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2024 届高三第三次模拟考试
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D B A B A C D D C C A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． （或其它合理答案） 14． 15． 16．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）
解：（1）设角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
由余弦定理，将 ， 代入 ， ………………2分
得 ，化简得 ，
解得 或 （舍）； ………………6分
（2）因为 ， ………………9分
所以 ． ………………12分
18．（12分）
解：（1）由题易知组距为 ，
所以 ，解得 ， ………………2分
设平均数为 ，则 ，
估计全校学生周平均阅读时间的平均数为 小时； ………………6分
（2）由频率分布直方图可知不小于 小时的分为 和 两组，频数之比为 ，
这两组被抽取的人数分别为 ， ，
记 中的 人为 ， ， ， ， 中的 人为 ， ， ………………8分
从这 人中随机选出 人，则样本空间
，
共15个基本事件， ………………10分
设事件 为这2人都来自 ， ，共6个样本点，
所以 ． ………………12分
1
学科网（北京）股份有限公司19．（12分）
解：（1）由题易知 ，又 ，
又因为 ，
， 平面 ，所以 平面 ， ………………2分
又因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，点 为 中点，所以 ， ………………4分
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ； ………………6分
（2）由（1）知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 ， ………………8分
所以 ， ………………9分
因为 ， ，
所以 ，………………11分
所以三棱锥 的体积 ． ………………12分
20．（12分）
解：（1）由椭圆的定义知 ，所以 ，
将 代入椭圆 的方程得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ； ………………4分
（2）①当直线 与 轴重合时，可设 ， ，
由相似三角形的性质得 ， ，
所以 ； ………………7分
②当直线 不与 轴重合时，设 的方程为 ，
同时设点 ， 的坐标分别为 ， ，
由题意，直线 不过点 和 ，所以 ，
联立 得 ，
由题意知 ，所以 ，且 ， ， ………………9分
由题意知直线 ， 的斜率存在，则 ，
2
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
同理可得 ， ………………11分
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
综上所述， ． ………………12分
21．（12分）
解：（1）由题得 ，曲线 在点 处的切线方程为
，即 ， ………………2分
令 得 ，此切线交 轴于点 ，
所以 ； ………………4分
（2）若 为等差数列，设其公差为 ，
则 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
因此 最多有两不同的根，即最多3项成等差数列， ………………8分
若 ， ， 成等差数列，即 ，
由（1）知 ，所以 ，又 ，
记函数 ，则 ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递增， ……………10分
，
又
又 ，
3
学科网（北京）股份有限公司所以存在 ，使得 ，
所以存在 ，使得 ，即 为等差数列
此时 ，数列 的项数为3． ………………12分
22．（10分）
解：（1）将 ， 代入 的参数方程得 ，
即 的极坐标方程为 ， ， ………………2分
将 ， 代入 的参数方程得 ，
化简得曲线 的极坐标方程为 ； ………………5分
（2）设 ， ，联立直线 与曲线 的极坐标方程，
得 ，化简为 ，
因为判别式 ，即 ， ………………8分
又因为 ，所以 ，解得 ，
同时 ，所以 ，解得 ， ，
所以 ，结合 ，解得 ． ………………10分
23．（10分）
解：（1） 时，即解不等式 ， ………………1分
当 时，不等式为 ，解得 ， ………………2分
当 时，不等式为 ，不等式恒成立， ………………3分
当 时，不等式为 ，解得 ， ………………4分
综上所述：不等式 的解集为 ； ………………5分
（2） 即为 ，
①当 时，不等式为 ，
即 ，不等式恒成立， ………………7分
②当 时，对 时，不等式为 ，
此时不等式对 不恒成立， ………………9分
4
学科网（北京）股份有限公司综上所述： 的取值范围为 ． ………………10分
5
学科网（北京）股份有限公司解析：
1．【命题意图】涉及集合的表示方法，集合间的基本关系与基本运算，考查学生的逻辑推理能力。
【解析】因为 ，所以 ，选B．
2．【命题意图】涉及复数的表示，四则运算，考查学生的符号意识与运算能力。
【解析】 ，选D．
3．【命题意图】考查学生对数的直观感知能力，及对基本初等函数的性质的理解。
【解析】 ， ， ， ，选B．
4．【命题意图】考查学生阅读能力，快速获取信息能力，要求学生有直观感知图象，数学抽象的核心
素养。
【解析】因为函数 的定义域为 ，故排除D，又因为 是奇函数，故排除 B，令
，得 ，排除C，选A．
5．【命题意图】涉及函数的图象与性质考查学生对基本知识，基本方法，基本技能的考查。
【解析】因为 与 是相关关系，故B选项中的“一定”用词不当，选B．
6．【命题意图】考查学生对向量的四则运算，模，数量积的理解，培养学生知识迁移能力，同时提高
学生数学思考水平。
【解析】设 ，两边平方得 ，又 ，即
， ； ，即 ，故 或
，故前者是后者的充分不必要条件，选A．
7．【命题意图】涉及三角函数的定义，垂直的两角的三角函数值的数量关系，二倍角公式；培养学生
良好的数感、量感。
【解析】因为 ，所以 ，所以
，选C．
8．【命题意图】涉及函数与导数的关系，同时和奇偶性结合起来，考查学生对函数的基本性质的理
解，同时又需要学生函数的研究方法有深刻认识。
【解析】当 时， 的导函数 ，令 ，解得 ，又因为
为奇函数，在对称区间的单调性相同，所以 时， 单调递增区间为 ，选D．
9．【命题意图】对数列必备知识有一定要求，对等差、等比数列性质的综合性应用较高，考查学生数
学运算的核心素养。
【 解 析 】 因 为 数 列 是 等 差 数 列 ， 所 以 ， 化 简 得
，由等比数列的性质得 ，解得 （舍去 1），又 ，所以
，所以 ，所以 ，选D．
10．【命题意图】本题涉及抛物线、直线的几何性质，借用垂直平分线的思想将系数将目标转化为两线
段的和，再利用三角形的基本知识求得结果，有一定的创新性和综合性，考查数学建模、数学运
算、直观想象的核心素养。
【解析】设 的坐标为 ， 关于 的对称点是 ，容易知道 ，所以
， ， ， 由 二 次 函 数 的 性 质 得
，选C．
6
学科网（北京）股份有限公司11．【命题意图】涉及空间几何体的结构特点，点线面之间的关系，需要学生有一定空间观念，空间想
象能力，考查学生直观想象，数学建模，数学运算核心素养。
【解析】当直线经过正方体对面中心时，正方体绕直线旋转 时，与自身重合；当直线经过
正方体的体对角线时，正方体绕直线旋转 时，与自身重合；当直线穿过正方体对棱中点
时，正方体绕直线旋转 时，与自身重合；其他情况，正方体绕直线旋转 时，与
自身重合，选C．
12．【命题意图】本题涉及三角函数的图象与性质，辅助角公式，诱导公式的综合应用，对学生能力要
求较高，兼顾数学知识的综合性与应用性。
【解析】方程 可化为 ，因为 ，所以实数 ， 满足
，化简得 ，不妨设 ，又因为 ，即
， 又 ， ， 所 以
，选A．
．【命题意图】开放性型题目，考查学生对双曲线的性质，培养学生的创新能力。
13
【解析】设双曲线的方程为 ，因为 ，所以有 ，可填 ．
14．【命题意图】涉及圆锥的几何性质，需要学生准确旋转体的侧面展开图，需要学生的空间想象力。
【解析】圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆，则圆锥底面周长为 ，底面半径为 ，又圆锥的母
线为 ，所以圆锥的高为 ，故填 ．
15．【命题意图】本题考查不等关系与不等式，探究两个正实数的平方和与和之间的关系，因为含有参
数，需要学生对均值不等式有一定的理解。
【解析】 ，当且仅当“ ”时，取“=”，故填 ．
16．【命题意图】考查学生对指数函数性质的直观体验，函数的零点，导数的几何应用，考查数形结合
的数学思想。
【解析】函数 大于 的零点有且只有一个，即函数 与函数 在区间
上有且只有一个交点，当 时，显然没有交点，不符合题意；当 时，由指数函数的性质知，
只有两曲线相切时符合题意，不妨设切点为 ，则容易得到 且 ，解得
，故填 ．
17．【命题意图】此题背景比较简单，需要学生有一定的分析能力，对正余弦定理有一定的理解，考查
学生数学抽象，数学运算等能力。
18．【命题意图】此题以频率分布直方图入题，利用频率分布直方图解决统计概率的问题，第二问是经
典的古典概型的求解，考查数学建模，数据处理等素养。
19．【命题意图】此题以四棱锥为载体，先是考查直线与平面的位置关系，再考查四点共面的向量表
达，或者空间几何题的截面问题，考查学生的空间想象，数学运算等能力。
20．【命题意图】此题是充分利用导数的几何意义，求取数列的项，是一个融合导数，数列的综合题
目，学生要有一定应用意识，创新意识，考查学生数学抽象，数学建模，数学计算等素养。
21．【命题意图】此题利用点到焦点 ， 的距离之和的关系，利用对数据处理能力才能快速地入题解
决，第二问也需要一定数据处理能力，总体计算量不大，但是对学生的数学运算核心素养要求较
高，有一定的区分度。
22．【命题意图】此题考查直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，考查学生关键能力。
23．【命题意图】涉及含绝对值的谈论问题，考查学生的分析问题能力。
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学科网（北京）股份有限公司
