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202 4年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（三）参考答案
1. 答案：D【详解】因为 ， ，所以
2、答案：B【详解】因为复数 ，所以 对应的点为 ，位于第二象限．
3.答案：B【详解】因为 为等差数列， ，所以 ，所以
.
4.【答案】C【详解】选项A：当满足 时， 可能相交，如图：用四边形 代表平
面 ，用四边形 代表平面 ，故A错误；选项B：当满足 时， 可能相交，如
图：用四边形 代表平面 ，用四边形 代表平面 ，故 B 错误；选项 C：因为
，又 ，所以 ，故 是 的一个充分条件，故C正确；
当满足 与 相交时， 可能相交，如图：用四边形 代表平面 ，用四边形 代
表平面 ，故D错误；
5.【答案】D【详解】由题意知，抛物线的准线方程为 ，又因为 ，
则点 ，又因为点 在双曲线的渐近线 上，所以 ，
所以双曲线的离心率
6.【答案】C【详解】由 ，得 ，
于是 ，即 ，
由 ， ，得 ，则 或 ，
第 页1 （共9页）即 或 （不符合题意，舍去），所以 .故选：C
7.【答案】D【详解】设正四面体 的棱长为 ，则其内切球、棱切球、外接球的半径分别为
．由题意知，球 的球心落在正四面体的几何中心，即内切球、棱切球、外接球公共
的球心，又球 的半径为定值 。当球 是正四面体 的外接球时，棱长 最小，此时
，得 ．当球 是正四面体 的内切球时， 最大，此时 ，得
故正四面体 的棱长的取值范围为 ．故选：D.
8.【答案】A【详解】由题意知，设 ，则 ，如图所示，
由 可得 ，
整理得 ，即 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，
由中线长公式，中线长 ，
9答案：BCD
10.答案：ACD【详解】对A：由题意可知 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ，当 时， ，当 时， ，故A正确；
对B：当 时， 取得极大值为 ，故B错误；
对C：由上分析可作出 的图象，要使方程 有两个不等实根，只需要 与 有两个交
点，由图可知， ，所以实数 的取值范围为 ，故C正确.
对D：设曲线 在 处的切线经过坐标原点，则切线斜率 ，解得
第 页2 （共9页）， ，所以切线斜率 ，所以切线方程为 ，故D正确.
11.答案：ABD【详解】对于A，设点 在准线 上的投影为 ，准线 与 轴交于点 ，
又 ， ，则 ，所以 ，故A正确；
对于B，设点 在准线 上的投影为点 ，易证 ，又 ，
，即 ， ， ，故B正确；
对于C，分两种情况：当点 都在第一象限，设 ， ，
由焦半径公式可得 ， ， ，
令 ，
设 ，且 ，
，当且仅当 时取得最小值.
当点 在第二象限时，设 ， ，
则 ， ，所以 ，
同理令 ，且 ，
，
所以 ，当且仅当 时取得最小值，
综上， 面积的最小值为 ，故C错误；
第 页3 （共9页）对于D，当点 都在第一象限， ， ，
则 ，所以 ，即 ， ，
当点 在第二象限时，同理可得 ，即 ， ，
综上， 的面积大于 ，故D正确. 故选：ABD.
12.【答案】20 【详解】由 ，
令 可得 ， ，∴ ．
在 中，令 ，可得 ，
∴
13.【答案】 【详解】根据题意，设甲获胜为事件 ，比赛进行三局为事件 ，
， ，
故
．
14.【答案】 【详解】不等式 ，即 ，
设 ， ，
设 ， ，所以 单调递增，且 ， ，
所以存在 ，使 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
第 页4 （共9页）所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
不等式 有整数解，即 有整数解，
若 时，即 ，因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， ，所以 无整数解，不符合题意，
当 时，因为 ，显然 是 的两个整数解，符合题意，
综上可知， .
15.【详解】（1）解：由题意知：数列 是公差为 的等差数列，
当 时， ，所以 ，整理得： ， .................2分
又当 时， ， ..................3分
因为 满足上式， ..................4分
所以 ，故数列 的通项公式为 ..................5分
（2）解：由（1）知 ，可得 ， ..................6分
故 ； .................8分
解法1：由 ，可得 ， ..................9分
第 页5 （共9页）即 ，则 ， ..................10分
又由 ， ..................12分
当且仅当 时取等号，故实数 的取值范围为 ． ..................13分
解法2：由 ， ..................9分
可得 ， ..................10分
当 ，即 时， ， ..................12分
则 ，故实数 的取值范围为 ． ..................13分
16. ..................1分
， ， ， ..................2分
， .................3分
延长BC，AD，设BC的延长线和AD的延长线交点为M，连接PM，
则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM .................5分
证明：取AD的中点E，连接PE， ，E是AD的中点，
， 平面 平面 ABCD，平面 平面 ， 平面 PAD，
， 平面ABCD， .................6
第 页6 （共9页）分
, ,即
.................7分
以点B为坐标原点，以直线BA、BM分别为 轴，以过点B作平面ABCD的的垂线为 轴，建立空间
直角坐标系 ，如图所示.
.................8分
则 ， ， ， ，
， ， ，
.................9分
设 ，则 ，
.................10分
设平面PCD的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，得 ， .................11
分
设平面CDN的法向量为 ，则 ，
即
令 ，可得 ，
................12分
夹角的余弦值为
， ，
................13分
解得： 或 ，
.................14分
即在直线l上存在点N， 的夹角的余弦值为 ，
第 页7 （共9页）此时 或 .................15分
17、【详解】（1）设最低正常使用零下温度的第60百分位数为 ，
由直方图可知最低正常使用零下温度在 的频率为0.4，
在 的频率为0.65，因此最低正常使用零下温度的第60百分位数 一定在 内，..............1分
则有 ，解得 ，
所以最低正常使用零下温度的第60百分位数为28℃． ..................3分
（2）①由题意可知 的可能值是0,1,2,3， ， .................5分
； ..................6分
； ..................7分
； .................8分
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
..................9分
②由题意可知，设抽到 类锂电池的数量为 ，则 ， .................10分
若抽到 块的可能性最大，
则 ， ， ..................12分
即 ..................13分
第 页8 （共9页）即 解得 ， ..................14分
由于 ，故 ． ..................15分
18、【详解】（1）解：设所求轨迹E上的任意点为(x,y)，与x2+ y2=2对应的点为(x ,y )，
1 1
根据题意，可得¿，即¿，
2 2 x2
代入方程x2+ y2=2，可得x2+( y) =2，整理得 + y2=1，
√2 2
x2
所以曲线E的轨迹方程为 + y2=1. - ------5分
2
（2）方法一：解：设A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ),D(x ,y )，
1 1 2 2 3 3 4 4
设直线AC的方程为x=ty+1−−−−−−−6分，
联立方程组 ，整理得 ，
¿ (t2+2)x2+2ty−1=0 −−−−−−−8分
−2t −1
则y + y = ,y y = −−−−−−−9分，
1 3 t2+2 1 3 2+t2
又因为 x −1 ,点 x2
t= 1 A(x ,y )在椭圆 + y2=1上；
y 1 1 2
1
所以 y = −1 1 = −y 1 = y 1 ； −−−−−−− 11分
3 2+t2 y 2y2+（x−1）2 2x −3
1 1 1
= x −1 y +1=3x −4， 12分
x t y +1= 1 1 1 −−−−−−−
3 3 y 2x −3 2x −3
1 1 1
3x −4 y ，同理可得 3x −4 y ，
C( 1 , 1 ) D( 2 , 2 )
2x −3 2x −3 2x −3 2x −3
1 1 2 2
−−−−−−−13分
又因为 三点共线，可得 y y ， 14分
P,A,B 1 = 2 −−−−−−−
x +2 x +2
1 2
即x y −x y =2(y −y )，−−−−−−−15分
2 1 1 2 2 1
y y
2 − 1
所以 k = 2x 2 −3 2x 1 −3 = 2(x 2 y 1 −x 1 y 2 )+3(y 2 −y 1 ) = 7(y 2 −y 1 ) =4k ， −−−−−−− 16分
CD 3x −4 3x −4 x −x x −x AB
2 − 1 2 1 2 1
2x −3 2x −3
2 1
第 页9 （共9页）所以tanα k 1. 17分
= AB = −−−−−−−
tanβ k 7
CD
方法二：解：设直线AC的方程为y=k(x−1)，A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ),D(x ,y )，
1 1 2 2 3 3 4 4
联立方程组 ，整理得 ，
¿ (1+2k2 )x2−4k2x+2k2−2=0
则 ，且
4k2 2k2−2，
Δ=(−4k2 ) 2−4(1+2k2 )(2k2−2)>0 x +x = ,x x =
1 3 1+2k2 1 3 1+2k2
可得3 2+4k2 ，所以 3x −4，
(x +x )−x x = =2 x = 1
2 1 3 1 3 1+2k2 3 2x −3
1
可得 y 3x −4 y ，
y = 1 ⋅( 1 −1)= 1
3 x −1 2x −3 2x −3
1 1 1
所以 3x −4 y ，下同方法一。
C( 1 , 1 )
2x −3 2x −3
1 1
19、【详解】（1）根据题意可知，不等式 在 上恒成立，
设 ，则 ， ，
设 ，则 ， ，则 ，
若 ，存在区间 ，使 在区间 上单调递减；
则 ，则 在区间 上单调递减，
则 ，不满足题意，故 ，即 .
下证明：当 时，不等式成立，因为 ， ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
则 ，则 成立，
故 在 上单调递增，则 ，所以 恒成立，得证，
第 页10 （共9页）综上知， . ..................5分
（2）当 时， ，设 ，
则 ，则函数 单调递增， ， 单调递增，
， ，
在 上单调递减， 上单调递增，
又 ， ，
， ，
， .
由于， ， ， ，
由于 在 上单调递增， .
累加得 . ..................11分
（3）要证 即证 .
即证 . ，设
， 时 ， 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
设 ， ，
由于 在 上单调递增， ， ， 在 单调递增.
第 页11 （共9页）又 ， 时
因此 恒成立，
原不等式恒成立，得证. ..................17分
第 页12 （共9页）
