合。
考点01 解基本不等式
考点02 不等式应用—线性规划
考点04 不等式综合应用
考点 01：解基本不等式
一 填空题
1．(2021高考天津)若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【解析】： ， ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为 ．
故答案 为： ．
2．(2020天津高考·)已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立．
故答案为：
3．(2020江苏高考·)已知 ，则 的最小值是_______．
【答案】
1【解析】 , 且
，当且仅当 ，即 时取等
号．
的最小值为 ．故答案为： ．
4．(2019·天津·理)设 ，则 的最小值为 ．
【答案】 【解析】： ，
，当且仅当 即
或 时等号成立，因为 ，所以 ，故 的最小值为 ．
5．(2019·上海)若 ，且 ，则 的最大值为________.
【答案】 【解析】法一： ，∴ ；
法二：由 ， ( )，求二次最值 .
6．(2019·江苏·)在平面直角坐标系 中， 是曲线 上一动点，则点 到直线
的距离最小值是______.
【答案】4
【解析】法1：由已知，可设 ，所以 .
当且仅当 ，即 时取等号，故点 到直线的距离的最小值为4.
法2：距离最小时， ，则 ，所以 ,所以最小值为4.
7．(2022年全国高考甲卷数学(文)·)已知 中，点D在边BC上， ．当
2取得最小值时， ________．
【答案】 或
【解析】设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， ．故答案为： ．
考点03：不等式应用—线性规划
一 单选题
31．(2021年高考浙江卷·)若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】:画出满足约束条件 的可行域，如下图所示：
目标函数 化为 ，由 ，解得 ，设 ，当直线
过 点时， 取得最小值为 ,故选B．
2．(2021年全国高考乙卷文科·)若 满足约束条件 则 的最小值为 ( )
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【解析】：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
4由 可得点 ,
转换目标函数 为 ，
上下平移直线 ，数形结合可得当直线过点 时, 取最小值，
此时 ．故选：C．
3．(2020年浙江省高考数学试卷·)若实数x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的取值范围是 (
)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
5联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，据此可知目标函数的最小值为：
.
且目标函数没有最大值．故目标函数的取值范围是 ．故选：B
4．(2022年浙江省高考数学试题·)若实数x，y满足约束条件 则 的最大值是 (
)
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】B
【解析】:不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线 过 时 有最大值．
由 可得 ，故 ，故 ，故选,B．
5．(2022年高考全国乙卷数学(文))若x，y满足约束条件 则 最大值是 ( )
的
A． B．4 C．8 D．12
【答案】C
【解析】：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
6转化目标函数 为 ，
上下平移直线 ，可得当直线过点 时，直线截距最小，z最大，
所以 ．
故选：C．
6．(2019·浙江·文理·)若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中 ．由 得 ，当直线
过 时，在 轴上的截距最大，所以 有最大值为 ．故选C．
77．(2019·天津·文·)设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 ( )
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】【答案】C
【解析】由约束条件 作出可行域如图
联立 ，解得 ，化目标函数 为 ，由图可知，当直线
过 时， 有最大值为5．故选C．
二填空题
1．(2023年全国乙卷文科·)若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______．
2．【答案】8
【解析】：作出可行域如下图所示：
，移项得 ，联立有 ，解得 ，
设 ，显然平移直线 使其经过点 ，此时截距 最小，则 最大，
代入得 ，故答案为：8．
82．(2023年全国甲卷文科·)若x，y满足约束条件 ，设 的最大值为____________．
【答案】15
【解析】：作出可行域，如图，
由图可知，当目标函数 过点 时， 有最大值，
由 可得 ，即 ,
所以 ．故答案为：15
3．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为______________．
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
9目标函数 即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： ．故答案 为：1．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·)若x，y满足约束条件 则 的最大值是__________．
【答案】
【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线 ，当直线经过点 时，直线 在纵轴上的截距最大，
此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ，
因此 的最大值为： ．故答案为： ．
5．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第13题)若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为
_________．
【答案】7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越大，
10平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，所以 ．故答案为：7．
6．(2019·上海·文理)已知 满足 ，求 的最小值为________.
【答案】
【解析】线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当 ， 时， .
7．(2019·全国Ⅱ·文·)若变量 满足约束条件 则 的最大值是
___________.
【答案】9
【解析】画出不等式组表示的可行域，如图所示，
阴影部分表示的三角形 区域，根据直线 中的 表示纵截距的相反数，当直线
过点 时， 取最大值为9．
考点04 不等式综合应用
11一 单选题
1．(2023年全国乙卷文科·)已知实数 满足 ，则 的最大值是 ( )
A． B．4 C． D．7
【答案】C【解析】：法一：令 ，则 ，
代 入 原 式 化 简 得 ， 因 为 存 在 实 数 ， 则 ， 即
，化简得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，设 ，则圆心到直线
的距离 ，解得 故选：C.
2 ． (2019· 天 津 · 理 ) 已 知 ， ， ， 则 的 大 小 关 系 为
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】： ， ，即
，
，所以 ．
3．(2020年浙江省高考数学试卷)已知a，b R且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，
则 ( )
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
【答案】C
12【解析】：因为 ，所以 且 ，设 ，则 零的点
为
当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ，
即 ，且 ，所以 ；
当 时，则 ， ，要使 ，必有 ．综上一定有 ． 故选：C
4．(2020年浙江省高考数学试卷·)已知a，b R且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则 (
)
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
【答案】C
【解析】：因为 ，所以 且 ，设 ，则 的零点
为 当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ，
即 ，且 ，所以 ；当 时，则 ， ，要使 ，必有 ．综上
一定有 ． 故选：C
5．(2019·全国Ⅰ·理) 已知 ， ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】答案：B
【解析】： ， ， ，故 ．
二、填空题
1．(2022年高考全国甲卷数学(理))已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ________．
2．(2021年高考浙江卷)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三
角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形直角边的长分别是3，4，
记大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则 ___________．
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