湖北省重点高中智学联盟2025届新高三8月联考考试数学试卷答案_8月_240818湖北省重点高中智学联盟2025届新高三8月联考考试_湖北省重点高中智学联盟2025届新高三8月联考考试数学

2025 届高三年级八月智学联考数学答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B A D D C A C A
二、多选题
9 10 11
AC ABD ABD
三、填空题：
2
12、6 3 13、2 14、y x
3
四、解答题
15【. 详解】（1）证明：过点P作直线PO BD于点O，因为平面PBD平面ABCD，所以PO平面ABCD，
CQ平面ABCD，所以PO CQ，PBCQ，所以CQBD．由四边形ABCD
是直角梯形，且AB 3,BC2AD2,ABBC．在直角△ABD中，
π
BD AB2AD2 2 ，可得DC 2,BCD ，从而△BCD是等边三角形，
3
 
CQBD， CBD ，所以BCQ ．从而
3 6
 2 3 3
BQBCtanBCQ2tan  ，AQ ABBQ ，所以
6 3 3
AQ:QB1:2
（2）解：因为PBPD，所以O是BD的中点，连接OC．
因为平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，所以PO平面ABCD，
1 1 3 3 3 3
V  S PO  PO ，所以PO3．
PABCD 3 ABCD 3 2 2
以O为原点，以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，在等边△BCD中，OC  3，
如图，B1,0,0,C  0, 3,0  ,D 1,0,0,P 0,0,3 ，可得  P  D  (1,0,3),  P  C  (0, 3,3)，设平面PCD的一
 
  n PD x3z  0 
个法向量为n (x,y,z)，则 1  ，解得x3z,y 3z，法向量n  z(3, 3,1)令z 1
1 1
n PC  3y3z 0
1
 
得，n   3, 3,1  ，而n 0,0,1是平面ABCD的一个法向量，所以二面角PCDA的余弦值
1 2
 
n n 1 13
cos 1 2   ．
n n 131 13
1 2
16.【详解】（1）若a 1 ，设切点横坐标是t，则切线斜率k  ft 1 e2 t 1，切线方程是
2 2
ye2 t 1  1 e2 t 1 xt ，因为切线过原点，所以0e2 t 1  1 e2 t 10t，解得，t2，所以切线方程是
2 2
e2
y x；
2（2）首先注意到 f

0
e，g 
x
eax12xe，x 0，g
x
aeax12，
①若a0，则g
x
0在x0时恒成立，故g 
x

单调递减，则对所有x0，g

x

g

0
0，不满
足题意，故舍去；
 2 1 2  1 2 
②若a0，则g x aeax1 ，令g x  <0得，x ln 1；令g x  >0得，x ln 1．所
 a a a  a a 
 1 2  1 2  
以，g  x  在, ln 1上单调递减，g  x  在 ln 1,上单调递增．
 a a  a a  
（ⅰ）若0a 2 ，则ln 2 1，即 1 ln 2 1  0，所以g  x  在  0, 1 ln 2 1    上单调递减，
e a a a   a a 
1 2   1 2 
 ln 1,上单调递增，则g  x   f  ln 1  f  0  0不满足题意，故舍去；
a a   min a a 
（ⅱ）若a 2 ，则ln 2 1，即 1 ln 2 1  0，所以g  x  在0,上单调递增，则对所有x0，
e a a a 
g

x

f

0
0，符合题意．
2 
综上所述，a的取值范围是

,．
e 
1
17.【详解】（1）由题意PX 305 1PX 1 10.68270.84135，若某天该商场有200
2
位顾客，估计该天消费额X 在305，内的人数为0.84135200168.27168；
 3  3 1
（2）设X的取值为0，10，20，则P(X 0)  1   1   ，
 4  4 16
3 1 1 1 3 1 1 5 5
P(X 10)        ，P(X 2)1P(X 0)P(X 1) ，所以X的分
4 3 3 4 4 3 3 48 6
布列为：
X 0 10 20
1 5 5
P
16 48 6
1 5 5 425
数学期望E(X)0 10 20  ．
16 48 6 24
ac1

18.【详解】（1）由椭圆上的点到焦点的最近距离是1，故ac1，则 a2b2  7，解得a2，b 3，

a2 b2c2

c1，即椭圆E的方程为
x2

y2
1；（2）设Bx，y 、Cx ,y ，由题可知，A2，0，则k 
y
1 ，
4 3 1 1 2 2 1 x 1 2y y y
k
2

x 
2
2
，所以k
1
k
2

xx 2
1
x
2
x 4
①.由题意，设BC所在的直线方程为ykx4，联立
2 1 2 1 2
ykx4
 x2 y2 可得，  34k2 x232k2x64k2120，且  32k22 4  4k23  64k212  0 ，解得
  1
 4 3
0 k  1 依据韦达定理，x x  32k2 ，x x  64k212 ，设直线AB的方程为y y 1 x2 ，直线
2 1 2 34k2 1 2 34k2 x 2
1
AC的方程为y y 2 x2 ，则依题设，M  4， 6y 1  、N  4， 6y 2  ，y kx 4，y kx 4，
x 2  x 2  x 2 1 1 2 2
2 1 2
6y 6y 6yx 12y 6y x 12y 36kx 36k x x
则 MN  1  2  1 2 1 2 1 2  1 2  36k  1 2 ，即
x 2 x 2 xx 2x x 4 xx 2x x 4 xx 2x x 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1024k4 256k2 48

x x 2 4xx  34k2 34k2
MN  36k  1 2 1 2  36k  ，化简得
xx 2x x 4 144k2
1 2 1 2
34k2
144576k2 14k2 1 1 1
MN  36k  3 3 4，依题设， MN 3 4 3 5，所以k  ，满足
144k2 k2 k2 k2 3
1
0 k  合题意．
2
1
综上所述，直线的斜率k  ．
3
19.【详解】（1）a 有三种结果： 1，1，2，2或1，2，2，2或1，2，4，2；
n
a a a
（1）当m2025时，n2,3,,2024．由a 1,1 2 2,,1 n1 2,1 n 2，累乘得1a 2n1①；
1 a a a n
1 n2 n1
a a a a
又由1 n 2,，1 n1 2,,1 2023 2,1 2024 2,1a a ，累乘得1a 22025na ②；将①
a a a a 2025 2025 n 2025
n1 n2 2024 2025
②相乘得1a2 22024a ，又a N*，a 16，所以1a 21014. 所以数列a 的最大项的最大值为21014，
n 2025 n 2025 n n
 2n1 n1,2,,1015
满足条件的数列为a  ；
n 22029n n1016,1017,,2025
（3）①讨论项数满足1  k  M 的情况：
a
因为数列{a }满足：当1nM 1时1 n1 2，a 1，所以0a 2，又因为当1iM 1，都有a N，
n a 1 2 i
n
所以a 1或a 2，当a 2时，a a 2，此时a a 2a a ，这与在剩下的项中总存在满足
2 2 2 4 3 1 2 3 4
1 pqM的项a 和a ，使得a a a a 矛盾，所以a 1，类似的，必有a 1，a 1，a 2，a 2，
p q s t p q 2 3 4 5 6
由a a a a 得前6项任意两项之积小于等于4时，均符合，要使得m值要尽量小，则需要每项尽可能
s t p q大，且则a a 4a a ，a 22，同理，a 23，a 24，，a 22023，由对称性得最后6项为
5 6 1 7 7 8 9 M6
a a a a 22025，a a 22024，当{a }中间各项为公比为2的等比数列时，可使得M值
M M1 M2 M3 M4 M5 n
最小，且M的最小值为M 6202262034，满足已知条件．
min
②讨论项数满足M k m的情况：
类比①可知a a  a  a 22025，a a 22024，a 22023，a 22022，，a 23，
M M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 m7
a 22，a 2，a 2，a a a a 20 1．
m6 m5 m4 m3 m2 m1 m
综上所述，m的最小值m 2034214067．故答案为：4067．
min