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长郡中学 2024 届高考适应性考试（四）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ， ，则集合 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知复数 在复平面内对应的点为 ， 是 的共轭复数，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若向量 ， ，则“ ”是“向量 ， 的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．智能主动降噪耳机的工作原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片
生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线
（其中 ， ， ）的振幅为1，周期为 ，初相位为 ，则通过主动降噪芯片生成的
声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．4 B． C．2 D．
6．当圆 的圆心到直线 的距离最大时， （ ）
公众号《全元高考》A． B． C． D．
7．《九章算术・商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面 截正方体可得两个堑堵，
再沿平面 截堑堵 可得一个阳马（四棱锥 ），一个鳖臑（三棱锥
），若 为线段 上一动点，平面 过点 ， 平面 ，设正方体棱长为1，
，平面 与图中瞥臑的截面面积为 ，则点 从点 移动到点 的过程中， 关于 的函数图象大致是
（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列关于 的展开式的说法中正确的是（ ）
公众号《全元高考》A．所有项的系数和为64 B．常数项为第4项
C．共有3项整式 D． 项的系数是
10．已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 的最小值为1 B． ，
C． D．
11．已知抛物线 的准线方程为 ，焦点为 ， 为坐标原点， ，
是 上的两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为8
C．若直线 过点 ，则以 为直径的圆过点
D．若直线 与 的斜率之积为 ，则直线 过点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．设 ， 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则
________．
13．已知 ，对任意的 ，都有 ，则
________，函数 的最小值是________．
14．“迪拜世博会”上，中国馆取型中国传统灯笼，㝢意希望和光明．某人制作了一个中国馆的实心模型，
模型可视为由内外两个同轴圆柱组成．已知内层圆柱底面直径为 ，外层圆柱底面直径为 ，且内
外层圆柱的底面圆周都在一个直径为 的球面上，此模型的体积为________ ．
公众号《全元高考》四、解答题：本题共 小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ．
（1）求角 ；
（2）若 ，点 在边 上， ，求 ．
16．（15分）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查
了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试
数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110
分及以上视为优秀，将一个星期内有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常
整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%。
整理错题情况 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
图1 图2
（1）求图1中 的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数；
（2）根据图1、图2中的数据，补全上方 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析数
学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？
（3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机
抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀
的人数 的分布列和数学期望．
附
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
公众号《全元高考》17．（15分）如图，在四棱锥 中， ， ，
为 的中点．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．（17分）已知双曲线 的渐近线为 ，右焦点 到渐近线的距
离为 ．设 是双曲线 上的动点，过点 的两条直线 ， 分别平行于 的
两条渐近线，与 分别交于 ， 两点．
（1）求 的标准方程；
（2）证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
19．（17分）设 ， ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）当 时，求证： ；
（3）求证： ．
公众号《全元高考》答案
1．C【解析】由题意，当 时， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
即集合 中有3个元素，故选C．
2．B【解析】因为复数 在复平面内对应的点为 ，
所以 ， ，
则 ．故选B．
3．B【解析】若向量 ， 的夹角为钝角，则 且 ， 不共线，
所以 解得 且 ，
所以“ ”是“向量 ， 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B．
4．A【解析】因为噪音的声波曲线 （其中 ， ， ）的振幅为1，
周期为 ，初相位为 ，
则 ， ， ，
所以噪声的声波曲线的解析式为 ，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为 ．故选A．
5．A【解析】设数列 的公比为 ，
则 ，即 ，解得 或 （舍去），
公众号《全元高考》所以 ．故选A．
6．C【解析】因为圆 的圆心为 ，半径 ，
又因为直线 过定点 ，故当 与直线 垂直时，圆心 到直线 的距离最大，
此时有 ，即 ，解得 ，故选C．
7．B【解析】设 ， 分别为截面与 ， 的交点， ， ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
同理可得 ， ，
所以 ，所以 ，
易知 ，因此， ．故选B．
8．C【解析】方法一：因为 ，
所以 ， ．
公众号《全元高考》又因为 ，所以 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ．故选C．
方法二：因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
则
因为 ，
所以 ．故选C．
9．AC【解析】令 ，由 知，所有项的系数和为64，故选项A正确．
二项展开式的通项公式为 ．
令 ，解得 ，故展开式第5项为常数项，故选项B错误．
当 时， ，展开式为整式，故选项C正确．
当 时， ， ，故选项D错误．
故选AC．
10．ACD【解析】 ，当且仅当 时， 取得最小值1，故选
项A正确．
公众号《全元高考》因为当且仅当 时， 取得最小值，且最小值为1，所以 ，所以 ，故选
项B错误．
因为 ，所以 ，又 ，且 在 上单调递减，
在 上单调递增，所以 ，故选项C正确．
因为 ，所以 ，故选项D正确．
故选ACD．
11．AD【解析】因为抛物线 的准线方程为 ，所以 的解析式为 ．
因为准线方程为 ，故焦点 ，故选项A正确．
设 ，
联立
则 ，
故 ， ，
故 的中点坐标为 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，故选项B错误．
设 ，则 ，则 ，
公众号《全元高考》所以 的中点 到点 的距离 ，
故以 为直径的圆不过点 ，故选项 错误．
设 ，
因为 ，故 ，
即 ，所以直线 过点 ，故选项D正确．
故选AD．
12．2【解析】因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
13． ； 【解析】因为 ，
则 ， 是 的两个零点，
又 ，则 ， 也是 的两个零点，
故 ，则 ，
故 ．
又 ，故 ，
令 ，则 或 ，
故 ，
对称轴是 ，故当 ，即 时，函数 取得最小值 ．
公众号《全元高考》14． 【解析】由题意可知，实心模型由两个圆柱构成，
实心模型的体积=内层圆柱的体积+外层几何体的体积，
因为内层圆柱底面直径为 ，所以半径 ．
所以内层圆柱底面积 ．
因为外层圆柱底面直径为 ，所以半径 ．
所以外层圆柱底面积 ．
又内外层的底面圆周都在一个直径为 的球上，即 ．
如图，以内层圆柱为例，因为内层圆柱的底面圆周在球面上．
所以球心 与内层圆柱的底面圆心 的连线垂直于底面圆，即 ，
所以 ，
根据球的对称性可得，内层圆柱的高 ，
所以内层圆柱的体积 ，
同理，外层圆柱的高 ，
所以外层圆柱的体积 ．
由题意得，外侧几何体的体积等于外层圆柱体的体积减去高为12的内层圆柱体的体积，
故 ，
所以该几何体的体积为 ．
15．【解析】（1）方法一：由余弦定理得 ，
代入 得 ，
公众号《全元高考》所以 ．
又因为 ，所以 ．
方法二：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 ，所以 ．
又因为 ，
所以 ， ．
方法一：因为 ，
所以
．
又因为 ，所以 ．
因为 ，
公众号《全元高考》所以 ．
在 中，由正弦定理 得 ，所以 ．
方法二：因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
在 中，由正弦定理 得 ，所以 ．
16．【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
学生期中考试数学成绩的上四分位数为 分．
（2）数学成绩优秀的有 人，不优秀的有 人，经常整理错题的有
人，不经常整理错题的有 人，经常整理错题且成绩优秀的有
人，则 列联表如下．
整理错题随图 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设 ：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
（3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则 的
可能取值为0，1，2，
公众号《全元高考》经常整理错题的3名学生中，恰抽到 人记为事件 ，
则 ，
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到 人记为事件 ，
则 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
故 的分布列如下：
0 1 2
所以 ．
17．【解析】（1）如图1，取 的中点 ，连接 ， ，
公众号《全元高考》图1
因为 ，所以 ．
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又因为 ， ，
所以平面 平面 ．
而 平面 ，故 平面 ．
（2）连接 交 于点 ，连接 ，
由对称性知， 为 中点，且 ．
如图2，以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向，过点 作平面 的垂线为 轴，
建立空间直角坐标系，
公众号《全元高考》图2
则 ， ， ， ．
因为平面 平面 ，设 ，
则 ， ，
解得 ， ，即 ．
设平面 的一个法向量为 ，
因为 ， ，
则
令 ，得 ， ，故 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
由于 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．【解析】（1）因为渐近线方程为 ，所以 ，所以 ．
公众号《全元高考》又因为右焦点 到渐近线的距离为 ，所以 ，解得 ．
又因为 ，所以 ，所以 ．
所以双曲线 的标准方程为 ．
（2）方法一：设 ，过点 作与 平行的直线分别与双曲线 交于点 ， ，
联立 则 ，
整理得 ，
所以 ．
由于 ，故 ，
则 ，
故 ，所以 ，
同理可得 ，
所以直线 ： 恒过定点 ．
方法二：设 ，
公众号《全元高考》两边平方整理得 ，
因为 ， ，所以 ，
与双曲线 联立得 ， ，
由对称性，不妨取 ，
以 代替 ，得 ．
因为点 ， 关于原点对称，所以直线 过定点 ．
19．【解析】（1）因为 的定义域为 ，且 ，
所以 为偶函数，
下面取 ．
当 时， ，则 ，
当 时， ，可知 在 上单调递增，
当 时，令 ，则 ，
可知 在 上单调递增．
因为 ，则 ，使得 ．
当 时， ；
当 时， ；
公众号《全元高考》所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
则 在 内恒成立，可知 在 上单调递减．
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ．
又因为 为偶函数，所以 在 内的最小值为 ．
（2）由（1）可知 是定义在 上的偶函数，下面取 ，
可知 ，令 ．
因为 ，则 ，
则 在 上单调递增，可得 ，
即 在 上恒成立，可知 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，结合偶函数性质可知 ．
（3）由（2）可得，当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，即 ．
令 ， ， ，则 ，
当 时， ，
即 ，
公众号《全元高考》则 ， ，
相加可得 ．
因为 ，则 ，
所以 ，
即 ．
公众号《全元高考》
