文档内容
姓 名______
准考证号______
岳阳市 2024 届高三教学质量监测（二）
数 学
本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改
动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无
效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 为等差数列， ， ，则 （ ）
A．6 B．12 C．17 D．24
4．函数 的极小值点为（ ）
A． B． C．4 D．
5．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量 满足 且 ，则
B．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62
C．若事件 相互独立，则
D．若 两组成对数据的相关系数分别为 、 ，则 组数据的相关性更强
学科网（北京）股份有限公司6．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 是圆 上的两点，若 ，则
的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 是关于 的方程 的两根，其中 ．若 （ 为虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． D．
11．如图，已知正方体 的棱长为2，点 为 的中点，点 为正方形 内
（包含边界）的动点，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．满足 平面 的点 的轨迹为线段
B．若 ，则动点 的轨迹长度为
C．直线 与直线 所成角的范围为
D．满足 的点 的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古
有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度 ，他首先在 处，测得楼顶 的
仰角为 ，然后沿 方向行走22.5米至 处，又测得楼顶 的仰角为 ，则楼高 为______米．
13．若曲线 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线 的“自公切线”，
则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为______．
① ；② ；③ ；④ ．
学科网（北京）股份有限公司14．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，其中 ，过 的直线 与椭
圆 交于 两点，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ， ，
是 的中点，作 交 于点 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
16．（本题满分15分）
用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则
（1）在数字1，3相邻的条件下，求数字2，4，6也相邻的概率；
（2）对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为 ，求 的分布列与期望．
17．（本题满分15分）
已知函数
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若方程 有三个不同的实根，求 的取值范围．
18．（本题满分17分）
已知 ，设动点 满足直线 的斜率之积为4，记动点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）点 为直线 上的动点，直线 与曲线 交于点 （不同于点 ），直线 与曲线 交于
学科网（北京）股份有限公司点 （不同于点 ）．证明：直线 过定点．
19．（本题满分17分）
已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 ，接下来的两项是 ，
，再接下来的三项是 ， ， ，依此类推．设该数列的前 项和为 ，规定：若 ，使得
，则称 为该数列的“佳幂数”．
（1）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
（2）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
（3）（ⅰ）求满足 的最小的“佳幂数” ；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
学科网（北京）股份有限公司岳阳市 2024 届高三教学质量监测（二）
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．D 2．B 3．C 4．D
5．D 6．C 7．A 8．B
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．BCD 10．BCD 11．AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．①②④ 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
（1）证明：因为 底面 ， 平面 所以 ，
因为四边形 是矩形，所以 ，
又因为 、 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 所以 ，
又因为 ， 是 的中点，所以 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由已知得 ，且 所以 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司（2）解：以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则
， ， ，
由（1）知 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，
又 ， ，设 为平面 的一个法向量，
则由 得 取 ，
则
设二面角 的大小为 ，
则
所以二面角 的正弦值为
学科网（北京）股份有限公司16．（本题满分15分）
（1）设 “数字1，3相邻”，设 “数字2，4，6相邻”，则
；
（2） 的所有可能取值为0，1，2，3，
因为3个偶数中间共有2个空隙．由题意知“ ”表示3个偶数相邻，
则 ，
“ ”表示3个偶数中间只插入了1个奇数，则 ，
“ ” 表 示 3 个 偶 数 中 间 共 插 入 了 2 个 奇 数 ， 可 分 为 两 种 情 形 ： 和 ， 则
；
“ ” 表 示 3 个 偶 数 中 间 共 插 入 了 3 个 奇 数 ， 可 分 为 两 种 情 形 ： 和 ， 则
．
所以 的分布列为
0 1 2 3
的期望为 ．
17．（本题满分15分）
（1）当 时，函数 ，
则 ，令 得 或 ，
当 或 时， ，当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
学科网（北京）股份有限公司即当 时， 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
（2） ，所以 为 的一个根，
故 有两个不同于1的实根，
令 ，则 ，
（ⅰ）当 时， ，故 在 上单调递增，不符合题意；
（ⅱ）当 时，令 ，得 ，
当 时， ，故 在区间 上单调递增，
当 时， ，故 在区间 上单调递减，
并且当 时， ；当 时， ，
所以若要满足题意，只需 且 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ．
18．（本题满分17分）
（1）设 ，则 ，
由 整理得
（2）证明：（方法一）设 ， ， ，
则 即
学科网（北京）股份有限公司联立 与曲线 的方程
得 且
解得 （舍去）或
将 代入 得
所以 ，其中
同理，可解得 ，其中
当 时，即 时，
此时 ，所以此时直线 的方程为 ；
当 时，
直线 的方程为
整理得 ，所以直线 过定点
（方法二）设 ，
学科网（北京）股份有限公司则由 及 三点共线得 ；
将上面两式相除，再平方可得： ①
因为 ， 均在曲线 上，
故满足 ； ②
将②代入①可得
整理可得 ③
当直线 的斜率存在时，设
将直线 的方程代入曲线 得
且
由韦达定理得 ，
将上式代入③式可得 解得 （舍去）或 ，
故直线 的方程为
当直线 垂直于 轴时，易求得此时 的方程为 ，
所以直线 过定点
（方法三）设 ， ， ，
易知直线 不垂直于 轴，所以设直线 的方程为
由 及 三点共线得
；
学科网（北京）股份有限公司由上式可得 ，即
将 ， 代入可得 ①
因为 ， 为曲线 上的点，
由（1）可知， ，所以 ，即
将 ， 代入可得 ②
① ②式相减可得
又易知 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，
故直线 过定点
19．（本题满分17分）
（1）解：因为 ，所以1为该数列的“佳幂数”；
又因为 ， ，
所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”；
所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18；
（2）解：由题意可得，数列如下：
第1组：1；
第2组：1，2；
第3组：1，2，4；
…
第 组： ，
则该数列的前 项的和为：
，①
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
由于 ，对 ， ，
故50不是“佳幂数”．
（3）（ⅰ）解：在①中，要使 ，有
出现在第44组之后，又第 组的和为 ，前 组和为
第 组前 项 的和为 ．
则只需 ．
所以 ，则 ，此时 ，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知： ．
当 ，且取任意整数时，可得“佳幂数” ，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个
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