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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）
黄金卷05·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A C B C C D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
BC BCD ABD ACD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．6 14．11 15． 16．1
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，因为 也符合上式．
所以 ．
（2）由（1）可知 ，
所以
．18．（12分）
【详解】（1） ，故 ，
即 ，故 ，
整理得到 ，即 ， ，故 .
（2） ， ，故 为等边三角形，即 ，
中： ，
即 ，
即 ，当且仅当 时等号成立.
.
19．（12分）
(2)存在点 ，使得二面角 的大小为 ， ．
【详解】（1）因为四边形 和 都是直角梯形，
所以 ， ，且 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）过点 、 分别作直线 、 的垂线 、 垂足为 、 ．
由已知和平面几何知识易知， ， ，
则四边形 和四边形 是矩形，所以在 和 中， ，假设在 上存在点 ，使得二面角 的大小为 ．
由（1）知 平面 ，则 是二面角 的平面角，
所以 ，所以 是正三角形．
取 的中点 ，则 ，又 平面 ，
所以 平面 ，过点 作 平行线 ，
则以点 为原点， ， 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ， ，
则 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，
又平面 的法向量 ，所以 ，
整理化简的 ，解得 或 （舍去）．
所以存在点 ，使得二面角 的大小为 ，且 ．
20．（12分）
【详解】（1）由函数 ，可得 ，所以 不是函数的零点，
因为函数 有且仅有一个零点，即方程 仅有一个实数根，
即方程 仅有一个实数根，即方程 仅有一个实数根，设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递减，
所以函数 的极小值为 ，
又由当 且 时， ；当 且 时， ，
所以函数 的图象如图所示，
要使得函数 有且仅有一个零点，则满足 或 ，
即实数 的取值范围是 .
（2）解：设 ，即 ，
当 ，令
满足 ，且 ，
若 在区间 单调递增，此时 ，不满足题意；
若 在区间 单调递减，此时 ，不满足题意；所以函数 在区间 上不是单调函数，所以函数 在区间 上必有极值点，
即存在 ，使得 ，即 ，
即 ，使得 .
21．（12分）
【详解】（1）设 ，由动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2，
可得 ，化简得 ，即 ，
故点P的轨迹C的方程为 ；
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由 对应渐近线方程为： ，易判断 ，
得 ，设 ， ，
则 ， ①，
由 ， 得：
，
，即 ， ，
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，化简得 ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.
22．（12分）
【详解】（1）填写列联表如下：
吸收足
吸收不足量 合计
量
植株存活 12 1 13
植株死亡 3 4 7
合计 15 5 20
零假设为 ：“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到： ，
依据 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为“植株的存
活”与“制剂吸收足量”无关．
（2）由题意得 ．又 ，故 ．
把 换成 ，则 ．
两式相减，得 ，
即 ．
又 ，
故 对任意 都成立，
从而 是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，因此 ．
由定义可知 ，
而 ，下面先求 ．
，
，
作差得
．
所以 ，当 足够大时， ， ，故
，可认为 ．
