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高三学年考试
数 学 试 题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 , ,则 （ ）
A． B. C. D．
2. 5名应届毕业生报考3所不同院校，每人报考且仅报考1所院校，则不同的报名方法种数是(
)
A. B. C. D.
3. 一份新高考数学试卷中有8道单项选择题，小李对其中5道题有思路，3道题完全没有思路。
有思路的题做对的概率是 ，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为 ，则小
李从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知 为虚数单位，复数 且满足 ，求点 到直线
距离的最大值为（ ）
A. 0 B. C. D.
5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中
酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员
喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒
精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（结果取整数，参考
数据： ， ）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6. 已知 为不共线的平面向量， ，若 ，则 在 方向上的投影向量为（
）A. B. C. D.
7. 已知 = 是定义在 上的奇函数，且 在区间 上单调递减，若关于实数
的不等式 + 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 ， ．若 有5个零点，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错误的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：
6，5，7，9，6，8，9，9，7，5, 这组数据的下四分位数为9
B.若随机变量 100, ，且 20，则 16
C.若随机变量 , ，且 ，则
D.对一组样本数据 , , ,进行分析，由此得到的线性回归方程为：
，至少有一个数据点在回归直线上
10. 已知 为函数 的一个对称中心，则（ ）
A. B. 函数 为奇函数
C. 曲线 关于 对称 D. 函数 在 单调递增11.如图，已知正方体 的棱长为 ， 为底面
内(包括边界)的动点，则下
列结论正确的是（ ）
A.三棱锥 的体积为定值
B．存在点 ，使得
C.若 ，则 点在正方形底面 内的运动轨迹长为 2
D.若点 是 的中点，点 是 的中点，过 ， 作平面 平
面 ，则平面 截正方体 的截面面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点 在 终边上，则
_____
13. 已知 ,则 (用数字作答)
14. 设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点， 是线段 上的点，且
，则直线 的斜率的最大值为
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(13分)设 ，若数列 的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项
(Ⅰ) 求数列 的通项公式；
(Ⅱ) 若 是以 为首项， 为公差的等差数列，求数列 的前 项和 ．
16.(15分)某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从
类7道题中任选4道进行答题，答完后正确数超过两道（否则终止比赛）才能进行第二轮
答题。第二轮答题从 类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止。 类题每答对一道得
10分， 类题每答对一道得20分，答错不扣分。以两轮总分和决定优胜者。总分70分或80
分为三等奖，90分为二等奖，100分为一等奖。某班小张同学 类题中有5道会做， 类5
题中，每题答对的概率均为 ，且各题答对与否互不影响.
(Ⅰ) 求小张同学被终止比赛的概率；
(Ⅱ) 现已知小张同学第一轮中回答的 类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分
的分布列及期望；
(Ⅲ) 求小张同学获得三等奖的概率.17.（15 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ． 为 的中点，点 在 上，且 ．
(Ⅰ) 求证： 平面 ；
(Ⅱ) 求平面 与平面 夹角的余弦值.
(Ⅲ) 设点 在 上，且 ．判断直线
是否在平面 内，说明理由
18.(17分)已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,双曲线 的虚轴
长为 ，有一条渐近线方程为 , 如图，点 是双曲线 上位于第一象限内的点，过
点 作直线 与双曲线的右支交于另外一点 ，连接 并延长交双曲线左支于点 ，连接
与 ，其中 垂直于 的平分线 ，垂足为 .
(Ⅰ) 求双曲线 的标准方程；
(Ⅱ) 求证：直线 与直线 的斜率之积为定
值；
(Ⅲ) 求 的最小值.
19.(17分)设
,(Ⅰ) 当 时，求函数 的最小值；
(Ⅱ) 当 时,求证: ;
Ⅲ) 求证:
(数学试题 参考答案
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D C B D A
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错误的得0分.
题号 9 10 11
答案 BC BCD ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
三、解答题
15（13分）【解析】（1），由于 是2与 的等差中项；所以 ①，.....1分
当 时，解得 ；.......2分 当 时， ②，① ②得：
，整理得 ，.....3分
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列；所以 （首项符合通
项），所以 ；................5分
（2）若 是以2为首项，4为公差的等差数列，所以 ，所
以 ，或 ......6分
故 ①， ②，......8分
① ②得： ；.......10分整理得 .......13分
16、（15分）解析：小张同学被终止比赛的概率为 .......3分
分
......8
分布列如下
X 40 60 80 100
P
.........10分
分
.......... 15
17、（15分）（1）因为 平面 ，又 平面 ，则 ，
又 ，且 ， ， 平面 ，故 平面 ；
,
.....5分
（2）过点 作 的垂线交 于点 ，因为 平面 ，且 ， 平面 ，所以 ， ，
故以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，..6分
则 ，
因为 为 的中点，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，故 ，....8分
又因为平面 的法向量为 ，
所以 ，
.....10分
（3）直线 不在平面 内，....11分
因为点 在 上，且 ，又 ，故 ，
则 ，由（2）可知，平面 的法向量为
，所以 ，所以直线 不在平面 内．....15分
（第三问，通过共面向量基本定理且有一个公共点的证明方法，同样给分）
18.（17分）解析
(1)因为虚轴长为2, 即: 2b=2,所以 b=1.又因为有一条渐近线方程为 ，所以
所以双曲线C的标准方程为 . ...3’
(2)由题意，点 A 与点 P 关于原点对称. 设 ,则
由题意可知直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ,
记 ，又直线 为 ∠F₁PF₂的平分线，则 ...6’
因为 ，所以
所以 |⃗PF |=√(−2+x ) 2+ y2 = √ (−2+x ) 2+ x2 0−1= 2√3 x −√3,
1 0 0 0 3 3 0
2√3
同理 |⃗PF |= x +√3. ...9’
2 3 0
又 ， ，代入 得,
， 化简得
所以 ，即直线 OA与直线m 的斜率之积为定值. ...11’
(3)由(2)可知 x₀=3ky₀.又 x₀>0,y₀>0,所以k>0,
将
x₀=3ky₀
代入 x2
0−y2=1,x >√3
得,
x =
3k
,y =
1
,
3 0 0 0 √3k2−1 0 √3k2−1
所以 ( 3k 1 ) 3k 1 √3
A , ,P(− , − ),k> .
√3k2−1 √3k2−1 √2k2−1 √3k2−1 3设直线m的方程为 ,将 ( 3k 1 )代 入 得 n
y=kx+n P − ,− =√3k2−1,
√3k2−1 √3k2−1
√3
所以直线m的方程为 y=kx+√3k2−1,k> .由点到直线距离公式得，
3
...13’
1
又直线 AB 的斜率为 − ,设直线 AB 的方程为x=−ky+t,
k
将 A ( 3k , 1 )代 入 得 t= 4k , 所 以 直 线 AB 的 方 程 为
√3k2−1 √3k2−1 √3k2−1
4k
x=−ky+ .
√3k2−1
将其与 x2 联立得 8k2 7k2+3
−y2=1(x⟩0) (k²−3)y²− y+ =0。
3 √3k2−1 3k2−1
设 则
8k2 7k2+3
A(x₁ , y₁),B(x₂ , y₂), y₁+ y₂= ,y y = .
(k2−3)√3k2−1 1 2 (k2−3)(3k2−1)
...15’
由 y₁y₂<0 得 k2∈ (1 , 3 ) ,
3
3
所以 |AB|=√1+k2|y 1 −y 2 |=√1+k2 √(y 1 + y 2 ) 2−4 y 1 y 2 = (3− 6 k ( 2 k ) 2 √ + 3 1 k )2 2−1 .
所以
S
APB =
|AB|
=
3(k2+1) 2
≥
3(k2+1) 2
=3,
S |AD| (3−k2)(3k2−1) (k2+1) 2
APD
当且仅当 3−k²=3k²−1,即 k²=1时等号成立，所以当且仅当 时, S 的最小值为3. ...17’
k=1 APB
S
APD
19. （17分）解析(1)因为f(x) 的定义域为 R,
且 ，所以 为偶函数,
f (−x) =a(−x)²+cos(−x)−1=ax²+cosx−1=f(x) f(x)
1 x2 2x
下面取 x≥0。当 a= 时, f (x)= +cosx−1,则 f'(x)= −sinx,
π π π
当 x> π时, f'(x)= 2x −sinx>1−sinx≥0, 可知 f(x) 在 (π ,+∞ ) 上单调递增，
2 π 2
π时，令 当则 2 可知 在 [ π]上单调递增.
0≤x≤ g(x)=f'(x), g'(x)= −cosx, g'(x) 0,
2 π 2
因为 2 则∃ ( π) 使得 2 当 时,
0< <1, x ∈ 0, , cosx = . x∈[0,x₀) g'(x)<0;
π 0 2 0 π
当 ( π]时, 所以 在 上单调递减,在 ( π]上单调递增，且
x∈ x , g'(x)>0; g(x) [0,x₀) x ,
0 2 0 2
(π)
g(0)=g =0,
2
则 在 [ π]内恒成立，可知 在 [ π]上单调递减.
f'(x)=g(x)≤0 0, f(x) 0,
2 2
综上所述, 在 [ π]上单调递减，在 (π ) 上单调递增，
f(x) 0, ,+∞
2 2
所以 在[0,+∞)上的最小值为 (π) π
f(x) f = −1.
2 4π
又因为f(x)为偶函数，所以f(x) 在 R 内的最小值为 −1. ...5’
4
(2)由(1)可知 f(x)是定义在 R上的偶函数,下面取x≥0,
可知 令
f'(x)=2ax−sinx, φ(x)=f'(x)=2ax−sinx.
1
因为 a≥ ,则 ϕ'(x)=2a−cosx≥1−cosx≥0,则φ(x)在[ [0,+∞)上单调递增，可得
2
即 在 上恒成立，
φ(x)≥φ(0)=0, f'(x)≥0 [0,+∞)
可知 f(x)在[ [0,+∞)上单调递增，
所以 f(x)在[0,+∞)上的最小值为f (0)=0,结合偶函数性质可知 f (x)≥0. ...11’
1 1
(3)由(2)可得,当 a= 时, f (x)= x2+cosx-1≥0,当且仅当 x=0 时,等号成立,即
2 2
1
cosx≥1− x2.
2
1 1 1
令 x= ,n≥2,n∈N∗,则 cos >1− ,
n n 2n2
当 n≥2 时, cos 1 >1− 1 =1− 2 >1− 2 =1− ( 1 − 1 ) ,
n 2n2 4n2 4n2−1 2n−1 2n+1
即 1 ( 1 1 )
cos >1− − ,
n 2n−1 2n+1
则 1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
cos >1− − ,cos >1− − ,⋯,cos >1− − ,
2 3 5 3 5 7 n 2n−1 2n+1
相加可得 1 1 1 (1 1 ) 4 1
cos +cos +⋯+cos >(n−1) − − =n− + .
2 3 n 3 2n+1 3 2n+1
1
因为 n≥2,则 >0, 所以
2n+1即 ...17’
，
