福建省三明市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题（含答案）_6月_2406302024福建省三明市第一中学高二下学期第二次月考

三明一中 2023—2024 学年下学期第二次月考高二数学科试卷 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知函数 ，函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 2. 曲线 在 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某科研院校培育蜜橘新品种，新培育的蜜橘单果质量 （单位： ）近似服从正态分布 ，现有 该新品种蜜橘10000个，估计单果质量不大于 的蜜橘个数为（ ） 附：若 ，则 ． A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 4. 函数 的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 设随机变量 概的率分布列为 ，其中 ，那么 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足 ，则f(2)＋f(3)＋f(5)＝A. －1 B. 0 C. 1 D. 4 的 7. 已知 ， ， ，若不等式 恒成立，则m 最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 8. 已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减，若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 某种产品加工需要5道工序（ ） A. 若其中a工序不能放最后，则有96种加工顺序 B. 若其中a，b两道工序必须相邻，则有24种加工顺序 . C 若其中a，b两道工序不能相邻，则有120种加工顺序 D. 若其中a工序不能放在最前，b工序不能放在最后，则有78种加工顺序 11. 已知函数f（x）满足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，f（1）＝2．则当x＞0时，下列说法中正确的是（ ） 的 A. f（2）＝ln2＋1 B. x＝2是函数f（x） 极大值点 C. 函数y＝f（x）－x有且只有一个零点 D. 存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “ ”是“ ”成立的________条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充 分也不必要”). 13. 在 的展开式中，含 项的系数为________．（用数字作答）14. 已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 ______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 的二项展开式中二项式系数之和为256． （1）求 的值； （2）求展开式中 项的系数． 16. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球． （1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率； （2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率． 17. 浙江省教育厅等五部门印发《浙江省山区26县和海岛县“县中崛起”行动计划》，从招生管理、县中对 口帮扶、教科研指导等九方面提升共同富裕背景下教育公共服务的质量和水平.某校为增强实力，大力招揽 名师、建设校园设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 招生人数 /千人 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以证明； 的 （2）求 关于 回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据： ． 参考公式：相关系数 ， 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ． 18. 已知函数 ， ，且 ．（1）求 的值； （2）求函数 在 的最值． 19. 对于函数 与 定义域 上的任意实数 x，若存在常数 k，b，使得 和 都成立，则称直线 为函数 与 的“分界线”. （1）若函数 ， ， ，求函数 和 的“分界线”； （2）已知函数 满足对任意的 ， 恒成立. ①求实数 的值； ②设函数 ，试探究函数 与 是否存在“分界线”?若存在，请加以证明，并求出 ， 的值；若不存在，请说明理由.三明一中 2023—2024 学年下学期第二次月考高二数学科试卷 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知函数 ，函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】 ， 因为 ，所以 的值域为 ，即 ， 故选：A. 2. 曲线 在 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数 求导，得到 ，再结合 ，即可得解． 【详解】 ，则 ，又 ， 则所求切线方程为 ，即 ． 故选：A． 3. 某科研院校培育蜜橘新品种，新培育的蜜橘单果质量 （单位： ）近似服从正态分布 ，现有 该新品种蜜橘10000个，估计单果质量不大于 的蜜橘个数为（ ）附：若 ，则 ． A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的特点及曲线所代表的意义即可求解. 【 详 解 】 由 可 知 ， ， 故估计单果质量不大于 的蜜橘个数为 ． 故选：D. 4. 函数 的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得 ， 所以 的单调减区间为 . 故选：D.5. 设随机变量 的概率分布列为 ，其中 ，那么 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于 的等 量关系式，最后求得结果. 详解：根据分布列的性质可得， ， 解得 ，故选D. 点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数 所满足的等量关系式， 最后求得结果. 6. 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足 ，则f(2)＋f(3)＋f(5)＝ A. －1 B. 0 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数满足 是定义在 上的奇函数，所以 ，且 ，又由 ， 得函数 是周期为2的函数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数满足 是定义在 上的奇函数，所以 ，且 ， 又由 ，则 ，所以函数 是周期为2的函数， 则 ， ， 所以 ，故选B．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数的周期性的应用，其中解答中根据函数的奇偶性性求得 ，再根据函数的周期性 是解答的关键，着重考查了推理与运算 能力，属于基础题． 7. 已知 ， ， ，若不等式 恒成立，则m的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式中“ ”的代换求出 的最小值，即可得到 的最大值． 为 【详解】因 ， 所以 ， 又 ， ， 所以 ， 当且仅当 时取等号， 所以 ，即 ， 的最大值为3． 故选：C． 8. 已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减，若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可得： 在 上递减，在 上递增，即可将不等式化为： 对 恒成立，即可转化为： 且 对 同时 恒成立，利用导数求得： ， ，问题得解 【详解】由于定义在 上的偶函数 在 上递减，则 在 上递增， 又 ， 则 可化为： ，即 对 恒成立， 则 ，所以： 且 对 同时恒成立. 且 对 同时恒成立 设 ， ，则 在 上递增，在 上递减， . 设 ， ， ， 在 上递减， . 综上得： 的取值范围是 . 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性性质和利用函数的单调性解决不等式问题，考查了分析能力、转化能力及 计算能力，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A， ，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：AC 10. 某种产品加工需要5道工序（ ） A. 若其中a工序不能放最后，则有96种加工顺序 B. 若其中a，b两道工序必须相邻，则有24种加工顺序 C. 若其中a，b两道工序不能相邻，则有120种加工顺序 D. 若其中a工序不能放在最前，b工序不能放在最后，则有78种加工顺序 【答案】AD 【解析】 【分析】特殊元素优先处理得出A选项，相邻工序捆绑法得出B选项，不相邻问题插空法判断C选项，去 掉不合题意情况计算得出D选项. 【详解】某种产品加工需要5道工序,若其中a工序不能放最后，先选个非最后的位置再排其他4道工序，则有 种加工顺序,A选项正确; 若其中a，b两道工序必须相邻，先把相邻的两道工序捆绑再一起排其他，则有 种加工 顺序,B选项错误; 若其中a，b两道工序不能相邻，先排其它工序再插空处理不能相邻工序，则有 种加工 顺序,C选项错误; 若其中a工序不能放在最前，b工序不能放在最后，在任意排列中出掉a工序放在最前b工序不能放在最后， 再去掉a工序不能放在最前b工序放在最后，最后加上a工序放在最前且b工序放在最后，则 种加工顺序,D选项正确. 故选:AD. 11. 已知函数f（x）满足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，f（1）＝2．则当x＞0时，下列说法中正确的是（ ） A. f（2）＝ln2＋1 B. x＝2是函数f（x）的极大值点 C. 函数y＝f（x）－x有且只有一个零点 D. 存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立 【答案】AC 【解析】 【分析】通过函数f（x）满足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，可以求出 ，进而可以分析函数f （x）的极大值点，求解f（2）的值，判断 选项； 对函数y＝f（x）－x，求导求零点，从而可以判断 选项； 使用隔离参数法将k隔离之后，令 ，从而可以判断D选项； 【详解】因为xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，则 ， ， 则x∈（0，2）时，f（x）单调递减；x∈（2，＋∞）时函数f（x）单调递增． ∴函数f（x）只有一个极小值点e，即只有一个极小值f（2）＝ln2＋1，故选项A正确，选项B错误； ， 则 ， 所 以 当 x→0 时 ， y→ ＋ ∞ ， 当 x ＝ e 时，所以函数y＝f（x）－x有且只有一个零点，故选项C正确； f（x）＞kx，可得 ，令 ， 则 ， 令 ，则 ， 故x＞1时h（x）单调递减，0＜x＜1时，h（x）单调递增， 所以h（x）≤h（1）＜0，所以g（x）在x＞0上单调递增，无最小值， 所以不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，故选项D错误； 故选：AC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “ ”是“ ”成立的________条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充 分也不必要”). 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，求得不等式的解为 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可 求解. 【详解】由不等式 ，可得 ， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 13. 在 的展开式中，含 项的系数为________．（用数字作答） 【答案】330 【解析】 【分析】写出含有 项的系数，再利用二项式系数的性质化简可得结果. 【详解】展开式中含有 项的系数为， 故答案为：330. 14. 已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，构造函数 ，分 与 讨论，然后转化为 恒成立， 代入计算，即可得到结果. 【详解】构造函数 ，其定义域为 ， 则 ， 当 时， 单调递增， 不可能恒成立； 当 时，令 ，得 或 （舍去）． 当 时， ； 当 时， ，故 在 上有最大值 ， 由题意知 恒成立，即 ， 令 ，则 在 上单调递减，且 ， 故 成立的充要条件是 ．故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 的二项展开式中二项式系数之和为256． （1）求 的值； （2）求展开式中 项的系数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用二项式的系数和求出 的值； （2）利用二项式的展开式求出结果． 【小问1详解】 因为二项式的系数和为： ，解得 ． 【小问2详解】 因为 ，代入得原式 ， 则二项式的展开式通项 ， ，1，2，3，4，5，6，7， ， 令 ，整理得 ， 所以 ． 所以展开式中 项的系数为 ． 16. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球． （1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率； （2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）利用全概率概率公式计算可得； 【小问1详解】 解：依题意从 个球中取4个球有 中取法， 其中4个球中恰好有 个红球，即恰好有 个红球、 个白球，有 种取法， 所以4个球中恰好有2个红球的概率 ； 【小问2详解】 解：记 为从乙袋中取出 个红球、 个白球， 为从乙袋中取出 个红球， 为从甲袋中取出 个红球， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 17. 浙江省教育厅等五部门印发《浙江省山区26县和海岛县“县中崛起”行动计划》，从招生管理、县中对 口帮扶、教科研指导等九方面提升共同富裕背景下教育公共服务的质量和水平.某校为增强实力，大力招揽 名师、建设校园设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 招生人数 /千人 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以证明； （2）求 关于 的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据： ．参考公式：相关系数 ， 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） ，预测当年份序号为7时该校的招生人数为4.5千人 【解析】 【分析】（1）求出 ，结合公式求出r，即可下结论； . （2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令 计算，即可求解 【小问1详解】 由 ， ， ， 所以 ， 因为 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合 与 的关系． 【小问2详解】 ， 所以 关于 的回归直线方程为 ． 当 时， ，由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为4.5千人 18. 已知函数 ， ，且 ． （1）求 的值； （2）求函数 在 的最值． 【答案】（1） ； （2）最大值为10，最小值为 ． 【解析】 【分析】（1）求出 ，利用 即可求出a的值； （2）由（1）可知 ， ，求导可得函数 的单调性，进而求出 的极值， 再与端点值比较即可求出 的最值. 【小问1详解】 函数 ，定义域为 ，则 ， 又因为 ，即 ，解得 ； 【小问2详解】 因为 ， ， 所以 ，令 ，则 ， 解得 ， ，又因 为 ， ， 列表得： 0 3 0 0 极大 单调递 极小 单调递 单调递增 10 值 减 值 增所以 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ， 又因为 ， ，所以 的最大值为10，最小值为 ． 19. 对于函数 与 定义域 上的任意实数 x，若存在常数 k，b，使得 和 都成立，则称直线 为函数 与 的“分界线”. （1）若函数 ， ， ，求函数 和 的“分界线”； （2）已知函数 满足对任意的 ， 恒成立. ①求实数 的值； ②设函数 ，试探究函数 与 是否存在“分界线”?若存在，请加以证明，并求出 ， 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）① ；②存在，证明见解析， ， 【解析】 【分析】（1）根据“分界线”定义，使不等式 成立即可求出“分界线”为 ； （2）①构造函数 ，利用导函数求得其单调性再由不等式恒成立，求得其最值及可 解得 ； ②利用函数 存在唯一公共点 ，则存在 “分界线”必 的 过 该 点 ， 可 设 为 ， 分 别 证 明 在 上 恒 成 立 以 及恒成立即可得 ， . 【小问1详解】 令 ， 取 ，则 ， 进而有 ，即 且 ， 解得 ， 故函数 和 的“分界线”为 . 【小问2详解】 ①因为对任意的 ， 恒成立， 所以 对 恒成立， 令 ，∴ ， 当 时， 恒成立，从而 在 上单调递减， 又 ，所当 时， 与题意矛盾，舍去； 当 时，令 ，解得 ；令 ，解图 ， 从而 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴ . 由题意可知 ，即 ，也即 ，令 ， ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以 ，从而 . 又 ，所以 ，此时 . ②设 ， 则 . ∴当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增. ∴ 是函数 的极小值点，也是最小值点， ∴ . ∴函数 与 的图象在 处有公共点 . 设 与 存在“分界线”且方程 为： . 令函数 . （i）由 ，即 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 此时 成立，∴ ，故 . （ⅱ）下面再证明： 恒成立. 设 ，则 . ∴当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减. ∴ 时， 取最大值 ，则 恒成立. 综上（ⅰ）和（ⅱ）知 且 ， 故函数 与 存在分界线为 ， 此时 ， . 【点睛】方法点睛：在研究不等式恒成立问题时，经常通过构造函数并利用导函数求得函数单调性得出其 最值，再通过解不等式即可求解.