2024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习数学试题卷学生版（最终版本）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

绝密 ★ 启用前 2024 年 2 月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习 (cid:830) (cid:403) 本试卷共 5 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. (cid:873)(cid:459)(cid:386)(cid:1467)(cid:48877) 1. 答卷前，考生务必将自己的学校、考号（即 QQ 号后 6 位）填写在答题卡上. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 最终请按照要求在 “雨课堂”直接选中您作答的选项或直接在指定位置填写选项答案. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上; 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不按 以上要求作答无效. 最终请逐题按照要求上传至“雨课堂”的指定位置，要求字迹工整、清晰. 4. 请认准“鱼塘杯”高考适应性练习官方信息发布群 778435509，后续阅卷申诉、奖金颁发 和获奖名单公示都在此群内进行. 本联考活动最终解释权归鱼塘杯联考命题组所有. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 设复数 𝑧 = 1+i,𝑤 = 3+2i，则 𝑧+𝑤 的虚部是 A. −3 B. 3 C. −3i D. 3i 2. 如果可导曲线 𝑦 = 𝑓(𝑥) 在点 (𝑥 ,𝑓(𝑥 )) 的切线方程为 𝑥+e𝑎𝑦−3 = 0，其中 𝑎 ∈ R，则 0 0 A. 𝑓′(𝑥 ) > 0 B. 𝑓′(𝑥 ) = 0 C. 𝑓′(𝑥 ) < 0 D. 无法确定 0 0 0 3. 设锐角 𝛼 满足 tan𝛼 ∈ (0,1)，则数据 sin𝛼,cos𝛼,sin(𝜋−𝛼),cos(𝛼+𝜋) 的极差是 √ 𝜋 √ 𝜋 A. 2sin𝛼 B. 2cos𝛼 C. 2sin(𝛼− ) D. − 2sin(𝛼− ) 4 4 𝑥2 𝑥2 4. 设焦距相同的椭圆 𝐶 ∶ +𝑦2 = 1 和双曲线 𝐶 ∶ −𝑦2 = 1(𝑎 > 0) 相交于分别位于第 1 4 2 𝑎2 一象限、第二象限的 𝐴,𝐵 两点，两圆锥曲线的公共左焦点为 𝐹，则 |𝐹𝐴|2−|𝐹𝐵|2 的值是 √ √ √ √ A. 2 B. 2 2 C. 4 2 D. 8 2 5. 已知公比 𝑞 与首项 𝑎 均不为 0 的等比数列 {𝑎 }，则“{𝑎 } 单调递增”是“𝑞 > 1”的 1 𝑛 𝑛 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知三棱锥 𝑃 −𝐴𝐵𝐶 底面 △𝐴𝐵𝐶 为边长为 2 的等边三角形，𝑂 是底面 𝐴𝐵𝐶 上一点，三 √ 棱锥体积 𝑉 = 3. 则对 ∀𝜇,𝜆 ∈ R，|⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑃⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值是 𝑃−𝐴𝐵𝐶 Y 数学试卷 第 1 页（共 5 页）√ √ 3 A. 1 B. 3 C. 3 D. 3 𝑥2 𝑦2 7. 设椭圆 + = 1的左、右焦点为𝐹 ,𝐹 ，椭圆上一点𝑃 和平面一点𝐹 满足⃗𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 4⃗𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 25 16 1 2 2 则 |𝐹 𝐹| 的最大值与最小值之和是 1 A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦) 8. 已知𝑓(𝑥)是定义在[0,+∞)上单调递增且图像连续不断的函数，且有𝑓(𝑥+𝑦) = ， 1+𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) 设 𝑥 > 𝑥 > 1，则下列说法正确的是 1 2 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 ) 𝑥 +𝑥 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 ) 𝑥 +𝑥 A. 1 2 > 𝑓( 1 2) > 1 B. 1 > 1 2 > 𝑓( 1 2) 2 2 2 2 𝑥 +𝑥 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 ) 𝑥 +𝑥 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 ) C. 𝑓( 1 2) > 1 2 > 1 D. 1 > 𝑓( 1 2) > 1 2 2 2 2 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 对于一个随机试验，设 Ω 是样本空间，𝐴 是随机事件，𝜔 是样本点，则下列说法正确的是 A. 𝐴 ∈ Ω B. 𝐴 Ω C. 𝜔 ∈ Ω D. 𝜔 Ω 10. 设全集为 𝑈，设 𝐴,𝐵 是两个集合，定义集合 𝑇(𝐴,𝐵) = (𝐴 ∁ 𝐵) (𝐵 ∁ 𝐴)，则下列 𝑈 𝑈 说法正确的是 A. 𝑇(𝐴,𝐴) = ∅ B. 𝑇(∅,𝐴) = 𝐴 C. 𝑇(𝐴,𝑈) = 𝐴 D. 𝑇(𝐴,𝐵) = 𝑇(𝐵,𝐴) 11. 已知定义域为 [0,+∞) 的函数 𝑓(𝑥) = cos(𝜋𝑥)+sin(𝜋[𝑥]𝑥)，其中 [𝑥] 代表不超过 𝑥 的最大 整数. 设数列 {𝑎 } 满足：𝑎 是 𝑓(𝑥) 在 [2𝑛,2𝑛+2] 上最大值，数列 {𝑥 } 满足：𝑓(𝑥 ) = 𝑎 且 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑥 ∈ [2𝑛,2𝑛+2]，则下列说法正确的是 𝑛 A. 𝑓(𝑥) 最小值为 −2 B. 𝑓(𝑥) 在 [2𝑛,2𝑛+2] 有 4𝑛+2 个极值点 1 𝜋 C. 𝑥 ∈ (2𝑛,2𝑛+ ) D. 𝑎 > cos +1 𝑛 4𝑛 𝑛 4𝑛 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若底面边长为 2 的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 ▴ . 13. 小鱼和 A,B,C,D,E 共六个好友在圆桌上用餐，则 A 坐在小鱼对面且 B 和 C 不相对的坐法 的种数是 ▴ . 如果圆桌可以旋转后重合，则记为同一种排列方式. 14. 如果 𝑋,𝑌 是离散型随机变量，则 𝑋 在 𝑌 = 𝑦 事件下的期望满足 𝐸(𝑋 ∣ 𝑌 = 𝑦) = 𝑚 ∑𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥 ∣ 𝑌 = 𝑦)，其中 {𝑥 ,𝑥 ,⋯,𝑥 } 是 𝑋 所有可能取值的集合. 已知某独立重复试 𝑖 𝑖 1 2 𝑚 𝑖=1 验的成功概率为 𝑝，进行 𝑛 次试验，求第 𝑛 次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的 试验次数 𝑋 的数学期望是 ▴ . Y 数学试卷 第 2 页（共 5 页）四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分） 设数列{𝑎 },{𝑏 }满足：𝑎 = 2,𝑏 = 3，且4𝑎 −𝑏 = 𝑎 −3𝑏 ,4𝑏 −2𝑏 = 2𝑎 −3𝑎 𝑛 𝑛 1 1 𝑛+1 𝑛 𝑛 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 𝑛 𝑛+1 对 𝑛 ∈ ℕ∗ 成立. （1）证明：{𝑎 +𝑏 } 是等比数列； 𝑛 𝑛 （2）求 {𝑎 } 和 {𝑏 } 的通项公式. 𝑛 𝑛 16.（15 分） 在四面体 𝑃𝐴𝐵𝐶 中，𝑀 为 𝐴𝐵 中点，𝑂 为 𝑃𝐴𝐵𝐶 外接球的球心，且 𝐴𝐶 ⟂ 𝐵𝐶,|𝐴𝑃|2+ |𝐵𝑃|2 = 2,|𝑃𝐶| = 1. （1）证明：𝑃𝑂 ⟂ 𝐶𝑀； （2）若 |𝑃𝑂| = 1，求四面体 𝑃𝐶𝑂𝑀 体积的最大值. 17.（15 分） 1 设 △𝐴𝐵𝐶 的外接圆半径是 ，𝐴,𝐶 均为锐角，且 |𝐴𝐶| = |𝐴𝐵|2+|𝐵𝐶|2. 2 （1）证明：△𝐴𝐵𝐶 不是锐角三角形； （2）证明：在△𝐴𝐵𝐶 的外接圆上存在唯一的一点𝐷，满足对平面上任意一点𝑃，有|⃗𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|2− |⃗𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2 = |⃗𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|⃗𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2. Y 数学试卷 第 3 页（共 5 页）18.（17 分） 已知抛物线 𝐶 ∶ 𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0) 的焦点 𝐹，𝐹 关于原点的对称点是 𝑀，⊙𝑀 为 𝑀 为圆 心，|𝑂𝑀| = 1 为半径的圆. 直线 ℓ 是过 ⊙𝑀 上异于原点的一点 𝐴 的 𝐶 的切线，切点为 𝑇. （1）求 |𝐹𝑇| 的最大值； |𝐹𝐴| （2）求 的最大值. |𝐹𝑇| 19.（17 分） (cid:13227)(cid:15680)(cid:14706)(cid:12060)(cid:14168)(cid:12613)(cid:16050)任选一题(cid:16279)(cid:9622)(cid:7272)(cid:11263)(cid:15053)(cid:15703)(cid:14168)(cid:12613)(cid:9768)(cid:14944)(cid:10719)(cid:7268)(cid:9596)(cid:14171)(cid:9625)(cid:14882)(cid:15434)(cid:14518)(cid:16246)(cid:12606)(cid:7269)(cid:14882)(cid:15680)(cid:9622)(cid:14168)(cid:11640)(cid:14911)(cid:12613) (cid:14509)(cid:16037). (cid:13413)(cid:10583)(cid:15053)(cid:15703)(cid:9986)(cid:14168)(cid:7272)(cid:15704)(cid:8802)(cid:14001)(cid:15053)(cid:15703)(cid:9768)(cid:9790)(cid:15269)(cid:14168)(cid:11100)(cid:10166). （A）称 𝐼 Z 是 Z 的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：（1）任意 𝑎,𝑏 ∈ 𝐼， 𝑎+𝑏 ∈ 𝐼；（2）任意 𝑎 ∈ 𝐼 和 𝑐 ∈ Z，有 𝑐𝑎 ∈ 𝐼. 任取 𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 ∈ Z，称包含 𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 的 1 2 𝑛 1 2 𝑛 最小向往集合称为 𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 的生成向往集合，记为 (𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 ). 1 2 𝑛 1 2 𝑛 （1）求满足 (6,8) = (𝑥) 的正整数 𝑥 的值； （2）对两个向往集合 𝐼 ,𝐼 ，定义集合 𝑆(𝐼 ,𝐼 ) = {𝑎 + 𝑏 ∣ 𝑎 ∈ 𝐼 ,𝑏 ∈ 𝐼 },𝑃(𝐼 ,𝐼 ) = 1 2 1 2 1 2 1 2 {𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +⋯+𝑎 𝑏 ∣ 𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 ∈ 𝐼 ,𝑏 ,𝑏 ,⋯,𝑏 ∈ 𝐼 ,𝑛 = 1,2,⋯}. 1 1 2 2 𝑛 𝑛 1 2 𝑛 1 1 2 𝑛 2 （i）证明：𝑃((4,6),(3)) 仍然是向往集合，并求正整数 𝑥，满足 𝑃((4,6),(3)) = (𝑥)； （ii）证明：如果 𝑆(𝐼 ,𝐼 ) = Z，则 𝐼 𝐼 = 𝑃(𝐼 ,𝐼 ). 1 2 1 2 1 2 （B）对三次函数 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑，𝑎 ≠ 0，如果其存在三个实根 𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ，则有 1 2 3 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 +𝑥 +𝑥 = − ,𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 = ,𝑥 𝑥 𝑥 = − . 称为三次方程根与系数关系. 1 2 3 𝑎 1 2 2 3 3 1 𝑎 1 2 3 𝑎 （1）对三次函数 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥+𝑑，设 𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥)，存在 𝑥 ∈ R，满足 0 = 0 𝑓(𝑥 ) = 𝑔(𝑥 ) ≠ 𝑔′(𝑥 ). 证明：存在 𝑥 ≠ 𝑥 ，使得 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥−𝑥 )(𝑥−𝑥 )2； 0 0 0 1 0 1 0 （2）称 𝑓(𝑥) 是 [𝑚,𝑀] 上的广义正弦函数当且仅当 𝑓(𝑥) 存在极值点 𝑥 ,𝑥 ∈ (𝑚,𝑀)，使 1 2 得 {𝑓(𝑥 ),𝑓(𝑥 )} = {𝑓(𝑚),𝑓(𝑀)}. 在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，𝐴(𝑎,𝑏) 是第一象限上一点，设 1 2 𝑏 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑎−𝑥)+ ，𝑔(𝑥) = 𝑥(𝑎−𝑥)2−4𝑏. 已知 𝑔(𝑥) 在 (0,𝑎) 上有两根 𝑥 < 𝑥 . 𝑥 0 3 （i）证明：𝑓(𝑥) 在 (0,+∞) 上存在两个极值点的充要条件是 𝑎3 > 27𝑏； （ii）求点 𝐴 组成的点集，满足 𝑓(𝑥) 是 [𝑥 ,𝑥 ] 上的广义正弦函数. 0 3 Y 数学试卷 第 4 页（共 5 页）（C）设有两个集合 𝐴,𝐵，如果对任意 𝑎 ∈ 𝐴，存在唯一的 𝑏 ∈ 𝐵，满足 𝑓(𝑎) = 𝑏，那么称 𝑓 是一个 𝐴 → 𝐵 的函数. 设 𝑓(𝑎) 是 𝐴 → 𝐵 的函数，𝑔(𝑏) 是 𝐵 → 𝐶 的函数，那么 𝑔(𝑓(𝑎)) 是 𝐴 → 𝐶 的函数，称为 𝑔 和 𝑓 的复合，记为 𝑔∘𝑓. 如果两个 𝐴 → 𝐵 的函数 𝑓,𝑔 对任意 𝑎 ∈ 𝐴， 都有 𝑓(𝑎) = 𝑔(𝑎)，则称 𝑓 = 𝑔. （1）对 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2，分别求一个 𝑔(𝑥),ℎ(𝑥)，使得 (𝑔∘𝑓)(𝑥) = 𝑥 = (𝑓 ∘ℎ)(𝑥) 对全体 𝑥 ⩾ 1 恒成立； （2）设集合 𝐴,𝐵,𝐶 和 𝐴 → 𝐶 的函数 𝛼 以及 𝐵 → 𝐶 的函数 𝛽. （i）对 𝐸 = {(𝑎,𝑏) ∣ 𝑎 ∈ 𝐴,𝑏 ∈ 𝐵,𝛼(𝑎) = 𝛽(𝑏)}，构造 𝐸 → 𝐴 的函数 𝑝 以及 𝐸 → 𝐵 的函 数 𝑞，满足 𝛼∘𝑝 = 𝛽∘𝑞； （ii）对 𝐸 = {(𝑎,𝑏) ∣ 𝑎 ∈ 𝐴,𝑏 ∈ 𝐵,𝛼(𝑎) = 𝛽(𝑏)}，构造 𝐸 → 𝐴 的函数 𝑝 以及 𝐸 → 𝐵 的函数 𝑞，满足 𝛼∘𝑝 = 𝛽∘𝑞，并且如果存在其它的集合 𝐸′ 满足存在 𝐸′ → 𝐴 的函数 𝑝′ 以及 𝐸′ → 𝐵 的函数 𝑞′，满足 𝛼∘𝑝′ = 𝛽∘𝑞′，则存在唯一的 𝐸′ → 𝐸 的函数 𝜓 满足 𝑝∘𝜓 = 𝑝′,𝑞∘𝜓 = 𝑞′. ⎧ {1, 𝑥 ∈ 𝐸, （D）对集合 𝐸，定义其特征函数 𝒳 (𝑥) = 考虑集合 𝐸 ,𝐸 ,⋯,𝐸 和正实数 𝐸 ⎨ 1 2 𝑛 {0, 𝑥 ∉ 𝐸. ⎩ 𝑛 𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 ，定义 𝑆 (𝑥) = ∑𝑎 𝒳 (𝑥) 为 L 和式函数. 设 𝐸 = [𝑚 ,𝑀 ]，则 𝐸 ,𝐸 ,⋯,𝐸 1 2 𝑛 𝑎,𝐸 𝑖 𝐸 𝑖 𝑖 𝑖 1 2 𝑛 𝑖 𝑖=1 为闭区间列；如果集合 𝐸 ,𝐸 ,⋯,𝐸 对任意 1 ⩽ 𝑖 < 𝑗 ⩽ 𝑛，有 𝐸 𝐸 = ∅，则称 𝐸 ,⋯,𝐸 1 2 𝑛 𝑖 𝑗 1 𝑛 是无交集合列，设集合 𝑃 (𝐸) = 𝐸 𝐸 ⋯ 𝐸 . 𝑛 1 2 𝑛 （1）证明：L 和式函数的值域为有限集合； （2）设 𝐸 ,𝐸 ,⋯,𝐸 为闭区间列，𝑆 (𝑥) 是定义在 𝑃 (𝐸) 上的函数. 已知存在唯一的正 1 2 𝑛 𝑎,𝐸 𝑛 整数 𝑚，各项不同的非零实数 𝑐 ,𝑐 ,⋯,𝑐 ，和无交集合列 𝐹 ,𝐹 ,⋯,𝐹 使得 𝑃 (𝐹) = 𝑃 (𝐸)， 1 2 𝑚 1 2 𝑚 𝑚 𝑛 𝑚 𝑚 并且 ∑𝑐 𝒳 (𝑥) = 𝑆 (𝑥)，称 ∑𝑐 𝒳 (𝑥) 为 L 和式函数 𝑆 (𝑥) 的典范形式. 设 𝑚 为 𝑖 𝐹 𝑎,𝐸 𝑖 𝐹 𝑎,𝐸 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑆 (𝑥) 的典范数. 𝑎,𝐸 （i）设 𝑚 < 𝑀 < 𝑚 < 𝑀 < ⋯ < 𝑚 < 𝑀 ，证明：𝑚 ⩽ 𝑛； 1 1 2 2 𝑛 𝑛 （ii）给定正整数 𝑛，任取正实数 𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 和闭区间列 𝐸 ,𝐸 ,⋯,𝐸 ，判断 𝑆 (𝑥) 的 1 2 𝑛 1 2 𝑛 𝑎,𝐸 典范数 𝑚 最大值的存在性. 如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由. 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