文档内容
广州市真光中学 2025 届高三开学质量检测
数学
2024.08
本试卷共 5页，19小题，满分 150分.考试用时 120分钟.
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在答
题卡的相应位置填涂考生号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相
应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上
要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项、是符合题目要求的.
A={−1,0,1,2} B= { x|x2 <2 } AB=
1. 已知集合 ， ，则
A. {0,1} B. {−1,1} C. {−1,0,1} D. {0,1,2}
2. 已知复数z满足 ( 1+i ) z =i3（i为虚数单位），则z =（ ）
1 i 1 i 1 i 1 i
A. − B. − − C. + D. − +
2 2 2 2 2 2 2 2
( )
3. 已知向量a=( 1,λ)，b=(2,−1)．若 a+2b ⊥b，则λ=（ ）
A. 1 B. −1 C. 12 D. −12
4. 已知2cos
( 2α+β)−3cosβ=0，则tanαtan (α+β)=（
）
1 1
A. 5 B. C. -5 D. −
5 5
x2 +(4a−3)x+3a, x<0
5. 已知函数 f(x)= (a >0且a≠1)在R上单调递减，则a的取值范围为
log (x+1)+1, x≥0
a
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司1 3 3 3 1 3
A. , B. 0, C. ,1 D. ,
3 4 4 4 3 4
6. 已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积
的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（ ）
A. 8:5 3 B. 4:5 3 C. 2 3:5 D. 4:11 3
7. 函数y =
x2 +x+1
与y =3sin
πx
+1的图像有n个交点，其坐标依次为
(x,y)
，
(x,y )
，，
1 1 2 2
x 2
n
( x ,y ) ，则∑( x + y )=（ ）
n n i i
i=1
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
x 1
8. 定义在R 上的函数 f(x)满足 f(0)=0， f(x)+ f(1−x)=1， f = f(x)，且当0≤ x < x ≤1
5 2 1 2
1
时， f(x )≤ f(x )，则 f =（ ）
1 2 2024
1 1 1 1
A. B. C. D.
256 128 64 32
二、选择题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分
9. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自
行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分
钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A. P(X＞32)＞P(Y＞32)
B. P(X≤36)＝P(Y≤36)
C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
10. 已知 f ( x ) 是定义在R 上的奇函数，当x∈( 0,+∞) 时， f ( x )= x3−3x−2，则（ ）
( )
A. f x 的极大值点为−1
B. 函数y = f ( x )− 10的零点个数为3
C. 函数y = f ( f ( x )) 的零点个数为7
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学科网（北京）股份有限公司D. f ( f ( x )) >0的解集为 (−2,0 )( 2,+∞)
11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的
轨迹.我们称其为卡西尼卵形线
(
CassinniOcal
)
.在平面直角坐标系中，设定点为F
(−2,0 )
,F
(
2,0
)
，点O
1 2
为坐标原点，动点P ( x,y ) 满足 PF ⋅ PF =4.下列四个命题中，正确的是（ ）
1 2
A. 点P的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B. 点P的横坐标的取值范围是
[−4,4 ]
C. PF + PF 的最小值为4 D. △FPF 的面积的最大值为2
1 2 1 2
三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
x2 y2
12. 双曲线 − =1，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方
a2 b2
形，求双曲线的离心率为________.
13. 已知曲线C ： f ( x )=ex +a和曲线C ：g ( x )=ln ( x+b )+a2( a,b∈R ) ，若存在斜率为1的直线与
1 2
C ，C 同时相切，则b的取值范围是__________.
1 2
14. 编号为1、2、3、4的四名学生随机入座编号为1、2、3、4的座位，每个座位坐1人，座位编号和学
生编号一致时称为一个“配对”，用X表示“配对”数，则X的期望E
(
X
)=___________．
四、解答题:本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9 a 2
15. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知cosB= ，b=5， = ．
16 c 3
（1）求a；
（2）求sinA；
（3）求cos ( B−2A ) 的值．
x2 y2
16. 已知椭圆E： + =1 ( a >b>0 )，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正
a2 b2
( )
方形.过点 ( 0,t ) t > 2 且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B，过点A和C ( 0,1 ) 的直线AC
与椭圆E的另一个交点为D．
（1）求椭圆E的方程及离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．
17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB= BC =1，AD=3,点E在AD上，且PE⊥AD，
PE = DE =2．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若F 为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．
（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
18. 设函数 f ( x )= x+kln ( 1+x )( k ≠0 ) ，直线l是曲线y = f ( x ) 在点( t, f (t))(t >0)处的切线．
( )
（1）当k = −1时，求 f x 的单调区间.
（2）求证：l不经过点
(
0,0
).
（3）当k =1时，设点A ( t, f ( t ))( t >0 ) ，C ( 0, f ( t )) ，O ( 0,0 ) ，B为l与y轴的交点，S 与S
ACO ABO
分别表示△ACO与ABO的面积．是否存在点A使得2S =15S 成立？若存在，这样的点A有
△ACO △ABO
几个？
（参考数据：1.09
